Daftar grup simetri bola hingga

Grup titik dalam tiga dimensi
Grup polihedral, [n,3], (*n32)
Simetri involusi C_s, (*) [ ] =	Simetri siklik C_nv, (*nn) [n] =	Simetri dihedral D_nh, (*n22) [n,2] =
Simetri tetrahedral T_d, (*332) [3,3] =	Simetri oktahedral O_h, (*432) [4,3] =	Simetri ikosahedral I_h, (*532) [5,3] =

Grup simetri bola hingga juga disebut grup titik dalam tiga dimensi. Ada lima kelas simetri dasar yang memiliki domain dasar segitiga: dihedral, siklik, tetrahedral, oktahedral, dan simetri ikosahedral.

Artikel ini mencantumkan grup menurut notasi Schoenflies, notasi Coxeter,^[1] notasi orbifold,^[2] dan urutan. John Conway menggunakan variasi dari notasi Schoenflies, berdasarkan struktur aljabar grup kuaternion, diberikan label oleh satu atau dua huruf besar, dan subskrip bilangan bulat. Urutan grup didefinisikan sebagai subskrip, kecuali urutannya digandakan untuk simbol dengan plus atau minus, "±", awalan yang menyiratkan inversi pusat.^[3]

Notasi Hermann–Mauguin (notasi internasional) juga diberikan. Grup kristalografi, total 32, adalah himpunan bagian dengan urutan elemen 2, 3, 4 dan 6.^[4]

Simetri involusional

Ada empat grup involusial: tidak ada simetri (C₁), simetri refleksi (C_s), Simetri rotasi lipatan 2 (C₂), dan simetri titik pusat (C_i).

Intl	Geo ^[5]	Orb.	Schön.	Con.	Cox.	Uru.
1	1	11	C₁	C₁	][ [ ]⁺	1
2	2	22	D₁ = C₂	D₂ = C₂	[2]⁺	2
1	22	×	C_i = S₂	CC₂	[2⁺,2⁺]	2
2 = m	1	*	C_s = C_1v = C_1h	±C₁ = CD₂	[ ]	2

Simetri siklik

Ada empat famili simetri siklik tak hingga, dengan n = 2 atau lebih tinggi. (n mungkin 1 sebagai kasus khusus sebagai tidak simetri)

Intl	Geo	Orb.	Schön.	Con.	Cox.	Uru.	Dom. fundamental
4	42	2×	S₄	CC₄	[2⁺,4⁺]	4
2/m	22	2*	C_2h = D_1d	±C₂ = ±D₂	[2,2⁺] [2⁺,2]	4

Intl	Geo	Orb.	Schön.	Con.	Cox.	Ord.
2 3 4 5 6 n	2 3 4 5 6 n	22 33 44 55 66 nn	C₂ C₃ C₄ C₅ C₆ C_n	C₂ C₃ C₄ C₅ C₆ C_n	[2]⁺ [3]⁺ [4]⁺ [5]⁺ [6]⁺ [n]⁺	2 3 4 5 6 n
2mm 3m 4mm 5m 6mm nm (n adalah nilai ganjil) nmm (n adalah nilai ganda)	2 3 4 5 6 n	22 33 44 55 66 nn	C_2v C_3v C_4v C_5v C_6v C_nv	CD₄ CD₆ CD₈ CD₁₀ CD₁₂ CD_2n	[2] [3] [4] [5] [6] [n]	4 6 8 10 12 2n
3 8 5 12 -	62 82 10.2 12.2 2n.2	3× 4× 5× 6× n×	S₆ S₈ S₁₀ S₁₂ S_2n	±C₃ CC₈ ±C₅ CC₁₂ CC_2n / ±C_n	[2⁺,6⁺] [2⁺,8⁺] [2⁺,10⁺] [2⁺,12⁺] [2⁺,2n⁺]	6 8 10 12 2n
3/m=6 4/m 5/m=10 6/m n/m	32 42 52 62 n2	3* 4* 5* 6* n*	C_3h C_4h C_5h C_6h C_nh	CC₆ ±C₄ CC₁₀ ±C₆ ±C_n / CC_2n	[2,3⁺] [2,4⁺] [2,5⁺] [2,6⁺] [2,n⁺]	6 8 10 12 2n

Simetri dihedral

Ada tiga famili simetri dihedral tak hingga, dengan n = 2 atau tinggi (n mungkin 1 sebagai kasus khusus).

Intl	Geo	Orb.	Schön.	Con.	Cox.	Uru.
222	2.2	222	D₂	D₄	[2,2]⁺	4
42m	42	2*2	D_2d	DD₈	[2⁺,4]	8
mmm	22	*222	D_2h	±D₄	[2,2]	8

Intl	Geo	Orb.	Schön.	Con.	Cox.	Uru.
32 422 52 622	3.2 4.2 5.2 6.2 n.2	223 224 225 226 22n	D₃ D₄ D₅ D₆ D_n	D₆ D₈ D₁₀ D₁₂ D_2n	[2,3]⁺ [2,4]⁺ [2,5]⁺ [2,6]⁺ [2,n]⁺	6 8 10 12 2n
3m 82m 5m 12.2m	62 82 10.2 12.2 n2	23 24 25 26 2*n	D_3d D_4d D_5d D_6d D_nd	±D₆ DD₁₆ ±D₁₀ DD₂₄ DD_4n / ±D_2n	[2⁺,6] [2⁺,8] [2⁺,10] [2⁺,12] [2⁺,2n]	12 16 20 24 4n
6m2 4/mmm 10m2 6/mmm	32 42 52 62 n2	223 224 225 226 *22n	D_3h D_4h D_5h D_6h D_nh	DD₁₂ ±D₈ DD₂₀ ±D₁₂ ±D_2n / DD_4n	[2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2,n]	12 16 20 24 4n

Simetri polihedral

Ada tiga jenis simetri polihedral: simetri tetrahedral, simetri oktahedral, dan simetri ikosahedral, dinamai berdasarkan segitiga wajah polyhedra biasa dengan simetri ini.

Simetri tetrahedral
Intl	Geo	Orb.	Schön.	Con.	Cox.	Uru.
23	3.3	332	T	T	[3,3]⁺ = [4,3⁺]⁺	12
m3	43	3*2	T_h	±T	[4,3⁺]	24
43m	33	*332	T_d	TO	[3,3] = [1⁺,4,3]	24

Simetri oktahedral
Intl	Geo	Orb.	Schön.	Con.	Cox.	Uru.	Dom. fundamental
432	4.3	432	O	O	[4,3]⁺ = [[3,3]]⁺	24
m3m	43	*432	O_h	±O	[4,3] = [[3,3]]	48

Simetri ikosahedral
Intl	Geo	Orb.	Schön.	Con.	Cox.	Uru.	Dom. fundamental
532	5.3	532	I	I	[5,3]⁺	60
532/m	53	*532	I_h	±I	[5,3]	120

Lihat pula

Catatan

^ Johnson, 2015
^ Conway, 2008
^ Conway, 2003
^ Sands, 1993
^ The Crystallographic Space groups in Geometric algebra, D. Hestenes and J. Holt, Journal of Mathematical Physics. 48, 023514 (2007) (22 pages) PDF [1]

Referensi

Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), Appendix I
Sands, Donald E. (1993). "Crystal Systems and Geometry". Introduction to Crystallography. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. hlm. 165. ISBN 0-486-67839-3.
On Quaternions and Octonions, 2003, John Horton Conway and Derek A. Smith ISBN 978-1-56881-134-5
The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, Table 11.4 Finite Groups of Isometries in 3-space

Pranala luar

Finite spherical symmetry groups
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Schoenflies symbol". MathWorld.
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Crystallographic point groups". MathWorld.
Simplest Canonical Polyhedra of Each Symmetry Type, by David I. McCooey

[1] Johnson, 2015

[2] Conway, 2008

[3] Conway, 2003

[4] Sands, 1993

[5] The Crystallographic Space groups in Geometric algebra, D. Hestenes and J. Holt, Journal of Mathematical Physics. 48, 023514 (2007) (22 pages) PDF [1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]