Dalam matematika, argumen dari maksimum (arguments of the maxima, disingkat sebagai arg max atau argmax), adalah titik, atau elemen, pada domain suatu fungsi yang menghasilkan nilai terbesar dari fungsi tersebut. Berbeda dengan maksimum global yang merujuk pada nilai keluaran terbesar dari sebuah fungsi, argmax merujuk pada nilai input (argumen) dari fungsi, yang ketika dievaluasi akan menghasilkan nilai keluaran terbesar fungsi tersebut.

Sebagai contoh, kedua fungsi di atas memiliki berupa {0} karena keduanya mencapai nilai maksimum global 1 saat x=0. Fungsi berwarna merah memiliki arg min berupa (aproksimasi) {−4.49, 4.49} karena fungsi tersebut memiliki dua minimum global sekitar −0.217, yang terjadi saat x=±4.49. Namun walaupun memiliki nilai minimum global yang sama, fungsi berwarna biru memiliki arg min berupa {−1.43, 1.43} (aproksimasi), karena global minimum terjadi saat x=±1.43.[1]

Definisi

sunting

Untuk sebarang himpunan  , himpunan   dengan urutan total, dan sebuah fungsi  , nilai   pada suatu subset   dari   didefinisikan sebagai  

Pada kasus   atau   jelas dari konteks pembicaraan, umumnya   tidak ditulis; sebagai contoh: Dalam kata lain,   merupakan himpunan titik   yang menyebabkan   menghasilkan nilai maksimum (jika nilainya ada).   dapat berupa himpunan kosong, singleton, atau himpunan berisi banyak elemen.

Pada bidang analisis konveks dan analisis variasi, definisi yang sedikit berbeda digunakan untuk kasus khusus ketika   adalah bilangan real yang diperluas (extended real numbers).[2] Dalam kasus khusus ini, jika nilai   secara identik sama dengan   pada  , maka   (dengan kata lain,  ). Sedangkan pada kasus lainnya   didefinisikan sama dengan definisi pada umumnya, yang juga dapat ditulis sebagai:  Perlu ditekankan bahwa persamaan yang melibatkan   hanya berlaku ketika   tidak identik dengan   pada subset  .[2]

Arg min

sunting

Istilah   (atau  ) yang merujuk pada argumen dari minimum, didefinisikan serupa seperti  . Sebagai contoh,

 

adalah titik-(titik)   yang menyebabkan   menghasilkan nilai terkecilnya. Operator ini adalah komplemen dari  . Pada kasus khusus   merupakan bilangan real yang diperluas, jika nilai   identik dengan   pada   maka   (dengan kata lain,  ). Sedangkan pada kasus lainnya (yakni nilai   tidak sama dengan  ) ,   punya definisi yang sama dengan definisi pada umumnya. Selain itu, argmin juga memenuhi:

 [2]

Contoh

sunting

Sebagai contoh, jika   didefinisikan sebagai   maka   akan mencapai nilai maksimum   hanya pada titik   Dengan demikian,

 

Operator   berbeda dengan operator  . Operator   ketika diterapkan pada fungsi akan menghasilkan nilai maksimum dari fungsi tersebut, bukan himpunan titik yang membuat fungsi menghasilkan nilai maksimum tersebut. Secara lebih formal,

  adalah elemen dari himpunan  

Ada beberapa operasi yang tidak mengubah himpunan yang dihasilkan oleh argmax. Karena argmax didefinisikan oleh sebuah pertidaksamaan, operasi-operasi berikut pada dasarnya berupa operasi yang mengawetkan pertidaksamaan. Berikut adalah beberapa contohnya:[3]

  1. Jika   adalah sebuah konstanta, maka  
  2. Jika  , maka  
  3. Jika  , maka  
  4. Jika  , maka  
  5. Jika fungsi   monotonik secara tegas, yakni   menyebabkan  , terdapat hubungan  

Sifat terakhir sering digunakan dalam perhitungan yang melibatkan probabilitas. Perkalian probabilitas dapat ditransformasi menjadi penjumlahan log-probabilitas dengan menerapkan fungsi monotonik tegas  . Dengan kata lain  

Referensi

sunting
  1. ^ "The Unnormalized Sinc Function Diarsipkan 2017-02-15 di Wayback Machine.", University of Sydney
  2. ^ a b c Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B (26 June 2009). Variational Analysis. Volume 317 of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Springer Berlin Heidelberg. hlm. 1–37. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544. 
  3. ^ https://www.cs.ubc.ca/~schmidtm/Documents/2016_540_Argmax.pdf

Pranala eksternal

sunting