Identitas Euler
Identitas Euler[n 1] (bahasa Inggris: Euler's identity), juga dikenal sebagai persamaan Euler (bahasa Inggris: Euler's equation), dalam analisis matematika, adalah suatu persamaan yang dirumuskan sebagai:
Bagian dari serial artikel mengenai |
e |
---|
Artikel mengenai e |
Portal Matematika |
di mana adalah bilangan Euler, adalah unit imajiner dan adalah pi (atau konstanta Archimedes).
Analisis
suntingPersamaan tersebut menunjukkan hubungan yang erat antar kelima bilangan paling penting dalam matematika, yaitu:
- adalah identitas penambahan,
- adalah identitas perkalian,
- adalah bilangan Euler, basis logaritma natural, yang nilainya ≈ 2.718281828459045,
- adalah unit imajiner, salah satu dari dua bilangan kompleks yang kuadratnya negatif satu (bilangan yang satu lagi adalah ), dan
- adalah pi, rasio perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameternya, yang nilainya ≈ 3.141592653589793.
Perhatikan juga bahwa dalam persamaan tersebut terdapat operasi dasar aritmetika yaitu penambahan, perkalian, dan perpangkatan, dan masing-masing muncul tepat satu kali.
Identitas Euler dinamakan untuk mengenang ahli matematika Leonhard Euler.
Secara geometris persamaan ini dapat dibayangkan sebagai rotasi titik pada bidang kompleks sebesar 180° ( radian), dilanjutkan dengan translasi sebesar searah sumbu . Deretan transformasi tersebut tiba pada titik asal .
Bukti
suntingIdentitas Euler dapat dibuktikan menggunakan rumus Euler, yaitu:
dengan mensubtitusikan dengan didapat:
sehingga dengan menambahkan kedua ruas dengan 1 diperoleh persamaan:
- . Q.E.D.
Lihat pula
suntingCatatan
sunting- ^ Istilah "identitas Euler" juga digunakan untuk merujuk pada konsep lain, termasuk fungsi umum eix = cos x + i sin x,[1] dan Identitas darab Euler.[2]
Referensi
sunting- ^ Dunham, 1999, p. xxiv.
- ^ Stepanov, S. A. (7 February 2011). "Euler identity". Encyclopedia of Mathematics. Diakses tanggal 18 February 2014.