Pengali Lagrange

Pengali Lagrange adalah metode untuk mencari nilai maksimum dan minimum suatu fungsi. Metode ini dinamai dari matematikawan Prancis-Italia Joseph-Louis Lagrange.^[1]

Apabila hanya ada satu batasan dan dua pilihan variabel, pertimbangkan permasalahan optimisasi berikut:

maksimisasi

f (x, y)

bergantung pada

g (x, y) = 0

.

Diasumsikan bahwa $f$ dan $g$ memiliki turunan parsial pertama. Kemudian ditambahkan variabel baru ( $λ$ ) yang disebut "pengali Lagrange", dan fungsi Lagrange didefinisikan sebagai berikut:

{\mathcal {L}}(x,y,\lambda )=f(x,y)-\lambda \cdot g(x,y),

$λ$ dapat ditambahkan atau dikurangi. Jika $f (x 0, y 0)$ adalah nilai maksimum $f (x, y)$ , maka terdapat $λ 0$ sehingga $(x 0, y 0, λ 0)$ adalah titik stasioner untuk fungsi Lagrange. (titik stasioner adalah titik engan turunan parsial ${\mathcal {L}}$ yang bernilai nol). Namun, tidak semua titik stasioner menghasilkan solusi untuk permasalahan awalnya. Maka dari itu, metode pengali Lagrange menghasilkan kondisi yang diperlukan untuk optimalitas dalam permasalahan yang terbatasi.^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]

Untuk kasus umum dengan jumlah n (variabel) yang sembarang dan jumlah M (batasan) yang sembarang, bentuk Lagrangenya adalah:

{\mathcal {L}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n},\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{M}\right)=f\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)-\sum \limits _{k=1}^{M}{\lambda _{k}g_{k}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)},

sekali lagi optimum f yang terbatasi sama dengan titik stasioner ${\mathcal {L}}.$

Catatan kaki

^ Mécanique Analytique sect. IV, 2 vols. Paris, 1811 https://archive.org/details/mcaniqueanalyt01lagr
^ Bertsekas, Dimitri P. (1999). Nonlinear Programming (edisi ke-Second). Cambridge, MA.: Athena Scientific. ISBN 1-886529-00-0.
^ Vapnyarskii, I.B. (2001) [1994], "Lagrange multipliers", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 .
^
- Lasdon, Leon S. (1970). Optimization theory for large systems. Macmillan series in operations research. New York: The Macmillan Company. hlm. xi+523. MR 0337317.
- Lasdon, Leon S. (2002). Optimization theory for large systems (edisi ke-reprint of the 1970 Macmillan). Mineola, New York: Dover Publications, Inc. hlm. xiii+523. MR 1888251.
^ Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude (1993). "XII Abstract duality for practitioners". Convex analysis and minimization algorithms, Volume II: Advanced theory and bundle methods. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. 306. Berlin: Springer-Verlag. hlm. 136–193 (and Bibliographical comments on pp. 334–335). ISBN 3-540-56852-2. MR 1295240.
^ Lemaréchal, Claude (2001). "Lagrangian relaxation". Dalam Michael Jünger and Denis Naddef. Computational combinatorial optimization: Papers from the Spring School held in Schloß Dagstuhl, May 15–19, 2000. Lecture Notes in Computer Science. 2241. Berlin: Springer-Verlag. hlm. 112–156. doi:10.1007/3-540-45586-8_4. ISBN 3-540-42877-1. MR 1900016.

Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.

[1] Mécanique Analytique sect. IV, 2 vols. Paris, 1811 https://archive.org/details/mcaniqueanalyt01lagr

[2] Bertsekas, Dimitri P. (1999). Nonlinear Programming (edisi ke-Second). Cambridge, MA.: Athena Scientific. ISBN 1-886529-00-0.

[3] Vapnyarskii, I.B. (2001) [1994], "Lagrange multipliers", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 .

[4] 
Lasdon, Leon S. (1970). Optimization theory for large systems. Macmillan series in operations research. New York: The Macmillan Company. hlm. xi+523. MR 0337317.

Lasdon, Leon S. (2002). Optimization theory for large systems (edisi ke-reprint of the 1970 Macmillan). Mineola, New York: Dover Publications, Inc. hlm. xiii+523. MR 1888251.

[5] Lasdon, Leon S. (1970). Optimization theory for large systems. Macmillan series in operations research. New York: The Macmillan Company. hlm. xi+523. MR 0337317.

[6] Lasdon, Leon S. (2002). Optimization theory for large systems (edisi ke-reprint of the 1970 Macmillan). Mineola, New York: Dover Publications, Inc. hlm. xiii+523. MR 1888251.

[5] Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude (1993). "XII Abstract duality for practitioners". Convex analysis and minimization algorithms, Volume II: Advanced theory and bundle methods. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. 306. Berlin: Springer-Verlag. hlm. 136–193 (and Bibliographical comments on pp. 334–335). ISBN 3-540-56852-2. MR 1295240.

[6] Lemaréchal, Claude (2001). "Lagrangian relaxation". Dalam Michael Jünger and Denis Naddef. Computational combinatorial optimization: Papers from the Spring School held in Schloß Dagstuhl, May 15–19, 2000. Lecture Notes in Computer Science. 2241. Berlin: Springer-Verlag. hlm. 112–156. doi:10.1007/3-540-45586-8_4. ISBN 3-540-42877-1. MR 1900016.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]