Garis bilangan riil

Garis bilangan riil (bahasa Inggris: real number line atau real line) dalam matematika, adalah garis di mana setiap titiknya melambangan suatu bilangan riil. Jadi, garis bilangan riil adalah himpunan semua bilangan riil $\mathbb {R}$ , dipandang sebagai suatu ruang geometri, yaitu ruang Euklidean dalam satu dimensi.

Sebagai kontinum linear

Garis bilangan riil adalah suatu kontinum linear menurut tatanan $<$ standar. Secara khusus, garis bilangan riil adalah himpunan terurut linear menurut $<$ , dan urutan ini adalah rapat dan mempunyai sifat batasan-bawah-terkecil.

Sebagai ruang metrik

Metrik pada garis bilangan riil adalah beda mutlak.

Garis bilangan riil membentuk suatu ruang metrik, dengan fungsi jarak yang dinyatakan oleh beda mutlak:

d(x,y)=|x-y|

Sebagai ruang topologi

Garis bilangan riil dapat mengalami kompaktifikasi dengan penjumlahan suatu titik pada tak terhingga.

Garis bilangan riil memuat suatu topologi standar yang dapat diperkenalkan dalam dua jalan ekuivalen yang berbeda.

Pertama, karena bilangan riil adalah urutan total, bilangan-bilangan itu memuat topologi tatanan.
Kedua, bilangan-bilangan riil mewarisi suatu topologi metrik dari metrik sesuai definisi di atas. Topologi tatanan dan topologi metrik pada $\mathbb {R}$ adalah sama. Sebagai suatu ruang topologi, garis bilangan riil bersifat homeomorfik pada interval terbuka $(0,1)$ .

Sebagai suatu ruang vektor

Garis bilangan riil adalah suatu ruang vektor atas medan $\mathbb {R}$ dari bilangan riil (yaitu, atas dirinya sendiri) dari dimensi 1. Mempunyai suatu hasilkali dalam standar, membuatnya suatu ruang Euklides. Norma standar pada $\mathbb {R}$ adalah sekadar fungsi nilai absolut.

Sebagai suatu ruang pengukuran

Garis bilangan riil memuat suatu pengukuran kanonikal, yaitu "pengukuran Lebesque". Pengukuran ini dapat didefinisikan sebagai kelengkapan suatu pengukuran Borel yang didefinisikan pada $\mathbb {R}$ , di mana pengukuran pada interval apapun merupakan panjang dari interval itu.

Pengukuran Lebesgue pada garis bilangan riil adalah satu contoh paling sederhana dari suatu pengukuran Haar pada sebuah kelompok kompak lokal.

Dalam aljabar bilangan riil

Garis bilangan riil merupakan subruang satu dimensi dari suatu aljabar bilangan riil $A$ di mana $\mathbb {R} \subset A$ .^{[butuh klarifikasi]} Misalnya, dalam bidang kompleks $z=x+iy$ , subruang $\{z\colon y=0\}$ adalah suatu garis bilangan riil. Mirip dengan itu, aljabar kuaternion

q=w+xi+yj+zk

mempunyai suatu garis bilangan riil dalam subruang $\{q\colon x=y=z=0\}$ .

Ketika aljabar bilangan riil adalah suatu jumlah langsung $A=R\oplus V,$ maka suatu konjugasi pada $A$ dinyatakan dengan pemetaan $v\mapsto -v$ subruang $V$ . Secara demikian garis bilangan riil terdiri dari titik-titik tetap pada konjugasi tersebut.

Lihat pula

Referensi

Munkres, James (1999). Topology (edisi ke-2nd). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6.