Modus ponens

Dalam kalkulus proposisional, modus ponens (disingkat MP, bahasa Latin: modus ponendo ponens, terj. modus yang menegaskan dengan menegaskan) atau implikasi penghapusan adalah aturan penarikan kesimpulan. Hal ini dapat diringkas sebagai "P maka Q dan P adalah keduanya dianggap benar, maka Q harus benar."

Modus ponens berkaitan erat dengan aturan lain, modus tollens. Silogisme berkaitan erat dengan modus ponens dan kadang-kadang dianggap sebagai "modus ponens ganda."

Sejarah modus ponens berawal dari zaman kuno. Yang pertama secara eksplisit menggambarkan bentuk argumen modus ponens adalah Theophrastus.

Formal notasi

Dalam modus ponens aturan dapat ditulis dalam notasi sebagai

$P\to Q,\;P\;\;\vdash \;\;Q$

dengan P, Q, dan P → Q adalah pernyataan (atau proposisi) dalam bahasa formal dan ⊢ adalah simbol metalogical yang berarti bahwa Q adalah konsekuensi logis dari P dan P → Q dalam sebuah sistem.

Penjelasan

Argumen memiliki dua premis (hipotesis). Premis pertama adalah "jika–maka", yaitu bahwa P maka Q. Premis kedua adalah bahwa P, benar. Dari kedua premis dapat secara logis disimpulkan bahwa Q, juga benar.

Contoh argumen yang sesuai dengan bentuk modus ponens:

Premis 1: Jika hari ini adalah hari selasa, maka John akan pergi bekerja.

Premis 2: Hari ini adalah hari selasa.

Kesimpulan: Oleh karena itu, John akan pergi bekerja.

Ini adalah argumen yang valid, tetapi ini tidak memiliki hubungan apakah salah satu pernyataan dalam argumen adalah benar; agar modus ponens untuk menjadi argumen lengkap, premis harus benar untuk setiap benar contoh kesimpulan. Sebuah argumen dapat berlaku tapi tetap saja tidak lengkap jika salah satu atau lebih premis salah; jika argumen valid dan semua premis benar, maka argumen lengkap. Misalnya, John mungkin akan bekerja pada hari rabu. Dalam hal ini, alasan untuk John akan bekerja (karena itu adalah hari rabu) adalah tidak lengkap. Argumen ini tidak hanya slogis pada hari selasa (ketika John pergi untuk bekerja), tetapi berlaku pada setiap hari. Sebuah argumen propositional menggunakan modus ponens dikatakan deduktif.

Pembenaran melalui tabel kebenaran

Validitas modus ponens dalam logika dua-nilai dapat ditunjukkan secara jelas dengan menggunakan tabel kebenaran.

p	q	p → q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Dalam kasus modus ponens kita asumsikan sebagai premis bahwa p → q benar dan p benar. Hanya satu baris dari tabel kebenaran—pertama— yang memenuhi dua kondisi (p dan p → q). Pada baris ini, q juga benar. Oleh karena itu, setiap kali p → q benar dan p benar, q juga harus benar.

Dugaan kasus kegagalan

Filsuf dan ahli logika Vann McGee berpendapat bahwa modus ponens dapat gagal untuk menjadi valid apabila akibat itu sendiri adalah kalimat bersyarat. Berikut adalah contoh:

Shakespeare atau Hobbes menulis Hamlet.

Jika Shakespeare atau Hobbes menulis Hamlet, maka jika Shakespeare tidak melakukannya, Hobbes yang melakukannya.

Oleh karena itu, jika Shakespeare tidak menulis Hamlet, Hobbes melakukannya

Premis pertama tampaknya cukup masuk akal, karena Shakespeare umumnya dikaitkan dengan menulis Hamlet. Premis kedua tampaknya masuk akal juga, karena kemungkinan penulis Hamlet terbatas hanya Shakespere dan Hobbes, menghilangkan satu akan meninggalkan yang lain. Tapi kesimpulan ini meragukan, karena jika Shakespeare dikesampingkan sebagai Hamlet's penulis, ada banyak alternatif yang masuk akal dari Hobbes.

Bentuk umum dari tipe penyangkalan McGee untuk modus ponens adalah $P,P\rightarrow (Q\rightarrow R)$, therefore $Q\rightarrow R$ oleh karena itu $P$; tidak penting bahwa $P$ memiliki bentuk disjungsi, seperti dalam contoh yang diberikan. Kasus-kasus seperti ini merupakan kegagalan dari modus ponens tetap menjadi minoritas pandangan di kalangan ulama, tetapi tidak ada konsensus tentang bagaimana kasus-kasus ini harus dibuang.