Identitas Sophie Germain

Dalam matematika, identitas Sophie Germain adalah faktorisasi polinomial yang dinamai dari Sophie Germain. Identitas ini mengatakan bahwa Selain penerapannya di dalam aljabar elementer, identitas ini juga dapat digunakan dalam teori bilangan untuk memfaktorkan bilangan bulat dari bentuk khusus , dan sering kali membentuk basis permasalahan di dalam kompetisi matematika.[1][2][3]

Sejarah

sunting

Walaupun identitas ini dikaitkan dengan Sophie Germain, tetapi identitas ini tidak terdapat di dalam karyanya. Dalam karyanya malahan identitas yang berkaitan dapat ditemukan dengan cara berikut[4][5]   Mengubah persamaan ini dengan mengalikan   oleh   memberikan   sebuah ekspresi berupa selisih dari dua bilangan kuadrat, yang menghasilkan identitas Germain.[5] Ketidakakuratan mengenai keterkaitan identitas ini dengan Germain dibuat oleh Leonard Eugene Dickson dalam karyanya History of the Theory of Numbers. Di dalamnya lagi, ia mengatakan (lagi-lagi tidak akurat) bahwa identitas ini ditemukan dalam surat dari Leonhard Euler kepada Christian Goldbach.[5][6]

Identitas ini dengan mudah dapat dibuktikan, dengan cara mengalikan kedua suku faktorisasi bersama, serta membenarkan bahwa hasil kalinya sama dengan ruas kanan persamaan.[7] Sebuah bukti tanpa kata juga dapat dilakukan yang didasarkan pada banyak penerapan teorema Pythagoras.[1]

Penerapannya ke faktorisasi bilangan bulat

sunting

Suatu akibat dari identitas Germain adalah bahwa bilangan dengan bentuk   tidak dapat berupa bilangan prima untuk  . (Untuk  , hasilnya memberikan bilangan prima 5.) Bilangan dengan bentuk tersebut tidak menghasilkan bilangan prima jika   adalah bilangan genap, dan jika   bilangan ganjil maka bilangan tersebut mempunyai faktorisasi yang diberikan oleh identitas dengan   dan  .[3][7] Bilangan-bilangan tersebut (diawali dari  ) membentuk barisan bilangan bulat

1, 5, 32, 145, 512, 1649, 5392, 18785, 69632, ... (barisan A001589 pada OEIS).

Banyaknya kemunculan identitas Sophie Germain dalam kompetisi matematika berasal dari korolari.[2][3]

Adapun kasus istimewa dari identitas dengan   dan   dapat digunakan untuk menghasilkan faktorisasi   dengan   adalah polinomial siklotomik keempat. Sama halnya dengan polinomial siklotomik untuk lebih umum,   adalah polinomial tak tereduksi, sehingga faktorisasi dari tak berhingganya nilainya ini tak dapat diperluas ke faktorisasi dari   sebagai suatu polinomial. Karena itu, faktorisasi ini merupakan contoh dari faktorisasi aurifeuillean.[8]

Perumuman

sunting

Identitas Germain telah diperumum ke persamaan fungsional   Menurut identitas Sophie Germain, fungsi kuadrat memenuhi persamaan fungsional di atas.[4]

Referensi

sunting
  1. ^ Lompat ke: a b Moreno, Samuel G.; García-Caballero, Esther M. (2019), "Proof without words: Sophie Germain's identity", The College Mathematics Journal, 50 (3): 197, doi:10.1080/07468342.2019.1603533, MR 3955328 
  2. ^ Lompat ke: a b "CC79: Show that if   is an integer greater than 1, then   is not prime" (PDF), The contest corner, Crux Mathematicorum, 40 (6): 239, Juni 2014 ; berasal dari 1979 APICS Math Competition
  3. ^ Lompat ke: a b c Engel, Arthur (1998), Problem-Solving Strategies, Problem Books in Mathematics, New York: Springer-Verlag, hlm. 121, doi:10.1007/b97682, ISBN 0-387-98219-1, MR 1485512 
  4. ^ Lompat ke: a b Łukasik, Radosław; Sikorska, Justyna; Szostok, Tomasz (2018), "On an equation of Sophie Germain", Results in Mathematics, 73 (2), Paper No. 60, doi:10.1007/s00025-018-0820-y, MR 3783549 
  5. ^ Lompat ke: a b c Whitty, Robin, "Sophie Germain's identity" (PDF), Theorem of the day 
  6. ^ Dickson, Leonard Eugene (1919), History of the Theory of Numbers, Volume I: Divisibility and Primality, Carnegie Institute of Washington, hlm. 382 
  7. ^ Lompat ke: a b Bogomolny, Alexander, "Sophie Germain's identity", Cut-the-Knot, diakses tanggal 2023-06-19 
  8. ^ Granville, Andrew; Pleasants, Peter (2006), "Aurifeuillian factorization", Mathematics of Computation, 75 (253): 497–508, doi:10.1090/S0025-5718-05-01766-7, MR 2176412