Kategori himpunan

Dalam bidang matematika dari teori kategori, kategori himpunan, dilambangkan sebagai Himpunan atau Set, adalah kategori yang objek adalah himpunan. Panah atau morfisme di antara himpunan A dan B adalah fungsi total dari A hingga B , dan komposisi morfisme adalah komposisi fungsi.

Banyak kategori lainnya (seperti kategori grup, dengan homomorfisme grup sebagai panah) menambahkan struktur ke objek kategori himpunan dan/atau membatasi panah ke fungsi.

Sifat dari kategori himpunan

Aksioma suatu kategori dipenuhi oleh 'Set' karena komposisi fungsinya adalah asosiatif, dan karena himpunan X memiliki fungsi identitas id_X : X → X yang berfungsi sebagai elemen identitas untuk komposisi fungsi.

Epimorfisme dalam Himpunan adalah peta surjektif, monomorfisme adalah peta injektif, dan isomorfisme adalah peta bijektif.

Himpunan kosong berfungsi sebagai objek awal pada Himpunan dengan fungsi kosong sebagai morfisme. Tunggal adalah objek terminal, dengan fungsi yang memetakan semua elemen himpunan sumber ke elemen target tunggal sebagai morfisme. Jadi tidak ada objek nol pada Himpunan.

Kategori Himpunan adalah kompleks. produk dalam kategori ini diberikan oleh produk kartesius dari himpunan. Koproduk diberikan oleh satuan disjoin: himpunan yang diberikan A_i di mana i berkisar pada beberapa kumpulan indeks I , koproduk sebagai gabungan dari A_i×{i} (produk cartesian dengan i berfungsi untuk memastikan bahwa semua komponen disjoin).

Himpunan adalah prototipe dari kategori konkret; kategori lain adalah konkret jika mereka "dibangun di atas" Himpunan dalam beberapa cara yang jelas.

Himpunan dua elemen berfungsi sebagai klasifikasi subobjek pada Himpunan. Objek pangkat dari himpunan A dari himpunan daya, dan objek eksponensial dari himpunan A dan B diberikan oleh himpunan semua fungsi dari A hingga B . Himpunan is thus a topos (dan khususnya kartesius tertutup dan [[Kategori regular#Persis kategori efektif | tepat dalam arti Barr]]).

Himpunan bukan abelian, aditif atau praditif.

Setiap set yang tidak kosong adalah objek suntik pada Himpunan. Setiap set adalah objek proyektif di Himpunan (dengan asumsi aksioma pilihan).

objek ditampilkan secara terbatas dalam Himpunan adalah himpunan hingga. Karena setiap himpunan adalah limit langsung dari himpunan bagiannya yang terbatas, kategori Himpunan adalah kategori ditampilkan secara terbatas secara lokal.

Dasar untuk kategori himpunan

Dalam teori himpunan Zermelo–Fraenkel kumpulan semua himpunan bukanlah himpunan; ini mengikuti dari aksioma fondasi. Satu mengacu pada koleksi yang tidak ditetapkan sebagai kelas yang tepat. Seseorang tidak dapat menangani kelas karena maka disebut Himpunan; Secara khusus, tidak dapat menulis bahwa kelas-kelas yang tepat itu milik sebuah koleksi (baik sekumpulan atau kelas yang sesuai). Masalah karena ini berarti bahwa kategori himpunan tidak dapat diformalkan secara langsung dalam pengaturan ini. Kategori seperti Himpunan yang kumpulan objeknya membentuk kelas yang tepat dikenal sebagai kategori besar, untuk membedakannya dari kategori kecil yang objeknya membentuk satu himpunan.

Salah satu cara untuk mengatasi masalah tersebut adalah dengan bekerja dalam sistem yang memberikan status formal ke kelas yang sesuai, seperti teori himpunan NBG. Dalam pengaturan ini, kategori yang dibentuk dari himpunan dikatakan kecil dan (seperti Himpunan) dibentuk dari kelas dikatakan besar .

Solusi lain adalah dengan mengasumsikan keberadaan semesta Grothendieck. Secara kasar, alam semesta Grothendieck adalah himpunan yang dengan sendirinya merupakan model ZF (C) (misalnya jika himpunan semesta, unsur-unsurnya dan pangkatnya akan menjadi semesta). Keberadaan semesta Grothendieck (selain himpunan kosong dan himpunan $V_{\omega }$ dari semua himpunan hingga herediter) tidak tersirat oleh aksioma ZF biasa; itu adalah aksioma tambahan, independen, kira-kira setara dengan keberadaan kardinal insesibel. Dengan asumsi aksioma ekstra ini, seseorang dapat membatasi objek Himpunan ke elemen alam semesta tertentu. (Tidak ada "himpunan dari semua himpunan" dalam model, tapi kita masih bisa bernalar tentang kelas U dari semua himpunan dalam, yaitu elemen U .)

Berbagai solusi lain, dan variasi di atas, telah diusulkan.

Masalah yang sama muncul dengan kategori konkret lainnya, seperti kategori grup atau kategori ruang topologi.

Lihat pula

• Teori himpunan
• Himpunan kecil (teori kategori)

Referensi

• Blass, A. The interaction between category theory and set theory. Contemporary Mathematics 30 (1984).
• Feferman, S. Set-theoretical foundations of category theory. Springer Lect. Notes Math. 106 (1969): 201–247.
• Lawvere, F.W. An elementary theory of the category of sets (long version) with commentary
• Mac Lane, S. One universe as a foundation for category theory. Springer Lect. Notes Math. 106 (1969): 192–200.
• Mac Lane, Saunders (September 1998). Categories for the Working Mathematician. Springer. ISBN 0-387-98403-8.  (Volume 5 in the series Graduate Texts in Mathematics)
• Pareigis, Bodo (1970), Categories and functors, Pure and applied mathematics, 39, Academic Press, ISBN 978-0-12-545150-5