Langley's Adventitious Angles

Langley’s Adventitious Angles adalah sebuah teka-teki yang diusul Edward Mann Langley dalam jurnal akademik The Mathematical Gazette pada tahun 1922. Teka-teki ini diharuskan untuk menyimpulkan suatu sudut di dalam diagram geometrik dengan sudut yang diketahui lainnya.

Teka-teki Langley’s Adventitious Angles

Solusi untuk masalah segitiga 80-80-20 Langley

Masalah

Masalah Langley's Adventitious Angles dalam bentuk aslinya mengatakan sebagai berikut:

ABC adalah segitiga sama kaki dengan ∠CBA = ∠ACB = 80°. CF yang membentuk sudut 30° ke AC memotong AB di F. BE yang membentuk sudut 20° ke AB memotong AC di E. Buktikan ∠BEF = 30°.

Masalah menghitung sudut ∠BEF merupakan penerapan masalah Hansen yang standar. Walaupun perhitungan tersebut dapat diperlihatkan bahwa ∠BEF tepat bernilai 30°, perhitungan tersebut selalu meninggalkan keraguan mengenai nilai eksak yang hanya karena ketepatan nilai yang terbatas.

Solusi

Pada tahun 1923, James Mercer mengembangkan bukti langsung menggunakan geometri klasik. Solusinya melibatkan penggambaran sebuah garis tambahan, dan kemudian menggunakan fakta bahwa sudut dalam dari segitiga yang ditambahkan hingga 180° secara berulang. Hal ini bertujuan untuk membuktikan bahwa segitiga-segitiga yang terdapat di dalam segitiga yang besar adalah sama kaki.

1. Gambar garis BG yang membentuk sudut 20° ke BC, memotong AC di G, dan gambar garis FG.
2. Karena ∠BCG = 80° dan ∠CBG = 20°, maka ∠BGC = 80°, dan segitiga BCG sama kaki dengan BC = BG.
3. Karena ∠BCF = 50° dan ∠CBF = 80°, maka ∠BFC = 50°, dan segitiga BCF sama kaki dengna BC = BF.
4. Karena ∠FBG = 60° dan BF = BG, maka BGF sama sisi.
5. Karena ∠BCE = 100° dan ∠GBE = 40°, maka ∠GEB = 40°, dan segitiga BGE sama kaki dengan GB = GE.
6. Oleh karena itu, semua garis merah pada gambar adalah sama.
7. Karena GE = GF, maka segitiga EFG adalah sama kaki dengan sudut ∠GEF = 70°

Oleh karena itu, ∠BEF = 30°.