Arithmetica

	Sampul dari edisi tahun 1621, diterjemahkan ke Bahasa Latin dari Bahasa Yunani oleh Claude Gaspard Bachet de Méziriac.
Pengarang	Diofantos

Arithmetica (bahasa Yunani: Ἀριθμητικά) adalah teks Yunani Kuno tentang matematika yang ditulis oleh ahli matematika Diofantos (ca 200/214 M–ca 284/298 M) pada abad ke-3 Masehi.^[1] Buku ini adalah kumpulan dari 150 masalah aljabar untuk memberikan solusi numerik dari persamaan determinate (yang memiliki solusi unik) dan persamaan tak tentu.^[2]

Konten

Persamaan-persamaan dalam buku ini sekarang dikenal sebagai persamaan Diofantin. Metode untuk menyelesaikan persamaan ini dikenal sebagai analisis Diofantin. Sebagian besar masalah Arithmetica mengarah pada persamaan kuadrat.

Dalam Buku 3, Diofantos menyelesaikan permasalahan menemukan nilai yang membuat dua ekspresi linier secara bersamaan memiliki solusi kuadratik atau kubik. Buku 4 membahas perpangkatan rasional pada bilangan-bilangan yang diberikan. Dia juga memperhatikan angka-angka yang berbentuk $4n+3$ tidak bisa berasal dari jumlah dari dua bilangan kuadrat. Diofantos tampaknya juga mengetahui bahwa setiap bilangan dapat ditulis sebagai jumlah dari empat bilangan kuadrat. Jika dia benar-benar mengetahui hasil ini (dalam arti telah membuktikannya dan bukan hanya sekadar menduga-duga), tindakannya itu akan benar-benar luar biasa: bahkan Fermat, yang juga menemukan hasil ini, gagal memberikan bukti. Permasalahan tersebut tidak terbuktikan sampai Joseph Louis Lagrange membuktikannya menggunakan hasil dari Leonhard Euler.

Arithmetica awalnya ditulis dalam tiga belas buku, tetapi manuskrip Yunani yang bertahan hingga saat ini berisi tidak lebih dari enam buku.^[3] Pada tahun 1968, Fuat Sezgin menemukan empat buku Arithmetica yang sebelumnya tidak diketahui di kompleks makam Imam Rezā, di kota Masyhad di bagian timur laut Iran.^[4] Keempat buku tersebut diperkirakan telah diterjemahkan dari bahasa Yunani ke bahasa Arab oleh Qusta bin Luqa (820–912).^[3] Norbert Schappacher telah menulis [diterjemahkan]:

[Empat buku yang hilang] telah muncul kembali sekitar tahun 1971 di Perpustakaan Astan Quds di Meshed (Iran) dalam salinan dari tahun 1198 Masehi. Buku-bukut tersebut tidak dikatalogkan dengan nama Diofantos (tetapi oleh nama Qusta bin Luqa) karena pustakawan disana rupanya tidak dapat membaca baris utama halaman sampul karena tempat nama Diophantus muncul dalam kaligrafi Kufi.^[5]

Arithmetica dikenal oleh para ahli matematika di dunia Islam pada abad kesepuluh^[6] ketika Abul Wafa menerjemahkannya ke dalam bahasa Arab.^[7]

Aljabar sinkopasi

Diophantus adalah seorang matematikawan Helenistik yang hidup sekitar tahun 250 M, tetapi ketidakpastian tanggal ini begitu besar sehingga mungkin meleset lebih dari satu abad. Dia dikenal karena menulis Arithmetica, sebuah risalah yang awalnya tiga belas buku tetapi hanya enam yang pertama yang bertahan.^[8] Arithmetica memiliki sangat sedikit kesamaan dengan matematika Yunani tradisional karena ia tidak berdasarkan metode geometris, dan juga berbeda dari matematika Babylonia karena Diofantos berfokus pada solusi yang tepat, baik untuk kasus determinate maupun inderteminate, bukan pada perkiraan sederhana.^[2]

Di Arithmetica, Diofantos adalah orang pertama yang menggunakan simbol untuk angka yang tidak diketahui serta singkatan untuk kekuatan angka, hubungan, dan operasi;^[2] jadi dia menggunakan apa yang sekarang dikenal sebagai aljabar sinkopasi. Perbedaan utama antara aljabar sinkopasi Diofantin dan notasi aljabar modern adalah bahwa notasi aljabar modern tidak memiliki simbol khusus untuk operasi, relasi, dan eksponensial.^[9] Jadi, misalnya, apa yang kita tulis

x^{3}-2x^{2}+10x-1=5

Diofantos akan menulisnya sebagai

Κ ^υ ᾱ̄ ζ ί̄ ⫛ Δ ^υ β̄ Μ ᾱ̄ ἴσ Μ ε̄

Berikut adalah simbol-simbol dan objek yang diwakilinya:^[10]^[11]

Simbol	Perwakilan
ᾱ̄	mewakili 1
β̄	mewakili 2
ε̄	mewakili 5
ί̄	mewakili 10
ζ	mewakili kuantitas yang tidak diketahui
ἴσ	(kependekan dari ἴσος) mewakili "sama dengan"
⫛	mewakili pengurangan dari semua yang mengikutinya hingga ἴσ
Μ	mewakili pangkat nol (yaitu suku konstan)
Δ ^υ	mewakili kekuatan kedua, dari bahasa Yunani δύναμις , artinya kekuatan atau kekuasaan
Κ ^υ	mewakili kekuatan ketiga, dari bahasa Yunani κύβος , artinya kubus
Δ ^υ Δ	mewakili kekuatan keempat
ΔΚ ^υ	mewakili kekuatan kelima
Κ ^υ Κ	mewakili kekuatan keenam

Perhatikan bahwa koefisien terletak setelah variabel dan penambahan tersebut diwakili oleh penggabungan suku-suku. Terjemahan simbol-demi-simbol secara literal dari persamaan sinkopasi Diofantos dalam persamaan simbolik modern adalah sebagai berikut:^[10]

{x^{3}}1{x}10-{x^{2}}2{x^{0}}1={x^{0}}5

dan, dengan menggunakan tanda kurung dan tanda plus untuk memperjelas, maka persamaan di atas dapat ditulis ulang sebagai:^[10]

({x^{3}}1+{x}10)-({x^{2}}2+{x^{0}}1)={x^{0}}5

Arithmetica adalah koleksi sekitar 150 solusi penyelesaian masalah-masalah spesifik. Walau ada kemungkinan bahwa Diofantos mengharapkan keumuman dari metodenya, buku ini tidak menyertakan perkembangan teoritis maupun metode penyelesaian umum yang eksplisit. Diofantos juga tidak berusaha untuk mencari semua solusi dari persamaan-persamaan.^[2] Arithmetica berisi penyelesaian masalah yang melibatkan beberapa variabel, yang didapatkan (jika memungkinkan) dengan menyatakan sebuah variabel sebagai ekspresi dari variabel-variabel lainnya.^[2] Arithmetica juga menggunakan identitas:^[12]

$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$	$=(ac+db)^{2}+(bc-ad)^{2}$
	$=(ad+bc)^{2}+(ac-bd)^{2}$

Daftar pustaka

Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (edisi ke-2). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7.
Derbyshire, John (2006). Unknown Quantity: A Real And Imaginary History of Algebra. Joseph Henry Press. ISBN 0-309-09657-X.
Cooke, Roger (1997). The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-18082-3.

Referensi

^ "Diophantus of Alexandria (Greek mathematician)". Encyclopædia Britannica. Diakses tanggal 11 April 2013.
^ ^a ^b ^c ^d ^e (Boyer 1991) [terjemahan] "Dalam konteks ini [buku ini] dapat dibandingkan dengan karya klasik besar dari zaman Aleksandria sebelumnya; walau secara praktis tidak ada kesamaannya atau, pada kenyataannya, dengan matematika Yunani tradisional. Buku ini pada dasarnya mewakili cabang baru dan menggunakan pendekatan yang berbeda. Tidak menggunakan metode geometris, buku ini sebagian besar menyerupai aljabar Babilonia. Tapi sementara matematikawan Babilonia berfokus terutama pada prakiraan solusi persamaan determinate sampai pada derajat ketiga, Arithmetica Diofantos (seperti yang kita miliki) hampir seluruhnya dikhususkan untuk solusi persamaan yang tepat, baik pada kasus determinate maupun indeterminate. [...] Sepanjang enam buku Arithmetica yang masih ada, terdapat penggunaan singkatan yang sistematis untuk perpangkatan angka dan untuk hubungan maupun operasi. Angka yang tidak diketahui diwakili oleh simbol yang menyerupai huruf Yunani ζ (mungkin berasal dari huruf terakhir arithmos). [...] Ini adalah kumpulan dari sekitar 150 masalah, semua dikerjakan dalam bentuk contoh numerik tertentu, meskipun mungkin adal metode umum yang dimaksudkan. Tidak ada pengembangan postulat, juga tidak ada upaya untuk menemukan semua solusi yang mungkin. Dalam kasus persamaan kuadrat dengan dua akar positif, hanya akar yang lebih besar yang diberikan, dan akar negatif tidak dikenal. Tidak ada perbedaan yang jelas dibuat antara masalah determinate dan indeterminate, dan bahkan untuk masalah yang terakhir yang jumlah penyelesaiannya umumnya tidak terbatas, hanya satu solusi yang diberikan. Diophantus memecahkan masalah yang melibatkan beberapa bilangan yang tidak diketahui dengan mengekspresikan secara terampil semua variabel yang tidak diketahui, yang jika memungkinkan, hanya dalam salah satu dari mereka."
^ ^a ^b Magill, Frank N., ed. (1998). Dictionary of World Biography. 1. Salem Press. hlm. 362. ISBN 9781135457396.
^ Hogendijk, Jan P. (1985). "Review of J. Sesiano, Books IV to VII of Diophantus' Arithmetica". Diakses tanggal 2014-07-06. [diterjemahkan] Hanya enam dari tiga belas buku dari Arithmetica dari Diophantus (ca. 250 M) yang masih ada dalam bahasa Yunani. Buku-buku yang tersisa diyakini hilang, sampai ditemukannya terjemahan empat buku dalam bahasa Arab pada abad pertengahan, yang baru-baru ini ditemukan dalam sebuah manuskrip di Perpustakaan Kuil di Meshed di Iran (lihat katalog [Gulchin-i Ma'ani 1971-1972, pp. 235-236]. Naskah itu ditemukan pada tahun 1968 oleh F. Sezgin).
^ Schappacher, Norbert (April 2005). "Diophantus of Alexandria : a Text and its History" (PDF). hlm. 18. Diakses tanggal 2015-10-09.
^ (Boyer 1991) "Karena penghapusan nama Diofantos dan Pappus, mereka [sebagai penulis buku] tidak dikenal di Arab pada awalnya, walau karya Arithmetica Diofantos terkenal sebelum akhir abad kesepuluh"
^ (Boyer 1991) [terjemahan] "Abul-Wefa adalah ahli aljabar dan trigonometer yang mumpuni. Ia mengomentrari Algebra karya Aal-Khwarizmi dan menerjemahkan salah satu karya Yunani klasik yang terakhir, Arithmetica karya Diophantus."
^ (Boyer 1991) [terjemahan] "Ketidakpastian tentang hiduo Diofantos begitu besar sehingga kita tidak tahu secara pasti di abad mana dia hidup. Umumnya ia diasumsikan berkembang sekitar tahun 250 M, tetapi selisih sebesar satu abad lebih awal atau kemudian terkadang digunakan [...] Jika teka-teki ini akurat secara historis, Diophantus hidup sampai usia delapan puluh empat tahun. [...] Karya utama Diophantine yang kita kenal adalah Arithmetica, sebuah risalah yang aslinya ada dalam tiga belas buku, hanya enam yang pertama yang bertahan."
^ (Boyer 1991) [terjemahan] "Perbedaan utama antara sinkopasi Diophantine dan notasi aljabar modern adalah kurangnya simbol-simbol khusus untuk operasi dan relasi, serta notasi eksponensial."
^ ^a ^b ^c (Derbyshire 2006)
^ (Cooke 1997)
^ (Boyer 1991, "Europe in the Middle Ages" p. 257) "The book makes frequent use of the identities [...] which had appeared in Diophantus and had been widely used by the Arabs."

[1] "Diophantus of Alexandria (Greek mathematician)". Encyclopædia Britannica. Diakses tanggal 11 April 2013.

[Boyer_Arithmetica-2] (Boyer 1991) [terjemahan] "Dalam konteks ini [buku ini] dapat dibandingkan dengan karya klasik besar dari zaman Aleksandria sebelumnya; walau secara praktis tidak ada kesamaannya atau, pada kenyataannya, dengan matematika Yunani tradisional. Buku ini pada dasarnya mewakili cabang baru dan menggunakan pendekatan yang berbeda. Tidak menggunakan metode geometris, buku ini sebagian besar menyerupai aljabar Babilonia. Tapi sementara matematikawan Babilonia berfokus terutama pada prakiraan solusi persamaan determinate sampai pada derajat ketiga, Arithmetica Diofantos (seperti yang kita miliki) hampir seluruhnya dikhususkan untuk solusi persamaan yang tepat, baik pada kasus determinate maupun indeterminate. [...] Sepanjang enam buku Arithmetica yang masih ada, terdapat penggunaan singkatan yang sistematis untuk perpangkatan angka dan untuk hubungan maupun operasi. Angka yang tidak diketahui diwakili oleh simbol yang menyerupai huruf Yunani ζ (mungkin berasal dari huruf terakhir arithmos). [...] Ini adalah kumpulan dari sekitar 150 masalah, semua dikerjakan dalam bentuk contoh numerik tertentu, meskipun mungkin adal metode umum yang dimaksudkan. Tidak ada pengembangan postulat, juga tidak ada upaya untuk menemukan semua solusi yang mungkin. Dalam kasus persamaan kuadrat dengan dua akar positif, hanya akar yang lebih besar yang diberikan, dan akar negatif tidak dikenal. Tidak ada perbedaan yang jelas dibuat antara masalah determinate dan indeterminate, dan bahkan untuk masalah yang terakhir yang jumlah penyelesaiannya umumnya tidak terbatas, hanya satu solusi yang diberikan. Diophantus memecahkan masalah yang melibatkan beberapa bilangan yang tidak diketahui dengan mengekspresikan secara terampil semua variabel yang tidak diketahui, yang jika memungkinkan, hanya dalam salah satu dari mereka."

[magill-3] Magill, Frank N., ed. (1998). Dictionary of World Biography. 1. Salem Press. hlm. 362. ISBN 9781135457396.

[4] Hogendijk, Jan P. (1985). "Review of J. Sesiano, Books IV to VII of Diophantus' Arithmetica". Diakses tanggal 2014-07-06. [diterjemahkan] Hanya enam dari tiga belas buku dari Arithmetica dari Diophantus (ca. 250 M) yang masih ada dalam bahasa Yunani. Buku-buku yang tersisa diyakini hilang, sampai ditemukannya terjemahan empat buku dalam bahasa Arab pada abad pertengahan, yang baru-baru ini ditemukan dalam sebuah manuskrip di Perpustakaan Kuil di Meshed di Iran (lihat katalog [Gulchin-i Ma'ani 1971-1972, pp. 235-236]. Naskah itu ditemukan pada tahun 1968 oleh F. Sezgin).

[5] Schappacher, Norbert (April 2005). "Diophantus of Alexandria : a Text and its History" (PDF). hlm. 18. Diakses tanggal 2015-10-09.

[6] (Boyer 1991) "Karena penghapusan nama Diofantos dan Pappus, mereka [sebagai penulis buku] tidak dikenal di Arab pada awalnya, walau karya Arithmetica Diofantos terkenal sebelum akhir abad kesepuluh"

[7] (Boyer 1991) [terjemahan] "Abul-Wefa adalah ahli aljabar dan trigonometer yang mumpuni. Ia mengomentrari Algebra karya Aal-Khwarizmi dan menerjemahkan salah satu karya Yunani klasik yang terakhir, Arithmetica karya Diophantus."

[Boyer_Diophantus-8] (Boyer 1991) [terjemahan] "Ketidakpastian tentang hiduo Diofantos begitu besar sehingga kita tidak tahu secara pasti di abad mana dia hidup. Umumnya ia diasumsikan berkembang sekitar tahun 250 M, tetapi selisih sebesar satu abad lebih awal atau kemudian terkadang digunakan [...] Jika teka-teki ini akurat secara historis, Diophantus hidup sampai usia delapan puluh empat tahun. [...] Karya utama Diophantine yang kita kenal adalah Arithmetica, sebuah risalah yang aslinya ada dalam tiga belas buku, hanya enam yang pertama yang bertahan."

[Boyer-9] (Boyer 1991) [terjemahan] "Perbedaan utama antara sinkopasi Diophantine dan notasi aljabar modern adalah kurangnya simbol-simbol khusus untuk operasi dan relasi, serta notasi eksponensial."

[Diophantus_Syncopation-10] (Derbyshire 2006)

[11] (Cooke 1997)

[12] (Boyer 1991, "Europe in the Middle Ages" p. 257) "The book makes frequent use of the identities [...] which had appeared in Diophantus and had been widely used by the Arabs."

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]