Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/2

Kurva penyihir Agnesi yang diwarnai hijau, serta lingkaran yang dikonstruksi dengan parameter jari-jari , , , dan .

Dalam matematika, penyihir Agnesi adalah sebuah kurva bidang kubik yang terdefinisi dari dua titik lingkaran yang berlawanan. Nama kurva ini diperoleh dari seorang matematikawan berkebangsaan Italia bernama Maria Gaetana Agnesi, dan juga diperoleh dari kata Italia untuk sailing sheet yang salah diterjemahkan. Kurva ini sudah dipelajari oleh Fermat, Grandi dan Newton sebelum Agnesi.

Grafik turunan dari fungsi arctangen membentuk sebuah contoh dari penyihir Agnesi. Kurva penyihir Agnesi mempunyai penerapan dalam teori probabilitas (peluang), yakni sebagai fungsi kerapatan probabilitas dari distribusi Cauchy. Kurva ini juga menimbulkan fenomena Runge dalam aproksimasi fungsi dengan menggunakan polinomial, yang dipakai untuk mengaproksimasi distribusi energi dari garis spektral serta menggambarkan bentuk bukit.

Kurva penyihir Agnesi bersinggungan dengan lingkaran yang didefinisikan di salah satu dari dua titik yang didefinisikan, serta kurva ini asimtotik dengan garis yang singgung dengan lingkaran di titik yang lain. Kurva ini mempunyai satu buah verteks (sebuah titik dari kelengkungan ekstrem) di titik singgung dengan lingkaran yang terdefinisi darinya, yang juga berarti bahwa lingkaran itu terosilasi di titik tersebut. Kurva ini mempunyai dua buah titik belok terhingga dan satu buah titik belok tak terhingga. Luas di antara kurva penyihir Agnesi dengan garis asimtotik sama dengan empat kali dari luas lingkaran yang terdefinisikan, serta volume kurva yang diputar di sekitar garis tersebut sama dengan dua kalinya volume torus dari putaran lingkaran yang terdefinisikan.

Konstruksi

sunting
 
Kurva penyihir Agnesi MP dengan titik yang berlabel
 
Animasi yang memperlihatkan konstruksi dari kurva penyihir Agnesi

Cara mengonstruksi kurva ini dimulai dengan sebarang dua titik O dan M, dan kemudian gambar sebuah lingkaran dengan OM sebagai diameternya. Untuk sebarang titik lain A di lingkaran, misalkan N adalah titik perpotongan dari sebuah garis sekan OA dan sebuah garis menyinggung di titik M. Misalkan P adalah titik perpotongan dari sebuah garis yang tegak lurus dengan OM melalui A, dan sebuah garis sejajar dengan OM melalui N. Maka P terletak di kurva penyihir Agnesi. Kurva ini terdiri dari semua titik P yang dapat dikonstruksi dengan cara tadi dengan memilih sebarang titik O dan M.[1] It includes, as a limiting case, the point M itself.

Persamaan

sunting

Misalkan O adalah titik asal dan misalkan M adalah sebuah titik yang terletak di sumbu-  positif, sehingga membentuk diameter lingkaran OM dan mempunyai jari-jari  . Maka, kurva yang dikonstruksi dari O dan M mempunyai persamaan Cartesius[2][3] Persamaan di atas dapat disederhanakan dengan memilih  , sehingga bentuknya menjadi  atau sebagai persamaan aljabar kubik dengan menghabiskan penyebut pada kedua ruas. Kurva dengan bentuk yang telah disederhanakan di atas menggambarkan grafik turunan dari fungsi arctangen.[4]

Kurva penyihir Agnesi juga digambarkan dengan menggunakan persamaan parametrik, dengan parameter θ adalah sudut di antara OM dan OA, yang diukur searah jarum jam:[2][3]   

Sifat-sifat

sunting

Sifat utama dari kurva ini dapat diperoleh menggunakan kalkulus integral. Luas di antara kurva penyihir Agnesi dengan garis asimtotik sama dengan empat kalinya luas lingkaran,  .[2][3][5] Volume kurva penyihir Agnesi yang diputar terhadap garis asimtot sama dengan  ,[2] dua kalinya volume torys yang dibentuk dengan memutar lingkaran yang terdefinisikan dari kurva penyihir Agnesi terhadap garis yang sama.[5]

Kurva penyihir Agnesi mempunyai satu buah verteks di titik singgung dengan lingkaran yang terdefinisi darinya. Ini mengartikan bahwa titik tersebut adalah satu-satunya titik, dengan kurvaturnya mencapai minimum lokal atau maksimum lokal.[6] Lingkaran yang terdefinisi dari kurva penyihir Agnesi juga merupakan lingkaran yang oskulasi di verteks,[7] sebuah lingkaran yang "menyinggung" kurva di titik tersebut dengan membagikan orientasi dan kurvatur yang sama.[8] Karena teroskulasi di verteks kurva, lingkaran tersebut mempunyai kontak orde-tiga dengan kurva.[9]

Kurva penyihir Agnesi mempunyai dua titik belok, yaitu titik yang korespondensi dengan sudut  .[2][3] Saat memandangnya sebagai sebuah kurva dalam bidang proyektif, akan ada pula titik belok tak terhingga ketiga, yang terletak di sebuah titik ketika garis di takhingga dilalui garis asimtotik. Karena salah satu dari titik belok tersebut tak terhingga, kurva penyihir Agnesi mempunyai jumlah minimum yang mungkin dari titik belok real terhingga dari sebarang kurva kubik tak-singular.

Luas terbesar persegi panjang yang berada di antara kurva penyihir Agnesi dengan garis asimtot sama dengan  , dengan panjang dari persegi panjang adalah jari-jari lingkaran yang terdefinisikan dan lebarnya sama dengan dua kalinya diameter lingkaran.[5]

Sejarah

sunting

Kajian awal

sunting
 
Sebuah ilustrasi dari kurva beserta konstruksinya dalam karya milik Agnesi pada tahun 1748.[10]

Kurva ini dipelajari Pierre de Fermat dalam risalah tentang kuadratur miliknya tahun 1659. Dalam risalah tersebut, Fermat menghitung luas di bawah kurva dan mengatakan bahwa metode yang sama dapat memperluas juga ke cissoid dari Diocles. Fermat menulis bahwa kurva tersebut ditujukan kepadanya "ab erudito geometra" [oleh seorang ahli geometri terpelajar].[11] (Paradís, Pla & Viader 2008) menduga ahli geometri yang menunjukkan kurva tersebut kepada Fermat adalah Antoine de Laloubère.[12]

Konstruksi untuk kurva tersebut seperti yang dijelaskan sebelumnya ditemukan oleh (Grandi 1718). Konstruksi ini sudah ditemukan sebelumnya oleh Isaac Newton, tetapi konstruksinya diterbitkan setelah kematiannya, yakni pada tahun 1779.[13] (Grandi 1718) juga memberi julukan nama versiera dalam bahasa Italia, atau versoria dalam bahasa Latin, untuk kurva.[14] Dalam bahasa Latin, kata tersebut juga berarti sheet, the rope which turns the sail, but Grandi may have instead intended merely to refer to the versine function that appeared in his construction.[5][13][15][16]

Pada tahun 1748, Maria Gaetana Agnesi menerbitkan buku cetak pertamanya tentang kalkulus yang berjudul Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana.[10] Di dalam buku tersebut, Agnesi menulis kajian tentang kurva tersebut setelah mengulas dua kurva lainnya. Agnesi mendefinisikan kurva secara geometris sebagai lokus dari titk yang memenuhi proporsi, menentukan persamaan aljabar, serta mencari titik pojok, garis asimtotik, dan titik belok dari kurva tersebut.[17]

Etymology

sunting

Maria Gaetana Agnesi named the curve according to Grandi, versiera.[15][17] Coincidentally, at that time in Italy it was common to speak of the Devil, the adversary of God, through other words like aversiero or versiero, derived from Latin adversarius. Versiera, in particular, was used to indicate the wife of the devil, or "witch".[18] Because of this, Cambridge professor John Colson mistranslated the name of the curve as "witch".[19] Different modern works about Agnesi and about the curve suggest slightly different guesses how exactly this mistranslation happened.[20][21] Struik mentions that:[17]

The word [versiera] is derived from Latin vertere, to turn, but is also an abbreviation of Italian avversiera, female devil. Some wit in England once translated it 'witch', and the silly pun is still lovingly preserved in most of our textbooks in English language. ... The curve had already appeared in the writings of Fermat (Oeuvres, I, 279–280; III, 233–234) and of others; the name versiera is from Guido Grandi (Quadratura circuli et hyperbolae, Pisa, 1703). The curve is type 63 in Newton's classification. ... The first to use the term 'witch' in this sense may have been B. Williamson, Integral calculus, 7 (1875), 173;[22] see Oxford English Dictionary.

On the other hand, Stephen Stigler suggests that Grandi himself "may have been indulging in a play on words", a double pun connecting the devil to the versine and the sine function to the shape of the female breast (both of which can be written as "seno" in Italian).[13]

Penerapan

sunting

A scaled version of the curve is the probability density function of the Cauchy distribution. This is the probability distribution on the random variable   determined by the following random experiment: for a fixed point   above the  -axis, choose uniformly at random a line through  , and let   be the coordinate of the point where this random line crosses the axis. The Cauchy distribution has a peaked distribution visually resembling the normal distribution, but its heavy tails prevent it from having an expected value by the usual definitions, despite its symmetry. In terms of the witch itself, this means that the  -coordinate of the centroid of the region between the curve and its asymptotic line is not well-defined, despite this region's symmetry and finite area.[13][23]

In numerical analysis, when approximating functions using polynomial interpolation with equally spaced interpolation points, it may be the case for some functions that using more points creates worse approximations, so that the interpolation diverges from the function it is trying to approximate rather than converging to it. This paradoxical behavior is called Runge's phenomenon. It was first discovered by Carl David Tolmé Runge for Runge's function  , another scaled version of the witch of Agnesi, when interpolating this function over the interval  . The same phenomenon occurs for the witch   itself over the wider interval  .[24]

The witch of Agnesi approximates the spectral energy distribution of spectral lines, particularly X-ray lines.[25]

The cross-section of a smooth hill has a similar shape to the witch.[26] Curves with this shape have been used as the generic topographic obstacle in a flow in mathematical modeling.[27][28] Solitary waves in deep water can also take this shape.[29][30]

A version of this curve was used by Gottfried Wilhelm Leibniz to derive the Leibniz formula for π. This formula, the infinite series can be derived by equating the area under the curve with the integral of the function  , using the Taylor series expansion of this function as the infinite geometric series  , and integrating term-by-term.[3]

Catatan

sunting
  1. ^ Eagles, Thomas Henry (1885), "The Witch of Agnesi", Constructive Geometry of Plane Curves: With Numerous Examples, Macmillan and Company, hlm. 313–314 
  2. ^ a b c d e Lawrence, J. Dennis (2013), "4.3 Witch of Agnesi (Fermat, 1666; Agnesi, 1748)", A Catalog of Special Plane Curves, Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, hlm. 90–93, ISBN 9780486167664 
  3. ^ a b c d e Yates, Robert C. (1954), "Witch of Agnesi", Curves and their Properties (PDF), Classics in Mathematics Education, 4, National Council of Teachers of Mathematics, hlm. 237–238 
  4. ^ Cohen, David W.; Henle, James M. (2005), Calculus: The Language of Change, Jones & Bartlett Learning, hlm. 351, ISBN 9780763729479 
  5. ^ a b c d Larsen, Harold D. (January 1946), "The Witch of Agnesi", School Science and Mathematics, 46 (1): 57–62, doi:10.1111/j.1949-8594.1946.tb04418.x 
  6. ^ Gibson, C. G. (2001), Elementary Geometry of Differentiable Curves: An Undergraduate Introduction, Cambridge: Cambridge University Press, Exercise 9.1.9, p. 131, doi:10.1017/CBO9781139173377, ISBN 0-521-80453-1, MR 1855907 
  7. ^ Haftendorn, Dörte (2017), "4.1 Versiera, die Hexenkurve", Kurven erkunden und verstehen (dalam bahasa Jerman), Springer, hlm. 79–91, doi:10.1007/978-3-658-14749-5, ISBN 978-3-658-14748-8 . For the osculating circle, see in particular p. 81: "Der erzeugende Kreis ist der Krümmungskreis der weiten Versiera in ihrem Scheitel."
  8. ^ Lipsman, Ronald L.; Rosenberg, Jonathan M. (2017), Multivariable Calculus with MATLAB®: With Applications to Geometry and Physics, Springer, hlm. 42, ISBN 9783319650708, The circle "kisses" the curve accurately to second order, thus is given the name osculating circle (from the Latin word for "kissing"). 
  9. ^ Fuchs, Dmitry; Tabachnikov, Serge (2007), Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics, Providence, RI: American Mathematical Society, hlm. 142, doi:10.1090/mbk/046, ISBN 978-0-8218-4316-1, MR 2350979 
  10. ^ a b Agnesi, Maria Gaetana (1748), Instituzioni analitiche ad uso della gioventú italiana  See in particular Problem 3, pp. 380–382, and Fig. 135.
  11. ^ de Fermat, Pierre (1891), Oevres (dalam bahasa Latin), 1, Gauthier-Villars et fils, hlm. 280–285 
  12. ^ Paradís, Jaume; Pla, Josep; Viader, Pelegrí (2008), "Fermat's method of quadrature", Revue d'Histoire des Mathématiques, 14 (1): 5–51, MR 2493381 
  13. ^ a b c d Stigler, Stephen M. (August 1974), "Studies in the History of Probability and Statistics. XXXIII. Cauchy and the Witch of Agnesi: An Historical Note on the Cauchy Distribution", Biometrika, 61 (2): 375–380, doi:10.1093/biomet/61.2.375, JSTOR 2334368, MR 0370838 
  14. ^ In his notes to Galileo's "Trattato del moto naturalmente accelerato," Grandi had referred to "quella curva che io descrivo nel mio libro delle quadrature [1703], alla prop. IV, nata da' seni versi, che da me suole chiamarsi Versiera, in latino però Versoria." See Galilei, Opere, 3: 393. One finds the new term in Lorenzo Lorenzini, Exercitatio geometrica, xxxi: "sit pro exemplo curva illa, quam Doctissimus magnusque geometra Guido Grandus versoria nominat."
  15. ^ a b Truesdell, C. (1991), "Correction and Additions for "Maria Gaetana Agnesi"", Archive for History of Exact Sciences, 43 (4): 385–386, doi:10.1007/BF00374764 , […] nata da' seni versi, che da me suole chiamarsi la Versiera in latino però Versoria […] 
  16. ^ Grandi, G. (1718), "Note al trattato del Galileo del moto naturale accellerato", Opera Di Galileo Galilei (dalam bahasa Italia), III, Florence, hlm. 393 . As cited by (Stigler 1974).
  17. ^ a b c A translation of Agnesi's work on this curve can be found in: Struik, Dirk J. (1969), A Source Book in Mathematics, 1200–1800, Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, hlm. 178–180 
  18. ^ Pietro Fanfani, Vocabolario dell'uso toscano, p. 334
  19. ^ Mulcrone, T. F. (1957), "The names of the curve of Agnesi", American Mathematical Monthly, 64 (5): 359–361, doi:10.2307/2309605, JSTOR 2309605, MR 0085163 
  20. ^ Singh, Simon (1997), Fermat's Enigma: The Epic Quest to Solve the World's Greatest Mathematical Problem, New York: Walker and Company, hlm. 100, ISBN 0-8027-1331-9, MR 1491363 
  21. ^ Darling, David (2004), The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes, Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, hlm. 8, ISBN 0-471-27047-4, MR 2078978 
  22. ^ Oxford English Dictionary, Oxford University Press, 2018, witch, n.2, 4(e), diakses tanggal 3 July 2018, 1875 B. Williamson Elem. Treat. Integral Calculus vii. 173 Find the area between the witch of Agnesi   and its asymptote. 
  23. ^ Alexander, J. McKenzie (2012), "Decision theory meets the Witch of Agnesi", Journal of Philosophy, 109 (12): 712–727, doi:10.5840/jphil20121091233 
  24. ^ Cupillari, Antonella; DeThomas, Elizabeth (Spring 2007), "Unmasking the witchy behavior of the Runge function", Mathematics and Computer Education, 41 (2): 143–156, ProQuest 235858817 
  25. ^ Spencer, Roy C. (September 1940), "Properties of the Witch of Agnesi—Application to Fitting the Shapes of Spectral Lines", Journal of the Optical Society of America, 30 (9): 415, Bibcode:1940JOSA...30..415S, doi:10.1364/josa.30.000415 
  26. ^ Coppin, P. A.; Bradley, E. F.; Finnigan, J. J. (April 1994), "Measurements of flow over an elongated ridge and its thermal stability dependence: The mean field", Boundary-Layer Meteorology, 69 (1–2): 173–199, Bibcode:1994BoLMe..69..173C, doi:10.1007/bf00713302, A useful general form for the hill shape is the so-called 'Witch of Agnesi' profile 
  27. ^ Snyder, William H.; Thompson, Roger S.; Eskridge, Robert E.; Lawson, Robert E.; Castro, Ian P.; Lee, J. T.; Hunt, Julian C. R.; Ogawa, Yasushi (March 1985), "The structure of strongly stratified flow over hills: dividing-streamline concept", Journal of Fluid Mechanics, 152 (–1): 249, Bibcode:1985JFM...152..249S, doi:10.1017/s0022112085000684 
  28. ^ Lamb, Kevin G. (February 1994), "Numerical simulations of stratified inviscid flow over a smooth obstacle" (PDF), Journal of Fluid Mechanics, 260 (–1): 1, Bibcode:1994JFM...260....1L, doi:10.1017/s0022112094003411, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 6 January 2014 
  29. ^ Benjamin, T. Brooke (September 1967), "Internal waves of permanent form in fluids of great depth", Journal of Fluid Mechanics, 29 (3): 559, Bibcode:1967JFM....29..559B, doi:10.1017/s002211206700103x 
  30. ^ Noonan, Julie A.; Smith, Roger K. (September 1985), "Linear and weakly nonlinear internal wave theories applied to 'morning glory' waves", Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics, 33 (1–4): 123–143, Bibcode:1985GApFD..33..123N, doi:10.1080/03091928508245426 

Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "arnold" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "discogs" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.

Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "gazette" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.