Topologi: Perbedaan antara revisi

* [[Topologi umum|Topologi titik-himpunan]], yang menetapkan dasar aspek topologi dan menyelidiki konsep yang hakiki pada ruang topologi - contoh dasar adalah [[Ruang kompak|kekompakan]] dan [[kesinambunganketerhubungan]].

Dalam salah satu makalah pertama di topologi, Leonhard Euler menunjukkan bahwa tidak mungkin menemukan rute melalui kota Königsberg (sekarang [[Kaliningrad]]) yang akan melintasi ketujuh jembatannya tepat satu kali. Hasil ini tidak bergantung pada panjang jembatan atau jarak satu sama lain, tetapi hanya pada properti konektivitas: jembatan mana yang menghubungkan ke pulau atau tepi sungai mana. Masalah [[Tujuh Jembatan Königsberg]] ini menyebabkan cabang matematika yang dikenal sebagai [[teori grafikgraf]].

Serupa dengan itu, [[teorema bola berbulu]] dari topologi aljabar mengatakan bahwa "seseorang tidak dapat menyisir rambut hingga rata pada bola berbulu tanpa membuat [[jilatan rambut]]." Fakta ini langsung meyakinkan bagi kebanyakan orang, meskipun mereka mungkin tidak mengenali pernyataan teorema yang lebih formal, bahwa tidak ada [[bidangMedan vektor | bidangmedan vektor singgung]] kontinu tak menghilang pada bola. Seperti dengan '' Jembatan Königsberg '', hasilnya tidak bergantung pada bentuk bola; ini berlaku untuk semua jenis gumpalan halus, selama tidak ada lubang.

Pengantar [[latihan (matematika)|latihan]] adalah untuk mengklasifikasikan huruf besar dari [[alfabet Inggrisbahasa Indonesia]] menurut persamaan homeomorfisme dan homotopi. Hasilnya tergantung pada font yang digunakan, dan apakah goresan yang membentuk huruf memiliki ketebalan atau kurva ideal tanpa ketebalan. Gambar di sini menggunakan font [[sans-serif]] [[Segudang (font)|Banyak sekaliMyriad]] dan diasumsikan terdiri dari kurva ideal tanpa ketebalan. Kesetaraan homotopi adalah hubungan yang lebih kasar daripada homeomorfisme; kelas kesetaraan homotopy dapat berisi beberapa kelas homeomorfisme. Kasus sederhana persamaan homotopi yang dijelaskan di atas dapat digunakan di sini untuk menunjukkan dua huruf yang setara homotopi. Misalnya, OF pas di dalam P dan ekor P bisa dijepit ke bagian "lubang".

Untuk mengklasifikasikan huruf dengan benar, kita harus menunjukkan bahwa dua huruf di kelas yang sama adalah setara dan dua huruf di kelas yang berbeda tidak setara. Dalam kasus homeomorfisme, ini dapat dilakukan dengan memilih titik dan menunjukkan penghapusannya memutus huruf secara berbeda. Misalnya, X dan Y tidak homeomorfik karena menghilangkan titik tengah X menyisakan empat buah; titik apa pun di Y yang sesuai dengan titik ini, penghapusannya dapat menyisakan paling banyak tiga bagian. Kasus kesetaraan homotopi lebih sulit dan membutuhkan argumen yang lebih rumit yang menunjukkan invari aljabar, seperti [[kelompokgrup fundamental]], berbeda pada kelas yang seharusnya berbeda.

Topologi, sebagai disiplin matematika yang terdefinisi dengan baik, berasal dari awal abad kedua puluh, tetapi beberapa hasil terisolasi dapat ditelusuri kembali beberapa abad.<ref name=Croom7>{{harvnb|Croom|1989|page=7}}</ref> Diantaranya adalah beberapa pertanyaan dalam geometri yang diselidiki oleh [[Leonhard Euler]]. Makalah tahun 1736 tentang [[Tujuh Jembatan Königsberg]] dianggap sebagai salah satu aplikasi praktis pertama topologi.<ref name=Croom7 /> Pada tanggal 14 November 1750, Euler menulis kepada seorang temannya bahwa dia telah menyadari pentingnya '' tepi '' dari sebuah [[polyhedronpolihedron]]. Hal ini menyebabkan [[rumus polihedronKarakteristik Euler|rumus polihedron]], {{math|1=''V'' − ''E'' + ''F'' = 2}} (dimana {{mvar|V}}, {{mvar|E}}, dan {{mvar|F}} masing-masing menunjukkan jumlah simpul, tepi, dan permukaan polihedron). Beberapa otoritas menganggap analisis ini sebagai teorema pertama, yang menandakan kelahiran topologi.<ref>{{harvnb|Richeson|2008|page=63}}; {{harvnb|Aleksandrov|1969|page=204}}</ref>

Kontribusi lebih lanjut dibuat oleh [[Augustin-Louis Cauchy]], [[Ludwig Schläfli]], [[Daftar Johann BenediktusBenedict Listing]], [[Bernhard Riemann]] dan [[Enrico Betti]].<ref name="Richeson">Richeson (2008)</ref> Listing memperkenalkan istilah "Topologie" dalam '' Vorstudien zur Topologie '', ditulis dalam bahasa Jerman asalnya, pada tahun 1847, setelah menggunakan kata tersebut selama sepuluh tahun dalam korespondensi sebelum kemunculan pertamanya dalam prin.<ref>Listing, Johann Benedict, "Vorstudien zur Topologie", Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, p.&nbsp;67, 1848</ref> Bentuk bahasa Inggris "topologi" digunakan pada tahun 1883 dalam obituari Listing di jurnal [[Nature (journal) | '' Nature '']] untuk membedakan "geometri kualitatif dari geometri biasa di mana geometri kuantitatif.<ref>{{cite journal|doi=10.1038/027316a0|title=Johann Benedict Listing (obituary)|date=1 February 1883|last1=Tait|first1=Peter Guthrie|journal=Nature|volume=27|issue=692|pages=316–317|bibcode=1883Natur..27..316P|doi-access=free}}</ref>

Pekerjaan mereka dikoreksi, dikonsolidasikan, dan sangat diperluas oleh [[Henri Poincaré]]. Pada tahun 1895, ia menerbitkan makalah terobosannya tentang '' [[Situs Analisis (makalah)|Analisis Situs Analisis]] '', yang memperkenalkan konsep yang sekarang dikenal sebagai [[homotopi]] dan [[Homologi (matematika) | homologi]], yang sekarang dianggap sebagai bagian dari [[topologi aljabar]].<ref name="Richeson"/>

Topologi modern sangat bergantung pada gagasan teori himpunan, yang dikembangkan oleh Georg Cantor di akhir abad ke-19. Selain menetapkan ide-ide dasar teori himpunan, Cantor mempertimbangkan himpunan titik dalam [[ruang Euklides]] sebagai bagian dari studinya tentang [[deret Fourier]]. Untuk perkembangan lebih lanjut, lihat [[Topologi umum|topologi himpunan -titik]] dan topologi aljabar.

Istilah '''topologi''' juga dipakai untuk sebuah ide matematis yang sangat pokok dalam sebuah cabang matematika yang disebut topologi. Secara sederhana, sebuah topologi memberikan deskripsi bagaimana anggota-anggota dalam sebuah himpunan saling terkait secara spasial (misal kedekatan antara 2 titik). Himpunan yang sama dapat pula diberikan topologi yang berbeda. Misalkan, [[garis bilangan real]], [[bidang kompleks]], dan [[himpunan Kantor|himpunan Cantor]] dapat dianggap sebagai himpunan yang sama tetapi dengan topologi yang berbeda-beda (ketiganya memiliki [[kardinalitas]] yang sama).