Dalam matematika , operator jumlah taktentu atau operator antiselisih , dilambangkan sebagai
∑
x
{\displaystyle \sum _{x}}
atau
Δ
−
1
{\displaystyle \Delta ^{-1}}
,[ 1] [ 2] [ 3] adalah operator linear , yang kebalikan dari operator selisih (atau selisih tentu )
Δ
{\displaystyle \Delta }
. Ini berhubungan dengan operasi selisih maju sebagai integral tak tentu yang berhubungan dengan turunan. Demikian juga,
Δ
∑
x
f
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle \Delta \sum _{x}f(x)=f(x)}
.
Lebih eksplisit lagi, jika
∑
x
f
(
x
)
=
F
(
x
)
{\displaystyle \sum _{x}f(x)=F(x)}
, kemudian
F
(
x
+
1
)
−
F
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle F(x+1)-F(x)=f(x)}
Jika
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
adalah solusi untuk persamaan fungsional ini untuk fungsi
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
, maka
F
(
x
)
+
C
(
x
)
{\displaystyle F(x)+C(x)}
untuk setiap fungsi periodik
C
(
x
)
{\displaystyle C(x)}
dengan periode 1. Demikian pula, setiap penjumlahan tak tentu mewakili keluarga pada fungsi. Maka, penyelesaiannya sama dengan pengembangan dari deret Newton adalah unik untuk ke konstanta aditif
C
{\displaystyle C}
. Penyelesaian yang unik ini mewakili perubahan deret berpangkat secara formal pada operasi anti-selisihː
Δ
−
1
=
1
e
D
−
1
{\displaystyle \Delta ^{-1}={\frac {1}{e^{D}-1}}}
Teorema Fundamental pada kalkulus diskrit
sunting
Penjumlahan tak hingga digunakan sebagai penjumlahan tentu dengan rumusː [ 4]
∑
k
=
a
b
f
(
k
)
=
Δ
−
1
f
(
b
+
1
)
−
Δ
−
1
f
(
a
)
{\displaystyle \sum _{k=a}^{b}f(k)=\Delta ^{-1}f(b+1)-\Delta ^{-1}f(a)}
Pilihan dengan suku konstanta
sunting
Seringkali, konstanta
C
{\displaystyle C}
pada jumlah tak tentu diperbaiki dengan kondisi berikut.
Misalnya
F
(
x
)
=
∑
x
f
(
x
)
+
C
{\displaystyle F(x)=\sum _{x}f(x)+C}
Maka, konstanta
C
{\displaystyle C}
diperbaiki dengan kondisi
∫
0
1
F
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{0}^{1}F(x)dx=0}
atau
∫
1
2
F
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{1}^{2}F(x)dx=0}
Secara alternatif, penjumlahan Ramanujan digunakan sebagaiː
∑
x
≥
1
ℜ
f
(
x
)
=
−
f
(
0
)
−
F
(
0
)
{\displaystyle \sum _{x\geq 1}^{\Re }f(x)=-f(0)-F(0)}
atau dengan 1
∑
x
≥
1
ℜ
f
(
x
)
=
−
F
(
1
)
{\displaystyle \sum _{x\geq 1}^{\Re }f(x)=-F(1)}
.[ 6]
Penjumlahan tak hingga dengan bagian tertentuː
∑
x
f
(
x
)
Δ
g
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
−
∑
x
(
g
(
x
)
+
Δ
g
(
x
)
)
Δ
f
(
x
)
{\displaystyle \sum _{x}f(x)\Delta g(x)=f(x)g(x)-\sum _{x}(g(x)+\Delta g(x))\Delta f(x)}
∑
x
f
(
x
)
Δ
g
(
x
)
+
∑
x
g
(
x
)
Δ
f
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
−
∑
x
Δ
f
(
x
)
Δ
g
(
x
)
{\displaystyle \sum _{x}f(x)\Delta g(x)+\sum _{x}g(x)\Delta f(x)=f(x)g(x)-\sum _{x}\Delta f(x)\Delta g(x)}
Penjumlahan tentu berdasarkan bagian, yaitu:
∑
i
=
a
b
f
(
i
)
Δ
g
(
i
)
=
f
(
b
+
1
)
g
(
b
+
1
)
−
f
(
a
)
g
(
a
)
−
∑
i
=
a
b
g
(
i
+
1
)
Δ
f
(
i
)
{\displaystyle \sum _{i=a}^{b}f(i)\Delta g(i)=f(b+1)g(b+1)-f(a)g(a)-\sum _{i=a}^{b}g(i+1)\Delta f(i)}
Beberapa penulis menggunakan frasa "jumlah tak tentu" untuk mendeskripsikan sebuah penjumlahan dimana tidak diberikan nilai numerik pada indeks atas.
∑
k
=
1
n
f
(
k
)
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k).}
Dalam kasus seperti tersebut, perubahan ekspresi tertutup
F
(
k
)
{\displaystyle F(k)}
untuk penjumlahan adalah solusi untuk
F
(
x
+
1
)
−
F
(
x
)
=
f
(
x
+
1
)
{\displaystyle F(x+1)-F(x)=f(x+1)}
disebut sebagai persamanan teleskop . Kebalikan dari operator selisih mundur
∇
{\displaystyle \nabla }
. Berhubungan dengan operasi selisih maju menggunakan teorema fundanmental pada kalkulus diskrit yang dideskripsi sebelumnya.
Inilah daftar jumlah-jumlah tak tentu pada berbagai fungsi. Tidak setiap fungsi memiliki sebuah jumlah tak tentu yang dapat diekspresikan dalam hal fungsi dasar.
Antiselisih pada Fungsi rasional
sunting
∑
x
a
=
a
x
+
C
{\displaystyle \sum _{x}a=ax+C}
∑
x
x
=
x
2
2
−
x
2
+
C
{\displaystyle \sum _{x}x={\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x}{2}}+C}
∑
x
x
a
=
B
a
+
1
(
x
)
a
+
1
+
C
,
a
∉
Z
−
{\displaystyle \sum _{x}x^{a}={\frac {B_{a+1}(x)}{a+1}}+C,\,a\notin \mathbb {Z} ^{-}}
dimana
B
a
(
x
)
=
−
a
ζ
(
−
a
+
1
,
x
)
{\displaystyle B_{a}(x)=-a\zeta (-a+1,x)}
, yang digeneralisasikan ke orde polinomial Bernoulli yang sebenarnya.
∑
x
x
a
=
(
−
1
)
a
−
1
ψ
(
−
a
−
1
)
(
x
)
Γ
(
−
a
)
+
C
,
a
∈
Z
−
{\displaystyle \sum _{x}x^{a}={\frac {(-1)^{a-1}\psi ^{(-a-1)}(x)}{\Gamma (-a)}}+C,\,a\in \mathbb {Z} ^{-}}
dimana
ψ
(
n
)
(
x
)
{\displaystyle \psi ^{(n)}(x)}
adalah fungsi poligamma .
∑
x
1
x
=
ψ
(
x
)
+
C
{\displaystyle \sum _{x}{\frac {1}{x}}=\psi (x)+C}
dimana
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
adalah fungsi digamma .
∑
x
B
a
(
x
)
=
(
x
−
1
)
B
a
(
x
)
−
a
a
+
1
B
a
+
1
(
x
)
+
C
{\displaystyle \sum _{x}B_{a}(x)=(x-1)B_{a}(x)-{\frac {a}{a+1}}B_{a+1}(x)+C}
Antiselisih pada Fungsi eksponensial
sunting
∑
x
a
x
=
a
x
a
−
1
+
C
{\displaystyle \sum _{x}a^{x}={\frac {a^{x}}{a-1}}+C}
Terutama,
∑
x
2
x
=
2
x
+
C
{\displaystyle \sum _{x}2^{x}=2^{x}+C}
Antiselisih pada fungsi logaritma
sunting
∑
x
log
b
x
=
log
b
Γ
(
x
)
+
C
{\displaystyle \sum _{x}\log _{b}x=\log _{b}\Gamma (x)+C}
∑
x
log
b
a
x
=
log
b
(
a
x
−
1
Γ
(
x
)
)
+
C
{\displaystyle \sum _{x}\log _{b}ax=\log _{b}(a^{x-1}\Gamma (x))+C}
Antiselisih pada Fungsi Hiperbolik
sunting
∑
x
sinh
a
x
=
1
2
csch
(
a
2
)
cosh
(
a
2
−
a
x
)
+
C
{\displaystyle \sum _{x}\sinh ax={\frac {1}{2}}\operatorname {csch} \left({\frac {a}{2}}\right)\cosh \left({\frac {a}{2}}-ax\right)+C}
∑
x
cosh
a
x
=
1
2
csch
(
a
2
)
sinh
(
a
x
−
a
2
)
+
C
{\displaystyle \sum _{x}\cosh ax={\frac {1}{2}}\operatorname {csch} \left({\frac {a}{2}}\right)\sinh \left(ax-{\frac {a}{2}}\right)+C}
∑
x
tanh
a
x
=
1
a
ψ
e
a
(
x
−
i
π
2
a
)
+
1
a
ψ
e
a
(
x
+
i
π
2
a
)
−
x
+
C
{\displaystyle \sum _{x}\tanh ax={\frac {1}{a}}\psi _{e^{a}}\left(x-{\frac {i\pi }{2a}}\right)+{\frac {1}{a}}\psi _{e^{a}}\left(x+{\frac {i\pi }{2a}}\right)-x+C}
dimana
ψ
q
(
x
)
{\displaystyle \psi _{q}(x)}
adalah fungsi q-digamma .
Antiselisih pada fungsi trigonometri
sunting
∑
x
sin
a
x
=
−
1
2
csc
(
a
2
)
cos
(
a
2
−
a
x
)
+
C
,
a
≠
2
n
π
{\displaystyle \sum _{x}\sin ax=-{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {a}{2}}\right)\cos \left({\frac {a}{2}}-ax\right)+C\,,\,\,a\neq 2n\pi }
∑
x
cos
a
x
=
1
2
csc
(
a
2
)
sin
(
a
x
−
a
2
)
+
C
,
a
≠
2
n
π
{\displaystyle \sum _{x}\cos ax={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {a}{2}}\right)\sin \left(ax-{\frac {a}{2}}\right)+C\,,\,\,a\neq 2n\pi }
∑
x
sin
2
a
x
=
x
2
+
1
4
csc
(
a
)
sin
(
a
−
2
a
x
)
+
C
,
a
≠
n
π
{\displaystyle \sum _{x}\sin ^{2}ax={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4}}\csc(a)\sin(a-2ax)+C\,\,,\,\,a\neq n\pi }
∑
x
cos
2
a
x
=
x
2
−
1
4
csc
(
a
)
sin
(
a
−
2
a
x
)
+
C
,
a
≠
n
π
{\displaystyle \sum _{x}\cos ^{2}ax={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4}}\csc(a)\sin(a-2ax)+C\,\,,\,\,a\neq n\pi }
∑
x
tan
a
x
=
i
x
−
1
a
ψ
e
2
i
a
(
x
−
π
2
a
)
+
C
,
a
≠
n
π
2
{\displaystyle \sum _{x}\tan ax=ix-{\frac {1}{a}}\psi _{e^{2ia}}\left(x-{\frac {\pi }{2a}}\right)+C\,,\,\,a\neq {\frac {n\pi }{2}}}
dimana
ψ
q
(
x
)
{\displaystyle \psi _{q}(x)}
adalah fungsi q-digamma .
∑
x
tan
x
=
i
x
−
ψ
e
2
i
(
x
+
π
2
)
+
C
=
−
∑
k
=
1
∞
(
ψ
(
k
π
−
π
2
+
1
−
z
)
+
ψ
(
k
π
−
π
2
+
z
)
−
ψ
(
k
π
−
π
2
+
1
)
−
ψ
(
k
π
−
π
2
)
)
+
C
{\displaystyle \sum _{x}\tan x=ix-\psi _{e^{2i}}\left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)+C=-\sum _{k=1}^{\infty }\left(\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+1-z\right)+\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+z\right)-\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+1\right)-\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}\right)\right)+C}
∑
x
cot
a
x
=
−
i
x
−
i
ψ
e
2
i
a
(
x
)
a
+
C
,
a
≠
n
π
2
{\displaystyle \sum _{x}\cot ax=-ix-{\frac {i\psi _{e^{2ia}}(x)}{a}}+C\,,\,\,a\neq {\frac {n\pi }{2}}}
Antiselisih pada fungsi invers hiperbolik
sunting
∑
x
artanh
a
x
=
1
2
ln
(
Γ
(
x
+
1
a
)
Γ
(
x
−
1
a
)
)
+
C
{\displaystyle \sum _{x}\operatorname {artanh} \,ax={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {\Gamma \left(x+{\frac {1}{a}}\right)}{\Gamma \left(x-{\frac {1}{a}}\right)}}\right)+C}
Antiselisih pada fungsi invers trigonometri
sunting
∑
x
arctan
a
x
=
i
2
ln
(
Γ
(
x
+
i
a
)
Γ
(
x
−
i
a
)
)
+
C
{\displaystyle \sum _{x}\arctan ax={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {\Gamma (x+{\frac {i}{a}})}{\Gamma (x-{\frac {i}{a}})}}\right)+C}
Antiselisih pada fungsi khusus
sunting
∑
x
ψ
(
x
)
=
(
x
−
1
)
ψ
(
x
)
−
x
+
C
{\displaystyle \sum _{x}\psi (x)=(x-1)\psi (x)-x+C}
∑
x
Γ
(
x
)
=
(
−
1
)
x
+
1
Γ
(
x
)
Γ
(
1
−
x
,
−
1
)
e
+
C
{\displaystyle \sum _{x}\Gamma (x)=(-1)^{x+1}\Gamma (x){\frac {\Gamma (1-x,-1)}{e}}+C}
dimana
Γ
(
s
,
x
)
{\displaystyle \Gamma (s,x)}
adalah fungsi gamma tidak kompleks .
∑
x
(
x
)
a
=
(
x
)
a
+
1
a
+
1
+
C
{\displaystyle \sum _{x}(x)_{a}={\frac {(x)_{a+1}}{a+1}}+C}
dimana
(
x
)
a
{\displaystyle (x)_{a}}
adalah faktorial menurun .
∑
x
sexp
a
(
x
)
=
ln
a
(
sexp
a
(
x
)
)
′
(
ln
a
)
x
+
C
{\displaystyle \sum _{x}\operatorname {sexp} _{a}(x)=\ln _{a}{\frac {(\operatorname {sexp} _{a}(x))'}{(\ln a)^{x}}}+C}
(lihat fungsi eksponensial super )
^ Indefinite Sum di PlanetMath .
^ On Computing Closed Forms for Indefinite Summations. Yiu-Kwong Man. J. Symbolic Computation (1993), 16, 355-376 [pranala nonaktif permanen ]
^ "If Y is a function whose first difference is the function y , then Y is called an indefinite sum of y and denoted Δ−1 y " Introduction to Difference Equations , Samuel Goldberg
^ "Handbook of discrete and combinatorial mathematics", Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999, ISBN 0-8493-0149-1
^ Bernoulli numbers of the second kind on Mathworld
^ Éric Delabaere, Ramanujan's Summation , Algorithms Seminar 2001–2002 , F. Chyzak (ed.), INRIA, (2003), pp. 83–88.
"Persamaan Perbedaan: Pengantar dengan Aplikasi", Walter G. Kelley, Allan C. Peterson, Academic Press, 2001, ISBN 0-12-403330-X
Markus Müller. Bagaimana Menambahkan Jumlah Syarat Non-Integer, dan Bagaimana Membuat Penjumlahan Tak Terbatas yang Tidak Biasa
Markus Mueller, Dierk Schleicher. Jumlah Pecahan dan Identitas Mirip Euler
SP Polyakov. Penjumlahan tak terbatas dari fungsi rasional dengan minimisasi tambahan dari bagian yang dapat diringkas. Programmirovanie, 2008, Jil. 34, No. 2.
"Persamaan dan Simulasi Beda-Hingga", Francis B. Hildebrand, Prenctice-Hall, 1968