Pengguna:Dedhert.Jr/Kuasa titik

Gambar 1. Ilustrasi dari kuasa titik $P$ dalam lingkaran berpusat di titik $O$. Jarak $s$ ditunjukkan dalam garis berwarna oranye, jari-jari $r$ ditunjukkan dalam garis berwarna biru, dan ruas garis singgung $PT$ ditunjukkan dalam garis berwarna merah.

Dalam geometri bidang elementer, kuasa titik merupakan sebuah bilangan real $h$ yang mencerminkan jarak relatif titik yang diberikan dari sebuah lingkaran. Lebih khususnya, kuasa titik $P$ terhadap lingkaran $O$ dari jari-jari $r$ didefinisikan oleh (Gambar 1).

$h^{2}=s^{2}-r^{2}$.

dimana $s$ adalah jarak antara titik $P$ dan pusat $O$ dari lingkaran. Oleh definisi ini, titik-titik di dalam lingkaran memiliki kuasa negatif, titik diluar memiliki kuasa positif, dan titik mengenai lingakran memiliki kuasa nol/ Untuk titik eksternal, kuasanya sama dengan kuadrat dari panjang garis singgung dari titik ke lingkaran. Kuasa titiknya juga dikenal sebagai kuasa lingkaran titik atau kuasa lingkaran terhadap titik tersebut.

Kuasa titik $P$ (lihat di Gambar 1) dapat didefinisikan dengan setara sebagai hasilkali jarak dari titik $P$ ke dua titik perpotongan suatu garis yang melalui $P$. Contohnya, di Gambar 1, sebuah sinar berasal dari $P$ memotong lingkaran di kedua titik, $M$ dan $N$, sedangkan sebuah sinar garis sunggung memotong lingkaran di satu titik $T$, garis mendatar dari $P$ memotong lingkaran di $A$ dan $B$, titik ujung dari diameter. Hasilkali masing-masing jaraknya sama dengan satu sama lain dan dengan kuasa titik $P$ dalam lingkaran tersebut.

$\mathbf {\overline {PT}} ^{2}=\mathbf {\overline {PM}} \times \mathbf {\overline {PN}} =\mathbf {\overline {PA}} \times \mathbf {\overline {PB}} =(s-r)\times (s+r)=s^{2}-r^{2}=h^{2}$

Persamaan ini terkadang dikenal sebagai "teorema sekan-tangen", "teorema memotong tali busur", atau "teorema kuasa titik". Dalam kasus bahwa $P$ terletak di dalam lingakran, dua titik perpotongan akan berada di sisi yang berbeda dari garis melalui $P$, garisnya dapat dianggap mempunyai sebuah arah, sehingga salah satu jaraknya adalah negatif, dan oleh karena itu hasil kali dari dua juga.

Kuasa titik digunakan dalam banyak definisi dan bukti yang geometris. Contohnya, sumbu radikal dari dua lingkaran yang diberikan adalah garis lurus yang terdiri dari titik yang memiliki kuasa yang sama untuk kedua lingkaran. Untuk setiap titik pada garis ini, terdapat sebuah lingkaran tunggal yang berpusat pada titik tersebut yang memotong kedua lingkaran yang diberikan secara ortogonal; dengan setara, garis singgung dengan panjang yang sama dapat digambar dari titik tersebut untuk kedua lingkaran yang diberikan. Dengan cara yang serupa, pusat radikal dari tiga lingkaran merupakan titik tunggal dengan kuasa yang sama untuk semua ketiga lingkaran. Terdapat sebuah lingkaran tunggal, berpusat pada pusat radikal, yang memotong semua tiga lingkaran yang diberikan secara ortogonal; dengan setara, garis singgungnya digambar dari pusat radikal untuk semua ketiga lingkaran memiliki panjang yang sama. Diagram kuasa himpunan lingkaran membagi bidang menjadi daerah-daerah dalam

Lebih umumnya, matematikawan Perancis bernama Edmond Laguerre mendefinisikan kuasa titik terhadap suatu lengkung aljabar dalam cara yang serupa.

Lingkaran ortogonal

Gambar 2: Lingkaran yang digarisi berpusat pada titik $P$ dan memotong lingkaran yang diberikan (berwarna hitam padat) di sudut siku-siku, yaitu, secara ortogonal, di titik $T$. Jari-jari yang dikuadratkan dari lingkaran ortogonal sama dengan kuasa dari $P$ terhadap lingkaran yang diberikan.

Untuk sebuah titik $P$ yang diluar lingkaran, kuasa $h=R^{2}$, kuadrat jari-jari $R$ dari sebuah lingkaran baru yang berpusat di $P$ yang memotong lingkaran yang diberikan di sudut siku-siku, yaitu, secara ortogonal (Gambar 2). Jika dua lingkaran bertemu di sudut siku-siku di sebuah titik $T$, maka jari-jarinya digambar ke $T$ dari $P$ dan dari $O$, pusat dari lingkaran yang diberikan, demikian juga bertemu di sudut siku-siku (segmen garis berwarna biru di Gambar 2). Oleh karena itu, segmen garis jari-jari setiap lingkaran bersinggungan dengan lingkaran lainnya. Segmen garis ini membentuk sebuah segitiga siku-siku dengan segmen garis yang menghubungkan $O$ dan $P$. Oleh karena itu, dengan menggunakan teorema Pythagoras$O$,

$R^{2}=s^{2}-r^{2}=h\,$

dimana $s$ lagi merupakan jarak dari titik $P$ ke pusat $O$ dari lingkaran yang diberikan (garis padat berwarna hitam di Gambar 2).

Bangunan lingkaran ortogonal ini berguna dalam memahami sumbu radikal dua lingkaran, dan pusat radikal tiga lingkaran. Titik $T$ dapat dibangun—dan, dengan cara demikian, jari-jari $R$ dan kuasa $h$ ditemukan secara geometrik— dengan mencari perpotongan dari lingkaran yang diberikan dengan sebuah setengah lingkaran (yang berwarna merah di Gambar 2) berpusat di titik tengah $O$ dan $P$ dan lewat melalui kedua titik. Ini juga dapat ditunjukkan bahwa titik $Q$ adalah balikan dari $P$ terhadap lingkaran yang diberikan.

Teorema

Kuasa teorema titik, karena Jakob Steiner, menyatakan bahwa untuk suatu garis melalui $A$ memotong sebuah lingkaran $c$ di titik $P$ dan $Q$, kuasa dari titik terhadap lingkaran $c$ diberikan ke sebuah tanda oleh darab

$AP\cdot AQ\,$

dari panjang segmen dari $A$ ke $P$ dan $A$ ke $Q$, dengan sebuah tanda positif jika $A$ diluar lingkaran dan sebuah tanda negatif adalah sebaliknya; jika $A$ ada di lingkaran, darabnya adalah nol. Dalam kasus pembatasan, ketika garisnya bersinggung dengan lingkaran, $P=Q$, dan hasilnay segera dari teorema Pythagoras.

In the other two cases, when A is inside the circle, or A is outside the circle, the power of a point theorem has two corollaries.

• The chord theorem, theorem of intersecting chords, or chord-chord power theorem states that if A is a point inside a circle and PQ and RS are chords of the circle intersecting at A, then

$AP\cdot AQ=AR\cdot AS\,$

The common value of these products is the negative of the power of the point A with respect to the circle.

• The intersecting secants theorem (or secant-secant power theorem) states that if PQ and RS are chords of a circle which intersect at a point A outside the circle, then

$AP\cdot AQ=AR\cdot AS\,$

In this case the common value is the same as the power of A with respect to the circle.

• The tangent-secant theorem is a special case of the theorem of intersecting secants, where points Q and P coincide, i.e.

$AP\cdot AQ=AR\cdot AS\,$

$AP\cdot AP=AR\cdot AS\,$

$AP^{2}=AR\cdot AS\,$

This has utility in such applications as determining the distance to a point P on the horizon, by selecting points R and S to form a diameter chord, so that RS is the diameter of the planet, AR is the height above the planet, and AP is the distance to the horizon.

Darboux product

The power of a point is a special case of the Darboux product between two circles, which is given by

$\left|A_{1}A_{2}\right|^{2}-r_{1}^{2}-r_{2}^{2}\,$

where A₁ and A₂ are the centers of the two circles and r₁ and r₂ are their radii. The power of a point arises in the special case that one of the radii is zero.

If the two circles are orthogonal, the Darboux product vanishes.

If the two circles intersect, then their Darboux product is

$2r_{1}r_{2}\cos \varphi \,$

where φ is the angle of intersection.

Laguerre's theorem

Laguerre defined the power of a point P with respect to an algebraic curve of degree n to be the product of the distances from the point to the intersections of a circle through the point with the curve, divided by the nth power of the diameter d. Laguerre showed that this number is independent of the diameter (Laguerre 1905). In the case when the algebraic curve is a circle this is not quite the same as the power of a point with respect to a circle defined in the rest of this article, but differs from it by a factor of d².

References

• Coxeter, H. S. M. (1969), Introduction to Geometry (edisi ke-2nd), New York: Wiley .
• Darboux, Gaston (1872), "Sur les relations entre les groupes de points, de cercles et de sphéres dans le plan et dans l'espace", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 1: 323–392 .
• Laguerre, Edmond (1905), Oeuvres de Laguerre: Géométrie (dalam bahasa French), Gauthier-Villars et fils, hlm. 20 Pemeliharaan CS1: Bahasa yang tidak diketahui (link)
• Steiner, Jakob (1826), "Einige geometrische Betrachtungen", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1: 161–184 .
• Berger, Marcel (1987), Geometry I, Springer, ISBN 978-3-540-11658-5 

Further reading

• Ogilvy C. S. (1990), Excursions in Geometry, Dover Publications, hlm. 6–23, ISBN 0-486-26530-7 
• Coxeter H. S. M., Greitzer S. L. (1967), Geometry Revisited, Washington: MAA, hlm. 27–31, 159–160, ISBN 978-0-88385-619-2 
• Johnson RA (1960), Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle (edisi ke-reprint of 1929 edition by Houghton Miflin), New York: Dover Publications, hlm. 28–34, ISBN 978-0-486-46237-0 

External links

• Jacob Steiner and the Power of a Point at Convergence
• Weisstein, Eric W. "Circle Power". MathWorld. 
• Intersecting Chords Theorem at cut-the-knot
• Intersecting Chords Theorem With interactive animation
• Intersecting Secants Theorem With interactive animation
• [1]