Sistem koordinat Cartesius: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan
k Sidebar
k clean up
 
(38 revisi perantara oleh 15 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{Descartestanpa referensi}}
[[BerkasFile:Cartesian-coordinate-system.svg|thumb|leftright|250px|GambarIlustrasi 1 - Sistembidang koordinat KartesiusCartesius. Terdapat empatEmpat titik yangditandai ditandaidan diberi label dengan koordinatnya: {{nowrap|(2, 3)}} titikpada hijau, {{nowrap|(-3−3, 1)}} titikpada merah, {{nowrap|(-1−1.5,-2 −2.5)}} titikpada biru, dan asal {{nowrap|(0, 0), titik asal, yang}} berwarnapada ungu.]]
Dalam [[matematika]], '''Sistem koordinat Kartesius''' digunakan untuk menentukan tiap [[Titik (geometri)|titik]] dalam [[Bidang (matematika)|bidang]] dengan menggunakan dua [[bilangan]] yang biasa disebut ''[[koordinat]] x'' ([[absis]]) dan ''koordinat y'' ([[ordinat]]) dari titik tersebut.
 
'''Sistem koordinat Cartesius''' ({{IPAc-en|UK|k|ɑː|ˈ|t|iː|zj|ə|n}}, {{IPAc-en|US|k|ɑːr|ˈ|t|i|ʒ|ə|n}}) adalah sistem koordinat yang menetapkan setiap titik secara unik dalam [[Bidang (geometri)|bidang]] dengan serangkaian '''koordinat''' [[Angka|numerik]], yang merupakan jarak yang bertanda titik dari dua garis berorientasi tegak lurus tetap, diukur dalam [[satuan panjang]] yang sama. Setiap garis referensi disebut ''sumbu koordinat'' atau hanya ''sumbu'' (''sumbu'' jamak) dari sistem, dan titik di mana mereka bertemu adalah [[Asal (matematika)|asal]]<nowiki/>nya, pada pasangan terurut (0,0). Koordinat juga dapat didefinisikan sebagai posisi [[proyeksi tegak lurus]] dari titik ke dua sumbu, yang dinyatakan sebagai jarak yang ditandatangani dari titik asal.
Untuk mendefinisikan koordinat diperlukan dua garis berarah yang tegak lurus satu sama lain (sumbu x dan sumbu y), dan panjang unit, yang dibuat tanda-tanda pada kedua sumbu tersebut (lihat Gambar 1).
 
Seseorang dapat menggunakan prinsip yang sama untuk menentukan posisi titik mana pun dalam [[ruang tiga dimensi]] dengan tiga koordinat Cartesius, jarak yang ditandai ke tiga bidang yang saling tegak lurus (atau, ekuivalen, dengan proyeksi tegak lurus ke tiga garis yang saling tegak lurus). Secara umum, koordinat Cartesius ''n'' (elemen [[Ruang koordinat nyata|ruang-''n'' nyata]]) menentukan titik dalam [[ruang Euclidean]] berdimensi-''n'' untuk setiap [[dimensi]] ''n''. Koordinat ini sama, sampai [[Tanda (matematika)|tanda]], dengan jarak dari titik ke ''n'' [[hyperplane]]s yang saling tegak lurus.
Sistem koordinat Kartesius dapat pula digunakan pada dimensi-dimensi yang lebih tinggi, seperti 3 dimensi, dengan menggunakan tiga sumbu (sumbu x, y, dan z).
 
Penemuan koordinat Cartesius pada abad ke-17 oleh [[René Descartes]] (Nama [[Bahasa Latin|Latin]]: ''Cartesius'') merevolusi matematika dengan menyediakan hubungan sistematis pertama antara [[geometri Euclidean]] dan [[aljabar]]. Dengan menggunakan sistem koordinat Cartesius, bentuk geometris (seperti [[kurva]]) dapat dijelaskan dengan '''persamaan Cartesius''': [[persamaan]] aljabar yang melibatkan koordinat titik-titik yang terletak pada bentuk. Misalnya, lingkaran dengan jari-jari 2, berpusat di titik awal bidang, dapat digambarkan sebagai himpunan semua titik yang koordinat ''x'' dan ''y'' memenuhi persamaan {{nowrap|1=''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = 4}}.
[[Berkas:Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg|thumb|right|250px|Gambar 2 - Sistem koordinat Kartesius disertai lingkaran merah yang berjari-jari 2 yang berpusat pada titik asal (0,0). Persamaan lingkaran merah ini adalah x² + y² = 4.]]
Dengan menggunakan sistem koordinat Kartesius, bentuk-bentuk geometri seperti [[kurva]] dapat diekspresikan dengan [[persamaan]] [[aljabar]]. Sebagai contoh, lingkaran yang berjari-jari 2 dapat diekspresikan dengan persamaan x² + y² = 4 (lihat Gambar 2).
 
== Sejarah ==
Istilah '''''Kartesius''''' digunakan untuk mengenang ahli matematika sekaligus [[filsuf]] dari [[Perancis]] [[René Descartes|Descartes]], yang perannya besar dalam menggabungkan [[aljabar]] dan [[geometri]] (Cartesius adalah [[bahasa Latin|latinisasi]] untuk Descartes). Hasil kerjanya sangat berpengaruh dalam perkembangan [[geometri analitik]], [[kalkulus]], dan [[kartografi]].
Kata sifat ''Cartesius'' mengacu pada [[ahli matematika]] dan [[filsuf]] Prancis [[René Descartes]], yang menerbitkan gagasan ini pada 1637, ketika dia tinggal di [[Belanda]]. Itu ditemukan secara independen oleh [[Pierre de Fermat]], yang juga bekerja dalam tiga dimensi, meskipun Fermat tidak mempublikasikan penemuan tersebut.<ref>{{Cite web|last1=Bix|first1=Robert A.|last2=D'Souza|first2=Harry J.|date=|title=Analytic geometry|url=https://www.britannica.com/topic/analytic-geometry|website=Encyclopædia Britannica|archive-url=|archive-date=|access-date=2017-08-06}}</ref> Pendeta Prancis [[Nicole Oresme]] menggunakan konstruksi yang mirip dengan koordinat Cartesius jauh sebelum zaman Descartes dan Fermat.<ref>{{Cite book|last1=Kent|first1=Alexander J.|last2=Vujakovic|first2=Peter|date=2017-10-04|url=https://books.google.com/books?id=EVRSDwAAQBAJ&q=Nicole+Oresme+coordinate&pg=PT307|title=The Routledge Handbook of Mapping and Cartography|publisher=Routledge|isbn=9781317568216|language=en}}</ref>
 
Baik Descartes dan Fermat menggunakan satu sumbu dalam perawatan mereka dan memiliki panjang variabel yang diukur dengan mengacu pada sumbu ini. Konsep menggunakan sepasang sumbu diperkenalkan kemudian, setelah ''[[La Géométrie]]'' Descartes diterjemahkan ke dalam bahasa Latin pada tahun 1649 oleh [[Frans van Schooten]] dan murid-muridnya. Para komentator ini memperkenalkan beberapa konsep sambil mencoba mengklarifikasi gagasan yang terkandung dalam karya Descartes.<ref>{{harvnb|Burton|2011|loc=p. 374}}</ref>
Ide dasar sistem ini dikembangkan pada tahun [[1637]] dalam dua tulisan karya Descartes. Pada bagian kedua dari tulisannya ''[[Discourse on Method]]'', ia memperkenalkan ide baru untuk menggambarkan posisi [[titik (geometri)|titik]] atau obyek pada sebuah permukaan, dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu dengan yang lain. Dalam tulisannya yang lain, [[La Géométrie]], ia memperdalam konsep-konsep yang telah dikembangkannya.
 
Pengembangan sistem koordinat Cartesius akan memainkan peran mendasar dalam pengembangan [[kalkulus]] oleh [[Isaac Newton]] dan [[Gottfried Wilhelm Leibniz]].<ref>A Tour of the Calculus, David Berlinski</ref> Deskripsi dua koordinat bidang itu kemudian digeneralisasikan menjadi konsep [[ruang vektor]].<ref>{{Cite book|last=Axler|first=Sheldon|year=2015|title=Linear Algebra Done Right - Springer|location=|publisher=|isbn=978-3-319-11079-0|series=Undergraduate Texts in Mathematics|pages=1|doi=10.1007/978-3-319-11080-6}}</ref>
Lihat [[koordinat]] untuk sistem-sistem koordinat lain seperti ''[[sistem koordinat polar]]''.
 
Banyak sistem koordinat lain telah dikembangkan sejak Descartes, seperti [[Sistem koordinat kutub|koordinat kutub]] untuk bidang, dan koordinat [[Sistem Koordinat Bola|bola]] dan [[Sistem koordinat silinder|silinder]] untuk ruang tiga dimensi.
 
== Sistem koordinat dua dimensi ==
 
Sistem koordinat KartesiusCartesius dalam dua dimensi umumnya didefinisikan dengan dua garis sumbu yang saling bertegaktegak lurus antar satu dengan yang lain, yang keduanyadan terletak pada satu bidang (bidang xy). Sumbu horizontal diberi label ''x'', dan sumbu vertikal diberi label ''y''. Pada sistem koordinat tiga dimensi, ditambahkan sumbu yang lain yang sering diberi label ''z''. Sumbu-sumbu tersebut ortogonal antar satu dengan yang lain. (Satusatu sumbu tegak lurus dengan sumbu lain bertegakyang lurus.lain).
 
Titik pertemuan antara kedua sumbu, titik asal, umumnya diberi label ''0''. Setiap sumbu juga mempunyai besaran panjang unit, dan setiap panjang tersebut diberi tanda dan ini membentuk semacam ''grid''. Untuk mendeskripsikan suatu titik tertentu dalam sistem koordinat dua dimensi, nilai ''x'' ditulis ('''absis'''), lalu diikuti dengan nilai ''y'' ('''ordinat'''). Dengan demikian, format yang dipakai selalu (''x'',''y'') dan urutannya tidak dibalik-balik.
 
[[Berkas:Cartesian coordinates 2D.svg|thumbjmpl|350px|leftkiri|Gambar 3 - Keempat kuadran sistem koordinat KartesiusCartesius. Panah yang ada pada sumbu berarti panjang sumbunya tak terhingga pada arah panah tersebut.]]
Pilihan huruf-huruf didasari oleh konvensi, yaitu huruf-huruf yang dekat akhir (seperti x dan y) digunakan untuk menandakan variabel dengan nilai yang tak diketahui, sedangkan huruf-huruf yang lebih dekat awal digunakan untuk menandakan nilai yang diketahui.
 
Sebagai contoh, pada Gambar 3, titik ''P'' berada pada koordinat (3,5).
 
Karena kedua sumbu bertegak lurus satu sama lain, bidang xy terbagi menjadi empat bagian yang disebut '''kuadran''', yang pada Gambar 3 ditandai dengan angka I, II, III, dan IV. Menurut konvensi yang berlaku, keempat kuadran diurutkan mulai dari yang kanan atas (kuadran I), melingkar melawan arah jarum jam (lihat Gambar 3). Pada kuadran I, kedua koordinat (x dan y) bernilai positif. Pada kuadran II, koordinat x bernilai negatif dan koordinat y bernilai positif. Pada kuadran III, kedua koordinat bernilai negatif, dan pada kuadran IV, koordinat x bernilai positif dan y negatif (lihat tabel dibawahdi bawah ini).
 
{| border=0 cellspacing=0 cellpadding=0 width=40%
Baris 40 ⟶ 41:
|- align=center
| IV || > 0 || < 0
|}
<br {{clear="all">}}
 
== Referensi ==
 
<references />
 
== Pranala luar ==
 
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/Coordinates.shtml Sistem koordinasi Cartesius]
* {{planetmath reference|id=6016|title=Koordinat Cartesius}}
* [http://mathworld.wolfram.com/CartesianCoordinates.html Deskripsi MathWorld tentang koordinat Cartesius]
* [http://www.random-science-tools.com/maths/coordinate-converter.htm Konverter Koordinat - mengubah koordinat kutub, Cartesius, dan bola]
* [http://www.mathopenref.com/coordpoint.html Coordinates of a point] Alat interaktif untuk menjelajahi koordinat suatu titik
* [https://github.com/DanIsraelMalta/CoordSysJS kelas JavaScript sumber terbuka untuk manipulasi sistem koordinat Cartesius 2D / 3D]
 
[[Kategori:Matematika dasar]]
[[Kategori:René Descartes]]
[[Kategori:Geometri analitik]]
[[Kategori:Sistem koordinat ortogonal]]
 
[[fi:Koordinaatisto#Suorakulmainen koordinaatisto]]