Aksioma perluasan

Aksioma perluasan^[1] (atau aksioma kesamaan^[2]) adalah suatu aksioma teori himpunan yang dirumuskan oleh Richard Dedekind pada tahun 1888, yang menyatakan bahwa dua himpunan adalah sama jika dan hanya jika keduanya memiliki anggota yang sama.^[3] Dari Dedekind ini kemudian Ernst Zermelo mengambil aksimoa perluasan ini untuk masuk dalam teori himpunan Zermelo.^[4]

Bunyi aksioma

Secara formal, dalam bentuk logika predikat dengan objek-objeknya adalah himpunan, aksioma perluasan dapat ditulis sebagai

\forall A,B\colon (A=B\iff \forall c\colon (c\in A\iff c\in B))

,

artinya sebarang himpunan $A$ dan $B$ dikatakan sama jika dan hanya jika berlaku setiap anggota himpunan $A$ adalah anggota himpunan $B$ dan anggota himpunan $B$ adalah anggota himpunan $A$ .

Rujukan

^ Lipschutz, Seymour (1995). Teori Himpunan. Diterjemahkan oleh Pantur Silaban, Ph.D. Jakarta: Penerbit Erlangga.
^ Subhan, Muhammad (2018-10-19). "Pengantar Dasar Matematika". doi:10.31219/osf.io/a86zs.
^ Richard Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen? Vieweg, Braunschweig 1888, § 1.2, Zitat: „Das System S ist daher dasselbe wie das System T, in Zeichen S=T, wenn jedes Element von S auch Element von T und jedes Element von T auch Element von S ist.“ online.
^ Ernst Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. (1907). In: Mathematische Annalen. Bd. 65, 1908, S. 261–281, dort Axiom II S. 263, das Axiom der Bestimmtheit, von der Dedekind spricht. Zermelo erwähnt Dedekind einleitend als Vorbild.

[1] Lipschutz, Seymour (1995). Teori Himpunan. Diterjemahkan oleh Pantur Silaban, Ph.D. Jakarta: Penerbit Erlangga.

[2] Subhan, Muhammad (2018-10-19). "Pengantar Dasar Matematika". doi:10.31219/osf.io/a86zs.

[3] Richard Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen? Vieweg, Braunschweig 1888, § 1.2, Zitat: „Das System S ist daher dasselbe wie das System T, in Zeichen S=T, wenn jedes Element von S auch Element von T und jedes Element von T auch Element von S ist.“ online.

[4] Ernst Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. (1907). In: Mathematische Annalen. Bd. 65, 1908, S. 261–281, dort Axiom II S. 263, das Axiom der Bestimmtheit, von der Dedekind spricht. Zermelo erwähnt Dedekind einleitend als Vorbild.

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