Jumlah taktentu

operator linear, yang kebalikan dari operator selisih

Dalam matematika, operator jumlah taktentu atau operator antiselisih, dilambangkan sebagai atau ,[1][2][3] adalah operator linear, yang kebalikan dari operator selisih (atau selisih tentu) . Ini berhubungan dengan operasi selisih maju sebagai integral tak tentu yang berhubungan dengan turunan. Demikian juga,

.

Lebih eksplisit lagi, jika , kemudian

Jika adalah solusi untuk persamaan fungsional ini untuk fungsi , maka untuk setiap fungsi periodik dengan periode 1. Demikian pula, setiap penjumlahan tak tentu mewakili keluarga pada fungsi. Maka, penyelesaiannya sama dengan pengembangan dari deret Newton adalah unik untuk ke konstanta aditif . Penyelesaian yang unik ini mewakili perubahan deret berpangkat secara formal pada operasi anti-selisihː

Teorema Fundamental pada kalkulus diskrit

sunting

Penjumlahan tak hingga digunakan sebagai penjumlahan tentu dengan rumusː [4]

 

Definisi

sunting

Rumus Penjumlahan Laplace

sunting
 

dimana   adalah bilangan Cauchy untuk jenis yang pertama atau disebut sebagai bilangan Bernoulli untuk Jenis Kedua.[5] [butuh rujukan]

Rumus Newton

sunting
 

dimana   adalah faktorial menurun.

Rumus Faulhaber

sunting
 

persamaan pada ruas kanan adalah konvergen.

Rumus Mueller

sunting

Jika   maka

 

Rumus Euler–Maclaurin

sunting
 

Pilihan dengan suku konstanta

sunting

Seringkali, konstanta   pada jumlah tak tentu diperbaiki dengan kondisi berikut.

Misalnya

 

Maka, konstanta   diperbaiki dengan kondisi

 

atau

 

Secara alternatif, penjumlahan Ramanujan digunakan sebagaiː

 

atau dengan 1

 .[6]

Penjumlahan menurut bagian

sunting

Penjumlahan tak hingga dengan bagian tertentuː

 
 

Penjumlahan tentu berdasarkan bagian, yaitu:

 

Kaidah periode

sunting

Jika   adalah periode fungsi  , maka

 

Jika   adalah fungsi antiperiode  , yaitu  , maka

 

Penggunaan alternatif

sunting

Beberapa penulis menggunakan frasa "jumlah tak tentu" untuk mendeskripsikan sebuah penjumlahan dimana tidak diberikan nilai numerik pada indeks atas.

 

Dalam kasus seperti tersebut, perubahan ekspresi tertutup   untuk penjumlahan adalah solusi untuk

 

disebut sebagai persamanan teleskop. Kebalikan dari operator selisih mundur  . Berhubungan dengan operasi selisih maju menggunakan teorema fundanmental pada kalkulus diskrit yang dideskripsi sebelumnya.

Daftar jumlah tak tentu

sunting

Inilah daftar jumlah-jumlah tak tentu pada berbagai fungsi. Tidak setiap fungsi memiliki sebuah jumlah tak tentu yang dapat diekspresikan dalam hal fungsi dasar.

Antiselisih pada Fungsi rasional

sunting
 
 
 
dimana  , yang digeneralisasikan ke orde polinomial Bernoulli yang sebenarnya.
 
dimana   adalah fungsi poligamma .
 
dimana   adalah fungsi digamma.
 

Antiselisih pada Fungsi eksponensial

sunting
 

Terutama,

 

Antiselisih pada fungsi logaritma

sunting
 
 

Antiselisih pada Fungsi Hiperbolik

sunting
 
 
 
dimana   adalah fungsi q-digamma .

Antiselisih pada fungsi trigonometri

sunting
 
 
 
 
 
dimana   adalah fungsi q-digamma .
 
 

Antiselisih pada fungsi invers hiperbolik

sunting
 

Antiselisih pada fungsi invers trigonometri

sunting
 

Antiselisih pada fungsi khusus

sunting
 
 
dimana   adalah fungsi gamma tidak kompleks.
 
dimana   adalah faktorial menurun .
 
(lihat fungsi eksponensial super)

Lihat pula

sunting

Referensi

sunting
  1. ^ Indefinite Sum di PlanetMath.
  2. ^ On Computing Closed Forms for Indefinite Summations. Yiu-Kwong Man. J. Symbolic Computation (1993), 16, 355-376[pranala nonaktif permanen]
  3. ^ "If Y is a function whose first difference is the function y, then Y is called an indefinite sum of y and denoted Δ−1y" Introduction to Difference Equations, Samuel Goldberg
  4. ^ "Handbook of discrete and combinatorial mathematics", Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999, ISBN 0-8493-0149-1
  5. ^ Bernoulli numbers of the second kind on Mathworld
  6. ^ Éric Delabaere, Ramanujan's Summation, Algorithms Seminar 2001–2002, F. Chyzak (ed.), INRIA, (2003), pp. 83–88.

Bacaan lebih lanjut

sunting