Aturan Trapesium Rekursif

Aturan Trapesium Rekursif merupakan suatu metode pengintegralan dalam analisis numerik. Di dalam Kalkulus, integral tentu didefinisikan sebagai sebuah limit jumlah Riemann. Selanjutnya, menurut Teorema Dasar Kalkulus integral tersebut dapat dihitung dengan rumus,

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

Dengan F(x) adalah antiderivatif f(x) (yakni F’(x)=f(x)). Banyak integral tentu yang dapat dihitung dengan rumus tesebut, namun demikian, tidak sedikit integral tentu yang tidak dapat dihitung dengan rumus di atas, hal itu dikarenakan integran f(x)tidak mempunyai antiderivatif yang dapat dinyatakan dalam fungsi-fungsi elementer. Dalam hal ini perhitungan yang dapat dilakukan adalah secara numerik.

Integrasi numerik merupakan suatu alat utama yang digunakan para ilmuwan untuk mendapatkan nilai-nilai hampiran untuk integral tentu yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Dalam mendapatkan nilai-nilai hampiran integral tentu, digunakan banyak metode, salah satu metode yang dapat digunakan adalah Aturan Trapesium Rekursif. Berikut akan dijelaskan penghitungan integral tentu menggunakan Aturan Trapesium Rekursif.

Aturan Trapesium Rekursif

Misalkan $f$ adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada $[a,b]$ . Misalkan $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n}$ suatu partisi sedemikian seihngga $x_{k}=x_{0}+kh$ dengan $h=(b-a)/n$ untuk $k=0,1,2,3,...n$. Perhatikan aturan trapesium untuk fungsi $f$ terhadap partisi di atas (untuk keperluan pembahasan pada bagian ini, kita gunakan notasi kuadratur dengan menyertakan cacah dan lebar subinterval),

$\ T_{n}(f,h)={\frac {h}{2}}(f_{0}+2f_{1}+2f_{2}+....+2f_{n-1}+f_{n})$

$={\frac {h}{2}}(f_{0}+f_{n})+h(f_{1}+f_{2}+....+f_{(}n-1))$

$={\frac {h}{2}}(f_{0}+f_{n})+h\sum _{k=1}^{n-1}f_{k}$...................(1)

Jika lebar setiap subinterval diperkecil separonya, maka didapat

$\ T_{2n}(f,{\frac {h}{2}})={\frac {h}{4}}(f_{0}+f_{2n})+{\frac {h}{2}}\sum _{k=1}^{2n-1}f_{k}$

$={\frac {h}{4}}(f_{0}+f_{2n})+{\frac {h}{2}}\sum _{j=1}^{n-1}f_{2j}+{\frac {h}{2}}\sum _{j=1}^{n}f_{2j-1}$...................(2)

$\ T_{2n}(f,{\frac {h}{2}})={\frac {T_{n}(f,h}{2}}+{\frac {h}{2}}\sum _{j=1}^{n}f_{2j-1}$...................(3)

Pada (1) berlaku $f_{k}=f(x_{0}+kh)$, sedangkan pada (2) berlaku $f_{k}=f(x_{0}+kh/2$, sehingga $f_{2k}$, pada (2) sama dengan $f_{k}$ pada (1). Rumus (3) disebut rumus trapesium rekursif. Rumus ini memungkinkan penggunaan aturan trapesium majemuk secara efisien, tanpa harus menghitung ulang nilai-nilai fungsi di beberapa absis yang sudah dihitung sebelumnya. Untuk $h=(b-a)$, dan $n=1,2,4,8,16.......$ atau $n=2^{0},2^{1},2^{2},2^{3},2^{4},......,2^{k}......$ Kita akan mendapatkan barisan aturan trapesium $T_{0},T_{1},T_{2},T_{3},.....T_{k},....$ dengan, $T_{0}=T_{1}(f,h)={\frac {h}{2}}(f(a)+f(b))$ dan,$T_{k}=T_{2^{k}}(f,{\frac {h}{2^{k}}})$, k=1,2,3,... yang memenuhi hubungan $T_{k+1}={\frac {T_{k}}{2}}+{\frac {h}{2^{k+1}}}\sum _{j=1}^{2^{k}}f_{2j-1}$, dengan $f_{1}=f(a+i({\frac {h}{2^{k+1}}})$............... (4)

Langkah-langkah Aturan Trapesium Rekursif

Dalam menghitung hampiran $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$dengan aturan trapesium rekursif, kita lakukan langkah-langkah sebagai berikut;

$h=b-a$

$T_{0}={\frac {h}{2}}(f(a)+f(b))$

$T_{1}={\frac {T_{0}}{2}}+{\frac {h}{2}}f_{1}$

$T_{2}={\frac {T_{1}}{2}}+{\frac {h}{4}}(f_{1}+f_{3})$

$T_{3}={\frac {T_{2}}{2}}+{\frac {h}{8}}(f_{1}+f_{3}+f_{5})$ . . . dst

Contoh Penghitungan Integral Menggunakan MATLAB

Misalkan kita akan menghitung integral $\int _{1}^{5}f(x)\,dx$,dengan menggunakan Aturan Trapesium Rekursif. Untuk lebih memudahkan penghitungan dalam MATLAB, telebih dahulu kita buat fungsi dalam M file, berikut fungsinya

function Tn=trapesiumrekursif(f,n,a,b)

h=b-a;

if n==0, Tn=h*(f(a)+f(b))/2;

else if n>0,

      index=[1:2:2^n-1];

      x=a+h*index/(2^n);

      F=f(x);

      Jf=sum(F);

      Tn=trapesiumrekursif(f,n-1,a,b)/2+Jf*h/(2^n);

   end

end

Kita simpan fungsi ini dalam file trapesiumrekursi.m untuk menghitung integral yang dimaksud, kita tinggal memasukan fungsinya dalam command window MATLAB, berikut caranya;

>> f=inline(‘exp(x)’)

kemudian akan munncul hasil sebagai berikut

f =

    Inline function:
    f(x) = exp(x)

selanjutnya kita panggil fungsi fungsi trapesiumrekursif,

>> T=[];

>> for n=0:10,

Tn=trapesiumrekursif(f,n,1,5);

T=[T;n Tn];

end

Selanjutnya kita tampilkan nilai T

>> T

kemudian akan muncul hasil sebagai berikut,

T =

        0  302.2629
   1.0000  191.3025
   2.0000  157.6385
   3.0000  148.7176
   4.0000  146.4529
   5.0000  145.8845
   6.0000  145.7423
   7.0000  145.7067
   8.0000  145.6978
   9.0000  145.6956
  10.0000  145.6951

Maksud dari tabel penghitungan MATLAB di atas adalah, kolom pertama menyatakan nilai-nilai n, dan kolom kedua menyatakan Tn.

Daftar Pustaka

Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. ANDI, Yogyakarta