Metode Broyden

Metode Broyden atau metode kuasi Newton adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan numerika tak-linear yang menggunakan lebih dari satu variabel. Bentuk metode Broyden merupakan generalisasi dari metode Sacant dan mengatasi kekurangan dari Metode Newton Raphson.

Persamaan

Perhatikan persamaan di atas dalam dimensi yang besar kita dapat menggunakan matrik jacobian

Persamaan di atas dapat di tulis

Metode broyden’s dimulai dengan matrik jacobian kemudian untuk mengira matrik jacobian selanjutnya A untuk

Dalam menetukan solusi linear F(x) = 0 terlebih dahulu tentukan nilai, dan kemudian buat iterasi sehingga ditemukan konvergen ke suatu angka, jika konvergen ke maka F(p) = 0 dan p merupakan solusi.

Algoritme metode Broyden’s Langkah awal hitung matrik jacobi

Gunakan metode Newton untuk menghitung perkiraan yang pertama ( )

Untuk, telah ditemukan gunakan langkah selanjutnya dalam menentukan Langkah 1 Evaluasi fungsi Langkah 2 Tentukan matrik jacobian yang baru

Dengan dan Langkah 3 Solusi jika untuk Langkah 4 hitung kiraan selanjutnya jika menuju ke suatu angka maka stop.

Perbaikan metode Broyden’s Dalam menentukan matrik invers memerlukan 0(n3) kalkulasi. Dengan demikian perlu cara lain untuk menghemat waktu dan menyikat iterasi. Formula matrik inver Sherman dan Morrison dapat digunakan agar algoritme broyden’s di atas lebih efisien.

Formula Sherman-Morrison

Jika A-1 adalah matrik nonsingular dan U, V adalah vector dan   kemudian

Atau

Algoritme metode Broyden’s dengan menggunakan formula Sherman-Morrison Langkah awal hitung matrik jacobi

Gunakan metode Newton untuk perhitungan awal

Untuk nilai telah ditemukan, gunakan langkah selanjutnya untuk menentukan Langkah 1 Evaluasi Langkah 2 Tentukan matrik jacobi yang baru dengan

 Di mana   dan  

Langkah 3 Hitung dengan menggunakan formula Sherman-Morrison

Langkah 4 Hitung kiraan selanjutnya jika menuju suatu angka maka stop

Dalam menyelesaikan masalah-masalah matematika sering menggunakan bantuan computer karena dengan manual kita sangat kerepotan dan membutuhkan waktu yang banyak serta hasilnya sering tidak memuaskan karena seringnya pembulatan dan kurang teliti. Oleh karena itu dalam tulisan ini saya melampirkan sebuah program untuk menyelesaikan persamaan taklinear menggunakan metode Broyden’s dengan bantuan matlab. Bagi pembaca yang merasa asing dengan matlab program ini harus di tuliskan dalam m.file (salah satu lingkungan terpadu matlab). Berikut programnya

function [x]= Broyden(x0,f,dx,n,tol,I) %input %x0 nilai awal %f adalah fungsi %dx adalah matrik jacobi %n adalah banyak variabel %tol adalah eror %I adalah banyak iterasi % output matrik x x =zeros(n,1); fx =zeros(n,1); x(:,1) = x0; A = feval(f,x(:,1)); B = inv(A); for i=1:I

   x(:,i+1) = x(:,i)-B*fx(:,i);
   fx(:,i+1) = feval(f,(x(:,i+1)));
   if norm(fx(:,i))<tol
   end;
   y=fx(:,i+1)-fx(:,i);
   s=x(:,i+1)-x(:,i);
   oldB=B;
   B=oldB + (1/(s'*olb*y))*(s-oldB*y)*s'*oldB;

end;

by darwisah hasibuan