Garis bilangan real

Garis bilangan real (Inggris: real number line atau real line) dalam matematika, adalah garis di mana setiap titiknya melambangan suatu bilangan real. Jadi, garis bilangan real adalah himpunan semua bilangan real $\mathbb {R}$, dipandang sebagai suatu ruang geometri, yaitu ruang Euklidean dalam satu dimensi.

Garis bilangan real

Sebagai kontinum linear

Garis bilangan real adalah suatu kontinum linear menurut tatanan $<$ standar. Secara khusus, garis bilangan real adalah himpunan terurut linear menurut $<$, dan urutan ini adalah rapat dan mempunyai sifat batasan-bawah-terkecil.

Sebagai ruang metrik

Metrik pada garis bilangan real adalah beda mutlak.

Garis bilangan real membentuk suatu ruang metrik, dengan fungsi jarak yang dinyatakan oleh beda mutlak:

$d(x,y)=|x-y|$

Sebagai ruang topologi

Garis bilangan real dapat mengalami kompaktifikasi dengan penjumlahan suatu titik pada tak terhingga.

Garis bilangan real memuat suatu topologi standar yang dapat diperkenalkan dalam dua jalan ekuivalen yang berbeda.

• Pertama, karena bilangan real adalah urutan total, bilangan-bilangan itu memuat topologi tatanan.
• Kedua, bilangan-bilangan real mewarisi suatu topologi metrik dari metrik sesuai definisi di atas. Topologi tatanan dan topologi metrik pada $\mathbb {R}$ adalah sama. Sebagai suatu ruang topologi, garis bilangan real bersifat homeomorfik pada interval terbuka $(0,1)$.

Sebagai suatu ruang vektor

Garis bilangan real adalah suatu ruang vektor atas medan $\mathbb {R}$ dari bilangan real (yaitu, atas dirinya sendiri) dari dimensi 1. Mempunyai suatu hasilkali dalam standar, membuatnya suatu ruang Euklides. Norma standar pada $\mathbb {R}$ adalah sekadar fungsi nilai absolut.

Sebagai suatu ruang pengukuran

Garis bilangan real memuat suatu pengukuran kanonikal, yaitu "pengukuran Lebesque". Pengukuran ini dapat didefinisikan sebagai kelengkapan suatu pengukuran Borel yang didefinisikan pada $\mathbb {R}$, di mana pengukuran pada interval apapun merupakan panjang dari interval itu.

Pengukuran Lebesgue pada garis bilangan real adalah satu contoh paling sederhana dari suatu pengukuran Haar pada sebuah kelompok kompak lokal.

Dalam aljabar bilangan real

Garis bilangan real merupakan subruang satu dimensi dari suatu aljabar bilangan real $A$ di mana $\mathbb {R} \subset A$. Misalnya, dalam bidang kompleks $z=x+iy$, subruang $\{z\colon y=0\}$ adalah suatu garis bilangan real. Mirip dengan itu, aljabar kuaternion

$q=w+xi+yj+zk$

mempunyai suatu garis bilangan real dalam subruang $\{q\colon x=y=z=0\}$.

Ketika aljabar bilangan real adalah suatu jumlah langsung $A=R\oplus V,$ maka suatu konjugasi pada $A$ dinyatakan dengan pemetaan $v\mapsto -v$ subruang $V$. Secara demikian garis bilangan real terdiri dari titik-titik tetap pada konjugasi tersebut.

Lihat pula

• Garis (geometri)
• Garis bilangan
• Bilangan real

Referensi

• Munkres, James (1999). Topology (edisi ke-2nd). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2. 
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6.