Alir Ricci

Dalam geometri diferensial, alir Ricci adalah alir geometri instrinsik - suatu proses yang mendeformasi metrik manifold Riemannian - dalam hal ini dalam cara formal analog dengan difusi kalor, dengan demikian melicinkan ketakteraturan dalam metrik. Alir Ricci memegang peranan penting dalam pembuktian dugaan Poincaré, salah satu dari tujuh Problem Hadiah Millennium yang mana Institut Matematika Clay menawarkan hadiah $1,000,000 untuk solusi yang benar; lihat Solusi Dugaan Poincaré, dan dalam konteks ini juga disebut alir Ricci-Hamilton.

Definisi Matematika

Diberikan manifold Riemannian dengan tensor metrik $g_{ij}$, kita dapat menghitung tensor Ricci $R_{ij}$, yang menghimpun rerata kelengkungan bagian ke dalam "trace" dari tensor kelengkungan Riemann. Jika kita meninjau tensor metrik (dan tensor Ricci terkait) menjadi fungsi peubah yang biasanya disebut "waktu", maka alir Ricci dapat didefinisikan dengan persamaan evolusi geometri

$\partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}.$

Alir Ricci ternormalisasi memiliki makna untuk manifold kompak dan diberikan oleh persamaan

$\partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}+{\frac {2}{n}}R_{\mathrm {avg} }g_{ij}$

dimana $R_{\mathrm {avg} }$ adalah kelengkungan skalar rata-rata (yang diperoleh dari tensor Ricci dengan mengambil trace) dan $n$ adalah dimensi manifold. Persamaan ternormalisasi ini mengekalkan volume metrik.

Faktor −2 tak begitu signifikan, karena ia dapat diubah menjadi sembarang bilangan riil tak nol dengan cara menskala t. Namun, tanda minus menjamin bahwa alir Ricci terdefinisi baik untuk waktu positip yang cukup kecil; jika tanda berubah maka alir Ricci akan terdefinisi untuk waktu negatip kecil. (Hal ini serupa dengan cara dimana persamaan panas dapat mengalir maju dalam waktu, tetapi tidak mengalir mundur dalam waktu.)

Secara informal, alir Ricci cenderung mengekspansi daerah melengkung negatip dari manifold, dan mengontraksi daerah melengkung positip.

Hubungan Alir Ricci dengan Difusi

Untuk melihat mengapa persamaan evolusi yang mendefinisikan alir Ricci adalah sungguh-sungguh suatu jenis persamaan difusi nonlinier, kita dapat meninjau kasus khusus manifold-dua (riil) secara lebih rinci.

Sembarang tensor metrik pada manifold-dua dapat ditulis berhubungan dengan peta koordinat isotermal eksponensial dalam bentuk

$ds^{2}=\exp(2\,p(x,y))\,\left(dx^{2}+dy^{2}\right)$

(Koordinat ini memberi contoh peta koordinat pemetaan konformal karena sudut, bukan jarak, terwakilkan dengan benar.)

Cara yang paling mudah menghitung tensor Ricci dan operator Laplace-Beltrami untuk manifold-dua Riemannian adalah dengan cara menggunakan metode bentuk diferensial Élie Cartan. Ambil medan koframe

$\sigma ^{1}=\exp(p)\,dx,\;\;\sigma ^{2}=\exp(p)\,dy$

sehingga tensor metrik menjadi

$\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}+\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{2}=\exp(2p)\,\left(dx\otimes dx+dy\otimes dy\right)$

Kemudian, diberikan sembarang fungsi halus $h(x,y)$, hitung turunan eksterior

$dh=h_{x}dx+h_{y}dy=\exp(-p)h_{x}\,\sigma ^{1}+\exp(-p)h_{y}\,\sigma ^{2}$

Ambil dual Hodge

$\star dh=-\exp(-p)h_{y}\,\sigma ^{1}+\exp(-p)h_{x}\,\sigma ^{2}=-h_{y}\,dx+h_{x}\,dy$

Ambil turunan eksterior yang lain

$d\star dh=-h_{yy}\,dy\wedge dx+h_{xx}\,dx\wedge dy=\left(h_{xx}+h_{yy}\right)\,dx\wedge dy$

(dimana kita menggunakan sifat anti-komutatif dari perkalian eksterior. Yakni,

$d\star dh=\exp(-2p)\,\left(h_{xx}+h_{yy}\right)\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}$

Ambil dual Hodge yang lain memberikan

$\Delta h=\star d\star dh=\exp(-2p)\,\left(h_{xx}+h_{yy}\right)$

yang memberikan pernyataan yang diperlukan untuk operator Laplace/Beltrami

$\Delta =\exp(-2\,p(x,y))\left(D_{x}^{2}+D_{y}^{2}\right)$

Untuk menghitung tensor kelengkungan, kita mengambil turunan eksterior dari medan kovektor pembuat koframe:

$d\sigma ^{1}=p_{y}\exp(p)dy\wedge dx=-\left(p_{y}dx\right)\wedge \sigma ^{2}=-{\omega ^{1}}_{2}\wedge \sigma ^{2}$

$d\sigma ^{2}=p_{x}\exp(p)dx\wedge dy=-\left(p_{x}dy\right)\wedge \sigma ^{1}=-{\omega ^{2}}_{1}\wedge \sigma ^{1}$

Dari ekspresi ini, kita dapat membacakan hanya satu-bentuk hubungan tak gayut

${\omega ^{1}}_{2}=p_{y}dx-p_{x}dy$

Ambil turunan eksterior yang lain

$d{\omega ^{1}}_{2}=p_{yy}dy\wedge dx-p_{xx}dx\wedge dy=-\left(p_{xx}+p_{yy}\right)\,dx\wedge dy$

Hal ini memberi dua-bentuk kelengkungan

${\Omega ^{1}}_{2}=-\exp(-2p)\left(p_{xx}+p_{yy}\right)\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}=-\Delta p\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}$

dari mana kita dapat membacakan hanya komponen tak gayut linier dari tensor Riemann menggunakan

${\Omega ^{1}}_{2}={R^{1}}_{212}\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}$

Katakanlah

${R^{1}}_{212}=-\Delta p$

dari mana hanya komponen tak nol dari tensor Ricci adalah

$R_{22}=R_{11}=-\Delta p$

Dari sini, kita menemukan komponen berhubungan dengan kobasis koordinat, katakanlah

$R_{xx}=R_{yy}=-\left(p_{xx}+p_{yy}\right)$

Namun, tensor metrik adalah juga diagonal, dengan

$g_{xx}=g_{yy}=\exp(2p)$

dan setelah beberapa manipulasi dasar, kita memperoleh pernyataan yang elegan untuk alir Ricci:

${\frac {\partial p}{\partial t}}=\Delta p$

Hal ini adalah perwujudan yang analog dengan ketenaran persamaan difusi, persamaan kalor

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u$

dimana sekarang $\Delta =D_{x}^{2}+D_{y}^{2}$ adalah Laplacian biasa pada bidang Euklidean.

Pembaca dapat berkeberatan bahwa persamaan kalor adalah tentunya persamaan turunan parsial linier---dimana nonlinieritas yang dijanjikan dalam persamaan turunan parsial mendefinisikan alir Ricci?

Jawabannya adalah bahwa nonlinieritas ada karena operator Laplace-Beltrami gayut pada fungsi yang sama p yang kita gunakan untuk mendefinisikan metrik. Namun, nyatakan bahwa bidang Euklidean datar diberikan dengan mengambil $p(x,y)=0$. Sehingga jika $p$ adalah kecil dalam ukuran, kita dapat meninjaunya untuk mendefinisikan deviasi kecil dari geometri bidang datar, dan jika kita menahan hanya suku-suku orde pertama dalam perhitungan eksponensial, alir Ricci pada dua-dimensi hampir seluruhnya manifold Riemann datar menjadi persamaan kalor dua dimensi.