Faktorion

Dalam teori bilangan, faktorion pada suatu basis bilangan $b$ adalah bilangan asli yang sama dengan jumlah faktorial dari angka-angkanya. Clifford A. Pickover memperkenalkan istilah faktorion.

Definisi

Katakan $n$ adalah bilangan asli. Untuk basis $b>1$, kita tentukan jumlah faktorial dari digit-digit $n$, $\operatorname {SFD} _{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$, sekiranya:

$\operatorname {SFD} _{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!.$

Di mana $k=\lfloor \log _{b}n\rfloor +1$ adalah jumlah digit bilangan pada basis $b$, $n!$ adalah faktorial dari $n$ dan

$d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b^{i}}}}{b^{i}}}$

adalah nilai dari digit ke-$i$ bilangan tersebut. Bilangan asli $n$ tergolong $b$ - faktorion jika bilangannya menjadi titik tetap untuk $\operatorname {SFD} _{b}$, yaitu jika $\operatorname {SFD} _{b}(n)=n$. $1$ dan $2$ adalah titik tetap untuk seluruh basis $b$, dan dengan demikian merupakan faktor trivial untuk setiap $b$, dan keseluruhan faktor lainnya adalah faktor nontrivial .

Contoh: 145 pada basis $b=10$ adalah faktorion karena $145=1!+4!+5!$ .

Untuk $b=2$, jumlah faktorial dari digit-digit tersebut hanya karena banyaknya angka $k$ pada basis 2 karena $0!=1!=1$ .

Suatu bilangan asli $n$ adalah faktorion sosiabel apabila ia merupakan titik periodik $\operatorname {SFD} _{b}$, Di mana $\operatorname {SFD} _{b}^{k}(n)=n$ untuk bilangan bulat positif $k$, dan membentuk siklus periode $k$ . Suatu faktor adalah faktor sosiabel dengan nilai $k=1$, dan faktor amisabel adalah faktor yang sosiabel dengan nilai $k=2$ .

Semua bilangan asli $n$ adalah poin praperiodik untuk $\operatorname {SFD} _{b}$, apa pun dasarnya sebab semua bilangan asli berbasis $b$ dengan digit-digit $k$ menghasilkan $b^{k-1}\leq n\leq (b-1)!(k)$ .Tapi, jika $k\geq b$, maka $b^{k-1}>(b-1)!(k)$ untuk $b>2$, jadi apapun $n$ akan menghasilkan $n>\operatorname {SFD} _{b}(n)$ hingga $n<b^{b}$. Ada banyak bilangan asli yang kurang dari $b^{b}$, oleh karena itu bilangan tersebut pasti mencapai titik periodik atau titik tetap kurang dari $b^{b}$, dan menjadikan ia titik praperiodik. Dan untuk $b=2$, jumlah digit $k\leq n$ untuk bilangan apa pun, sekali lagi, menjadikan ia titik praperiodik. Dan ini juga berarti bahwasanya ada beberapa faktor dan siklus yang dibatasi untuk suatu basis $b$ .

$\operatorname {SFD} _{b}^{i}(n)$ perlu jumlah iterasi $i$ untuk mencapai titik tetap $\operatorname {SFD} _{b}$ fungsi persistensi $n$, dan tak terdefinisi apabila tidak pernah mencapai titik tetap.

Faktorion SFD_b

b = ( k − 1)!

Katakan $k$ adalah bilangan bulat positif dan basis bilangan $b=(k-1)!$. Oleh sebab itu:

• $n_{1}=kb+1$ adalah faktorion $\operatorname {SFD} _{b}$ untuk semua $k.$ 

• $n_{2}=kb+2$ adalah faktorion $\operatorname {SFD} _{b}$ untuk semua $k$ .

Faktorion

$k$	$b$	$n_{1}$	$n_{2}$
4	6	41	42
5	24	51	52
6	120	61	62
7	720	71	72

b = k ! − k +1

Katakan $k$ adalah bilangan bulat positif dan basis $b=k!-k+1$. Oleh sebab itu:

• $n_{1}=b+k$ adalah faktorion $\operatorname {SFD} _{b}$ untuk semua $k$ .

Tabel faktorion dan siklus SFD_b

Basis $b$ mewakilkan semua angka.

Basis $b$	Faktorion nontrivial ( $n\neq 1$, $n\neq 2$ )	Siklus
2	$\varnothing$	$\varnothing$
3	$\varnothing$	$\varnothing$
4	13	3 → 12 → 3
5	144	$\varnothing$
6	41, 42	$\varnothing$
7	$\varnothing$	36 → 2055 → 465 → 2343 → 53 → 240 → 36
8	$\varnothing$	3 → 6 → 1320 → 12 175 → 12051 → 175
9	62558
10	145, 40585	871 → 45361 → 871 872 → 45362 → 872