Asimtot

Dalam geometri analitis, asimtot dari sebuah kurva adalah sebuah garis yang sedemikian rupa sehingga jarak antara kurva dan garis tersebut mendekati nol seiring x atau y (salah satu atau keduanya) mendekati takhingga. Beberapa sumber menyertakan persyaratan bahwa kurva mungkin tidak melewati garis tanpa batas, tetapi ini tidak biasa bagi penulis modern. Dalam geometri projektif dan konteks terkait, asimtot dari sebuah kurva adalah garis yang bersinggungan dengan kurva pada titik di takhingga.

Grafik fungsi dengan asimtot horizontal (y = 0), vertikal (x = 0), dan miring (garis ungu, diberikan oleh y = 2x)

Kurva yang memotong suatu asimtot berkali-kali sebanyak takhingga

Kata asimtot berasal dari bahasa Yunani ἀσύμπτωτος (asumptōtos) yang berarti 'tidak jatuh bersama' dari ἀ 'tidak' + σύν 'bersama' + πτωτ-ός 'jatuh'. Istilah ini diperkenalkan oleh Apollonius dari Perga dalam karyanya tentang irisan kerucut. Dengan makna yang berbeda dengan makna modern, ia menggunakannya untuk mengartikan setiap garis yang tidak memotong kurva yang diberikan.

Ada tiga jenis asimtot: asimtot horizontal, vertikal, dan miring. Untuk kurva yang diberikan oleh grafik fungsi y = ƒ(x), asimtot horizontal adalah garis horizontal yang mendekati kurva seiring x mendekati +∞ atau −∞. Asimtot vertikal adalah garis-garis vertikal di dekat fungsi yang tumbuh tanpa terikat. Asimtot miring memiliki kemiringan yang tidak nol, tetapi terbatas, sehingga mendekati kurva seiring x mendekati +∞ atau −∞.

Lebih umumnya, suatu kurva adalah asimtot lengkung dari yang lain (sebagai lawan dari asimtot linear) jika jarak antara dua kurva cenderung nol seiring mendekati takhingga, meskipun istilah asimtot dengan sendirinya biasanya diartikan sebagai asimtot linear.

Asimtot menyampaikan informasi tentang perilaku kurva dalam ukuran besar dan penentuan asimtot suatu fungsi merupakan langkah penting dalam membuat sketsa grafiknya. Studi tentang asimtot fungsi, ditafsirkan dalam arti luas, membentuk bagian dari subjek analisis asimtotik.

Asimtot fungsi

Asimtot yang sering ditemui dalam kalkulus adalah asimtot dari kurva yang berbentuk y = ƒ(x). Asimtot tersebut dapat dicari dengan limit.

Asimtot vertikal

Garis x = a adalah asimtot vertikal dari fungsi y = ƒ(x) jika setidaknya salah satu pernyataan berikut terpenuhi:

1. $\lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty$
2. $\lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty$

dengan $\lim _{x\to a^{-}}$ adalah limit x mendekati a dari kiri (dari nilai yang lebih kecil) dan $\lim _{x\to a^{+}}$ adalah limit x mendekati a dari kanan.

Asimtot horizontal

Suatu fungsi dapat memiliki dua asimtot horizontal. Contohnya adalah kurva $y=\arctan(x).$

Asimtot horizontal adalah garis mendatar yang didekati kurva seiring x → ±∞. Garis horizontal y = c adalah asimtot horizontal dari fungsi y = ƒ(x) jika

$\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=c$ atau $\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)=c$.

Asimtot miring

Pada grafik $f(x)=x+{\tfrac {1}{x}}$, sumbu y (x = 0) dan garis y = x adalah asimtotnya.

Ketika asimtot linear tidak paralel dengan sumbu x atau y, ia disebut dengan asimtot miring. Suatu fungsi f(x) memiliki asimtot y = mx + c (m ≠ 0) jika

$\lim _{x\to +\infty }\left[f(x)-(mx+c)\right]=0$ atau $\lim _{x\to -\infty }\left[f(x)-(mx+c)\right]=0.$