Matriks dasar

(Dialihkan dari Matriks elementer)

Dalam matematika, matriks dasar atau matriks elementer adalah matriks identitas yang mengalami satu operasi baris elementer. Operasi baris elementer dapat berupa pertukaran dua baris, perkalian suatu baris dengan skalar, dan penambahan suatu baris dengan kelipatan suatu baris yang lain. Matriks elementer menghasilkan grup linear umum GLn(F) dengan F adalah lapangan. Perkalian kiri (pra-perkalian) suatu matriks dengan matriks dasar mewakili operasi baris dasar, sedangkan perkalian kanan (pasca-perkalian) mewakili operasi kolom dasar.

Operasi baris elementer digunakan dalam eliminasi Gauss untuk menyederhanakan matriks menjadi bentuk eselon reduksi. Eliminasi Gauss-Jordan menggunakan operasi ini untuk menyederhanakan matriks lebih lanjut menjadi bentuk eselon baris tereduksi.

Operasi baris elementer

sunting

Ada tiga jenis operasi baris elementer yang dapat dilakukan pada suatu matriks. Operasi-operasi yang serupa, namun dilakukan pada kolom-kolom matriks disebut dengan operasi kolom elementer. Misalkan   menyatakan baris ke-  dari suatu matriks, jenis operasi-operasi baris tersebut adalah:

Pertukaran baris
Suatu baris pada matriks dapat ditukar dengan baris lain.
 
Perkalian baris
Setiap elemen pada suatu baris dapat dikalikan dengan konstanta bukan nol. Operasi ini juga dikenal sebagai penskalaan suatu baris.
 
Penambahan baris
Suatu baris dapat diganti menjadi penjumlahan baris itu dengan suatu kelipatan dari baris lain.
 

Matriks elementer

sunting

Ada tiga jenis matriks elementer, masing-masing dihasilkan dengan melakukan satu operasi baris elementer—atau secara ekuivalen, satu operasi kolom elementer—pada matriks identitas. Jika   adalah matriks elementer akibat suatu jenis operasi baris elementer, menerapkan operasi baris elementer yang sama ke matriks   akan menghasilkan yang sama dengan mengalikan  dengan matriks elementer di sebelah kiri; dengan kata lain,  .

Transformasi pertukaran baris

sunting

Jenis pertama operasi baris pada suatu matriks   adalah menukar baris ke-  dengan baris ke- . Matriks elementer   yang bersesuaian dengan operasi ini adalah matriks yang dihasilkan dengan menukar baris ke-  dengan baris ke-  matriks identitas:

 

Jadi, matriks   adalah matriks yang dihasilkan dari menukar baris ke-  dengan baris ke-  matriks  .

Ada beberapa sifat dari matriks elementer jenis ini. Pertama, invers dari matriks ini adalah dirinya sendiri; dengan kata lain,  . Karena determinan matriks identitas sama dengan 1, dapat ditunjukkan bahwa  . Hal ini mengartikan untuk sembarang matriks persegi  , berlaku hubungan  

Transformasi perkalian baris

sunting

Tipe operasi baris selanjutnya adalah mengalikan setiap elemen baris ke-  matriks   dengan skalar   yang tidak bernilai nol (umumnya berupa bilangan real). Matriks elementer yang bersesuaian adalah matriks identitas, tapi elemen diagonal ke- -nya bernilai  :

 

Jadi, matriks   adalah matriks yang dihasilkan dari mengalikan baris ke-  matriks   dengan  .

Ada beberapa sifat matriks elementer jenis ini. Pertama, invers matriks ini juga merupakan matriks diagonal, dengan  . Lebih lanjut, determinan dari matriks elementer ini sama dengan  . Akibatnya, untuk sembarang matriks persegi   berlaku hubungan  .

Transformasi penambahan baris

sunting

Tipe terakhir operasi baris pada matriks   adalah menambahkan baris ke-  yang dikalikan dengan suatu skalar   ke baris ke- . Matriks elementer yang bersesuaian dengan operasi baris ini adalah matriks identitas, tapi elemen ke-  bernilai  :

 

Jadi,   adalah matriks yang dihasilkan dari menambahkan   kali baris ke-  ke baris ke-  matriks  . Sedangkan   adalah matriks yang dihasilkan dari menambahkan   kali kolom ke-  ke kolom ke-  matriks  .

Matriks elementer ini memiliki beberapa sifat. Pertama, invers matriks ini juga berbentuk matriks segitiga, dengan  . Determinan matriks elementer ini bernilai 1, yang mengartikan   untuk sembarang matriks persegi  .

Referensi

sunting
  • Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (edisi ke-2nd), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3 
  • Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (edisi ke-9th), Wiley International 
  • Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (edisi ke-7th), Pearson Prentice Hall 
  • Strang, Gilbert (2016), Introduction to Linear Algebra (edisi ke-5th), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6