Fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil

Dalam matematika, khususnya di bidang teori bilangan dan ilmu komputer, suatu fungsi $f$ dikatakan fungsi atap (ceiling function), dinotasikan oleh $f(x)=\lceil x\rceil ={\text{ceil}}(x)$, adalah fungsi yang memetakan bilangan real $x$ ke bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan $x$. Sebagai contoh, nilai dari $\lceil 0,\!8\rceil =1$. Fungsi atap juga dapat disebut fungsi bilangan bulat terkecil.

Grafik mengenai fungsi bilangan bulat terbesar

Grafik mengenai fungsi bilangan bulat terkecil

Grafik mengenai fungsi bagian bilangan bulat.

Sebaliknya, suatu fungsi $f$ dikatakan fungsi lantai (floor function), dinotasikan oleh $f(x)=\lfloor x\rfloor ={\text{floor}}(x)$, adalah fungsi yang memetakan bilangan real $x$ ke bilangan bulat terbesar yang lebih kecil daripada atau sama dengan $x$. Sebagai contoh, nilai dari $\lfloor 3,\!14\rfloor =3$. Fungsi lantai juga dapat disebut fungsi bilangan bulat terbesar.

Galibnya, definisi pada fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil dapat ditulis sebagai

$\lfloor x\rfloor =\max\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\}$ dan $\lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}$.

Hubungan kedua fungsi di atas dapat diterapkan pada salah satu fungsi berikut, yaitu bagian bilangan bulat (bahasa Inggris: integer part), di mana bilangan riil yang dipetakan ke fungsi tersebut sehingga menjadi bilangan bulat yang muncul sebelum bilangan desimal, dilambangkan $[x]$ atau terkadang dinotasikan sebagai $\operatorname {int} (x)$ dan dirumuskan sebagai

$[x]={\begin{cases}\lfloor x\rfloor ,&{\text{jika }}x\geq 0\\\lceil x\rceil ,&{\text{jika }}x<0\end{cases}}$.

Untuk memahami lebih lanjut, tinjau $\pi$ yang bernilai $3.1415926\dots$, maka $[\pi ]=3$. Hal yang serupa dengan bilangan bertandakan negatif, contohnya sederhananya, ${\textstyle \left[-{\frac {1}{2}}\right]=0}$.

Sejarah

Fungsi atap dan lantai dikenal masuk dalam bagian bilangan bulat. Namun, bagian bilangan bulat juga digunakan untuk pemotongan bilangan bulat mendekati 0 pada bilangan bulat negatif, yang berbeda dengan fungsi lantai di bilangan negatif.

Bagian bilangan bulat didefinisikan oleh Adrien-Marie Legendre pada tahun 1798. Selanjutnya, Carl Friedrich Gauss memperkenalkan penggunaan notasi tanda kurung kotak untuk menuliskan fungsi bilangan bulat terbesar. Namun, tidak ada notasi standar untuk penulisan fungsi bilangan bulat terkecil. Beberapa penulis bahkan menggunakan notasi $]x[$ untuk penulisan fungsi bilangan bulat terkecil, yang tidak menjadi standar.

Pada tahun 1962, Kenneth Eugene Iverson memperkenalkan fungsi atap dan lantai dalam bukunya, A Programming Language. Penggunaan notasi ini dipopulerkan oleh Donald Ervin Knuth yang sekarang menjadi standar penggunaan dalam berbagai artikel teknis tanpa perlu penjelasan fungsi tersebut.

Sifat dan identitas

Beberapa sifat yang terkandung dalam fungsi bilangan bulat besar dan fungsi bilangan bulat terkecil adalah sebagai berikut:

• $\lfloor x\rfloor \leq x\leq \lceil x\rceil$ untuk suatu $x$ bilangan real.
• $\lfloor x\rfloor =x$ dan $\lceil x\rceil =x$ jika dan hanya jika $x$ adalah bilangan bulat.
• $\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor =1$ jika $x$ adalah bilangan real dan $0$ bila $x$ bilangan bulat.
• Untuk suatu $n$ bilangan bulat, $\lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n$.

Untuk sifat fungsi bagian bilangan bulat, antara lain

• $[-x]=-[x]$

Beberapa penulis mendefinisikan bagian bulat sebagai fungsi bilangan bulat terbesar, menggunakan notasi berikut:

• $\lfloor x\rfloor =\lceil x\rceil =[x]$ untuk $x$ adalah bilangan bulat.

Kalkulus

Turunan

Turunan fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil tidak terdiferensialkan bila $x$ adalah bilangan bulat. Bila $x$ bukanlah bilangan bulat, maka turunannya terdiferensialkan di mana-mana, yakni bernilai 0.

Integral

Dalam integral, fungsi bilangan bulat terbesar dapat dinyatakan sebagai

• $\int \lfloor x\rfloor \,\mathrm {d} x=x\lfloor x\rfloor$.

Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil,

• $\int \lceil x\rceil \,\mathrm {d} x=x\lceil x\rceil$.

Representasi deret

Dalam representasi deret, fungsi bilangan bulat terbesar dirumuskan sebagai berikut:

• Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan

$\lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}$ asalkan $x$ bilangan real dan bukan bilangan bulat.

Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil.

• Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan

$\lceil x\rceil =x+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}$ asalkan $x$ bilangan real dan bukan bilangan bulat.