Konstanta Apéry

nilai dari fungsi zeta Riemann saat diberi input 3

Dalam matematika, konstanta Apéry adalah jumlah dari invers perkalian denagan pangkat kubik positif. Artinya, konstanta Apéry didefinisikan sebagai bilangandengan ζ adalah fungsi zeta Riemann. Bilangan ini memiliki nilai yang kira-kira sama dengan[1]

Konstanta Apéry
RasionalitasIrasional
Simbolζ(3)
Representasi
Desimal1.2020569031595942854...
Dalam bentuk pecahan berlanjut
Dalam bilangan biner1.0011001110111010...
Dalam heksadesimal1.33BA004F00621383...
ζ(3) = 1.202056903159594285399738161511449990764986292 (barisan A002117 pada OEIS).

Konstanta Apéry dinamai dari Roger Apéry. Konstanta ini biasanya ditemukan dalam sejumlah masalah fisik, di antaranya dalam suku orde kedua dan ketiga rasio gyromagnetic elektron dengan menggunakan elektrodinamika kuantum. Konstanta ini juga ditemukan dalam analisis pohon rentang minimum acak,[2] serta mempunyai hubungan dengan fungsi gamma ketika menyelesaikan integral tertentu yang melibatkan fungsi eksponensial dalam hasil bagi, yang kadangkala ditemukan dalam fisika, sebagai contoh, ketika mengevaluasi kasus dimensi dua dari model Debye dan hukum Stefan–Boltzmann.

Bilangan irasional

sunting
Masalah yang belum terpecahkan dalam matematika:

Apakah konstanta Apéry adalah transendental?

ζ(3) disebut sebagai konstanta Apéry, konstanta yang dinamai dari matematikawan berkebangsaan Prancis, Roger Apéry. Roger Apéry membuktikan bahwa konstanta itu adalah bilangan irasional pada tahun 1978.[3] Hasil tersebut dikenal sebagai teorema Apéry. Bukti aslinya rumit dan sulit dipahami,[4] tetapi kemudian ditemukan bukti yang lebih sederhana.[5]

Bukti irasionalitas Beuker yang disederhanakan melibatkan pendekatan integran dari integral rangkap tiga untuk  ,  dengan menggunakan polinomial Legendre. Secara khusus, artikel van der Poorten menulis pendekatan ini dengan menyatakan bahwa  

dengan  ,   adalah polinomial Legendre, dan suburutan   adalah bilangan bulat atau hampir bilangan bulat. Akan tetapi, masalah yang menanyakan apakah konstanta Apéry adalah transendental masih belum terpecahkan.

Representasi deret

sunting

Klasik

sunting

Selain mempunyai deret Leonhard Euler memberikan representasi deret[6] pada tahun 1772, yang kemudian ditemukan kembali berulang kali.[7]

Konvergensi cepat

sunting

Sejak pada abad ke-19, sejumlah matematikawwan telah menemukan deret percepatan konvergensi untuk menghitung letak desimal ζ(3). Sejak pada tahun 1990-an, terdapat riset yang bertujuan untuk mencari deret yang efisien secara komputasional dengan tingkat konvergensi yang cepat (lihat bagian "Digit yang diketahui").

Representasi deret berikut ditemukan oleh Andrey Markov pada tahun 1890,[8] kemudian ditemukan kembali oleh Hjortnaes pada tahun 1953,[9] dan sekali lagi, representasi deret tersebut ditemukan kembali dan diperkenalkan secara luas oleh Apéry pada tahun 1979:[3] Representasi deret berikut ditemukan oleh Amdeberhan pada tahun 1996, yang memberikan (secara asimtotik) 1,43 dengan pembulatan letak desimal terbaru per suku:[10] 

Representasi deret berikut ditemukan oleh Amdeberhan dan Zeilberger pada tahun 1997, yang memberikan (secara asimtotik) 3,01 dengan pembulatan letak desimal dengan terbaru per suku:[11] 

Representasi deret berikut ditemukan oleh Sebastian Wedeniwski pada tahun 1998, yang memberikan (secara asimtotik) 5,04 dengan pembulatan letak desimal yang baru per suku:[12] Representasi deret ini digunakan oleh Wedeniwski untuk menghitung konstanta Apéry dengan jutaan pembulatan letak desimal.[13]

Representasi deret berikut ditemukan oleh Mohamud Mohammed pada tahun 2005, yang memberikan (secara asimtotik) 3,92 dengan pembulatan letak desimal desimal terbaru per suku:[14] 

Perhitungan menggunakan digit

sunting

Pada tahun 1998, Broadhurst memberikan representasi deret yang memungkinkan menghitung digit biner sembarang, dan untuk konstanta yang akan diperoleh dalam waktu linier dekat, dan ruang logaritma.[15]

Representasi deret lainnya

sunting

Representasi deret berikut ditemukan oleh Ramanujan:[16] 

Representasi deret berikut ditemukan oleh Simon Plouffe pada tahun 1998:[17] 

(Srivastava 2000) mengumpulkan banyak deret yang konvergen menuju ke konstanta Apéry.

Representasi integral

sunting

Ada banyak representasi integral untuk konstanta Apéry. Ada representasi integral yang sederhana, adapula yang tidak.

Rumus yang lebih rumit

sunting

Terdapat rumus lain, yaitu[18] dan[19] 

Rumus yang lebih rumit lainnya juga adalah:[20] Terdapat sebuah kaitan dengan turunan dari fungsi gamma dan rumus tersebut juga sangat berguna untuk menghitung turunan dari berbagai representasi integral dengan menggunakan rumus integral yang diketahui untuk gamma dan fungsi poligamma.[21]

Digit yang diketahui

sunting

Selama beberapa dekade terakhir, jumlah digit yang diketahui dari konstanta Apéry ζ(3) semakin banyak. Hal ini disebabkan karena peningkatan kinerja komputer dan algoritme yang berkembang.

Jumlah digit desimal yang diketahui dari konstanta Apéry ζ(3)
Tanggal Angka desimal Perhitungan dilakukan oleh
1735 16 Leonhard Euler
tak diketahui 16 Adrien-Marie Legendre
1887 32 Thomas Joannes Stieltjes
1996 520.000 Greg J. Fee & Simon Plouffe
1997 1.000.000 Bruno Haible & Thomas Papanikolaou
Mei 1997 10.536.006 Patrick Demichel
Februari 1998 14.000.074 Sebastian Wedeniwski
Maret 1998 32.000.213 Sebastian Wedeniwski
Juli 1998 64.000.091 Sebastian Wedeniwski
Desember 1998 128.000.026 Sebastian Wedeniwski[1]
September 2001 200.001.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
Februari 2002 600.001.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
Februari 2003 1.000.000.000 Patrick Demichel & Xavier Gourdon[22]
April 2006 10.000.000.000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
21 Januari 2009 15.510.000.000 Alexander J. Yee & Raymond Chan[23]
15 Februari 2009 31.026.000.000 Alexander J. Yee & Raymond Chan[23]
17 September 2010 100.000.001.000 Alexander J. Yee[24]
23 September 2013 200.000.001.000 Robert J. Setti[24]
7 Agustus 2015 250.000.000.000 Ron Watkins[24]
21 Desember 2015 400.000.000.000 Dipanjan Nag[25]
13 Agustus 2017 500.000.000.000 Ron Watkins[24]
26 Mei 2019 1.000.000.000.000 Ian Cutress[26]
26 Juli 2020 1.200.000.000.100 Seungmin Kim[27][28]

Lihat pula

sunting

Catatan

sunting
  1. ^ a b Wedeniwski (2001).
  2. ^ Lihat Frieze 1985.
  3. ^ a b Lihat Apéry 1979.
  4. ^ Lihat van der Poorten 1979.
  5. ^ (Beukers 1979); (Zudilin 2002).
  6. ^ Euler (1773).
  7. ^ Srivastava (2000), hlm. 571 (1.11).
  8. ^ Lihat Markov 1890.
  9. ^ Lihat Hjortnaes 1953.
  10. ^ Amdeberhan (1996).
  11. ^ Amdeberhan & Zeilberger (1997).
  12. ^ Lihat Wedeniwski 1998 dan Wedeniwski 2001. Dalam pesannya kepada Simon Plouffe, Sebastian Wedeniwski mengatakan bahwa ia mendapatkan rumus ini dari Amdeberhan & Zeilberger 1997. Penemuannya pada tahun 1998 disebutkan dalam Simon Plouffe's Table of Records (8 April 2001).
  13. ^ (Wedeniwski 1998); (Wedeniwski 2001).
  14. ^ Lihat Mohammed 2005.
  15. ^ Lihat Broadhurst 1998.
  16. ^ Lihat Berndt 1989, bab 14, rumus 25.1 dan 25.3.
  17. ^ Lihat Plouffe 1998.
  18. ^ Jensen (1895).
  19. ^ Beukers (1979).
  20. ^ Blagouchine (2014).
  21. ^ Evgrafov et al. (1969), exercise 30.10.1.
  22. ^ Lihat Gourdon & Sebah 2003.
  23. ^ a b Lihat Yee 2009.
  24. ^ a b c d Lihat Yee 2017.
  25. ^ Lihat Nag 2015.
  26. ^ "Records set by y-cruncher". Diakses tanggal June 8, 2019. 
  27. ^ "Records set by y-cruncher". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2020-08-10. Diakses tanggal 10 Agustus 2020. 
  28. ^ "Apéry's constant world record by Seungmin Kim". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2020-08-03. Diakses tanggal 28 Juli 2020. 

Referensi

sunting

Kredit

sunting

Templat:PlanetMath attribution