Wikipedia

Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/23

< Pengguna:Dedhert.Jr | Uji halaman 01
Layang-layang
Sebuah layang-layang yang memperlihatkan pasangan sisinya yang sama panjang beserta lingkaran dalamnya.
Sisi dan titik pojok4
Grup simetriD1 (*)

Dalam geometri Euklides, layang-layang adalah sebuah segiempat yang memeiliki simetri cerminan di sekitar sisi diagonalnya. Karena adanya simetri ini, layang-layang memiliki dua sudut yang sama dan memiliki dua pasangan sisi yang sama panjang dan juga berdampingan. Layang-layang juga dikenal dengan sebutan deltoid,[1] tetapi kata deltoid juga dapat mengacu pada kurva deltoid, objek geometri yang tak berkaitan yang terkadang kajiannya memiliki kaitan dengan segiempat.[2][3] Layang-layang tidak berupa cembung saja, tetapi layang-layang juga dapat berupa cekung.[4][5]

Setiap layang-layang merupakan segiempat ortodiagonal (yang berarti sisi diagonal berada di sudut siku-siku), dan layang-layang merupakan segiempat garis singgung (sisinya yang bersinggungan dengan sebuah lingkaran dalam) apabila layang-layangnya cembung. Layang-layang cembung setidaknya merupakan segiempat yang sama-sama ortodiagonal dan tangensial (bersinggungan). Terdapat layang-layang siku-siku, layang-lyang yang memiliki dua sudut siku-siku yang berhadapan, yang merupakan kasus istimewa dari layang-layang. Kasus istimewa lainnya adalah belah ketupat yang memiliki dua sumbu simetri yang merupakan diagonalnya, dan persegi yang sama-sama merupakan kasus istimewa dari layang-layang dan juga belah ketupat.

Segiempat dengan perbandingan terbesar dari keliling dan diameter adalah layang-layang dengan sudut 60°, 75°, dan 150°. Layang-layang dari dua bangun datar (yang cembung maupun tak cembung) membentuk prototile dari salah satu bentuk pengubinan Penrose. Layang-layang juga membentuk muka dari polihedron yang memiliki sifat isohedral dan pengubinan. Layang-layang memiliki kaitannya dengan kajian biliar outer (outer billiard), permasalahan dalam matematika lanjutan mengenai sistem dinamika.

Definisi dan klasifikasi

sunting
 
Layang-layang cembung dan cekung

Layang-layang adalah sebuah segiempat yang memiliki simetri refleksi di sekitar salah satu diagonal sisinya. Ini juga dapat dikatakan bahwa layang-layang adalah sebuah segiempat dengan keempat sisinya dikumpul menjadi dua pasangan yang sama panjangnya dan berdampingan.[1][6] Layang-layang dapat dikonstruksi dari titik pusat dan melintasi titik-titik dari dua sebarang lingkaran yang berpotongan.[7] Bentuk layang-layang dapat berupa cembung atau cekung, tetapi beberapa sumber membatasi definisi layang-layang sebagai layang-layang cembung saja. Segiempat dapat dikatakan layang-layang jika dan hanya jika salah satu dari syarat berikut terpenuhi:

  • Keempat sisinya dapat dibagi menjadi dua pasangan yang sama panjang dan berdampingan.[6]
  • Salah satu diagonal sisinya melintasi titik tengah dari diagonal sisi lainnya di sudut siku-siku, sehingga membentuk garis pembagi yang tegak lurus.[8] (Untuk yang berupa cekung, garisnya melalui salah satu diagonal sisi yang membagi garis lainnya.)
  • Salah satu diagonal sisinya merupakan garis simetri. Garis simetri terebut membagi segiempat menjadi dua segitiga yang kongruen, yang saling mencerminkan satu sama lain.[6]
  • Salah satu diagonal sisinya membagi kedua sudut di ujungnya.[6]

Segiempat dapat diklasifikasikan berdasarkan hierarki, yang berarti ada beberapa kelas segiempat yang menyertakan kelas lain, atau berdasarkan pembagian, yang berarti masing-masing segiempat hanya ada terdapat di dalam satu kelas saja. Berdasarkann hierarki, layang-layang meliputi belah ketupat (segiempat yang memiliki empat sisi yang sama panjang) dan persegi. Semua layang-layang yang sama sisi adalah belah ketupat, dan semua layang-layang yang sama sudut adalah persegi. Berdasarkan pembagiannya, belah ketupat dan persegi tidak akan berupa layang-layang, karena kedua bangun datar tersebut miliki kelas segiempat yang berbeda. Dengan pernyataan yang serupa, layang-layang siku-siku bukan merupakan layang-layang. Sisa dari artikel ini menjelaskan klasifikasi menurut hierarki, dalam artian belah ketupat, persegi, dan layang-layang siku-siku dianggap sebagai bagian dari layang-layang. By avoiding the need to consider special cases, this classification can simplify some facts about kites.[9]

Sama seperti layang-layang, jajar genjang juga memiliki dua pasangan dari sisi yang sama panjang, tetapi kedua sisinya saling berhadapan daripada berdampingan. Sebarang segiempat tak berpotongan diri yang memiliki sumbu simetri pasti berupa layang-layang, dengan diagonal sisi sebagai sumbu simetrinya; atau trapesium sama kaki, dengan sumbu simetri yang melalui titik tengah dari dua sisi. Hal ini masing-masing meliputi sebagai kasus istimewa untuk belah ketupat dan persegi panjang, dan persegi, yang merupakan kasus istimewa untuk kedua-duanya.[1] Segiempat yang berpotongan diri meliputi kelas dari segiempat simetrik lainnya, seperti jajar genjang silang (antiparallelogram).[10]

Kasus istimewa

sunting
 
Right kite
 
Equidiagonal kite in a Reuleaux triangle
 
Lute of Pythagoras

The right kites have two opposite right angles.[9][10] The right kites are exactly the kites that are cyclic quadrilaterals, meaning that there is a circle that passes through all their vertices.[11] The cyclic quadrilaterals may equivalently defined as the quadrilaterals in which two opposite angles are supplementary (they add to 180°); if one pair is supplementary the other is as well.[8] Therefore, the right kites are the kites with two opposite supplementary angles, for either of the two opposite pairs of angles. Because right kites circumscribe one circle and are inscribed in another circle, they are bicentric quadrilaterals (actually tricentric, as they also have a third circle externally tangent to the extensions of their sides).[10] If the sizes of an inscribed and a circumscribed circle are fixed, the right kite has the largest area of any quadrilateral trapped between them.[12]

Among all quadrilaterals, the shape that has the greatest ratio of its perimeter to its diameter is an equidiagonal kite with angles 60°, 75°, 150°, 75°. Its four vertices lie at the three corners and one of the side midpoints of the Reuleaux triangle.[13][14] When an equidiagonal kite has side lengths less than or equal to its diagonals, like this one or the square, it is one of the quadrilaterals with the greatest ratio of area to diameter.[15]

A kite with three 108° angles and one 36° angle forms the convex hull of the lute of Pythagoras, a fractal made of nested pentagrams.[16] The four sides of this kite lie on four of the sides of a regular pentagon, with a golden triangle glued onto the fifth side.[10]

Sifat

sunting

Pengubinan dan polihedron

sunting

Biliar outer

sunting

Rujukan

sunting
  1. ^ a b c Halsted, George Bruce (1896), "Chapter XIV. Symmetrical Quadrilaterals", Elementary Synthetic Geometry, J. Wiley & sons, hlm. 49–53 
  2. ^ Goormaghtigh, R. (1947), "Orthopolar and isopolar lines in the cyclic quadrilateral", The American Mathematical Monthly, 54 (4): 211–214, doi:10.1080/00029890.1947.11991815, JSTOR 2304700, MR 0019934 
  3. ^ See H. S. M. Coxeter's review of (Grünbaum 1960) in MR0125489: "It is unfortunate that the author uses, instead of 'kite', the name 'deltoid', which belongs more properly to a curve, the three-cusped hypocycloid."
  4. ^ Roebyanto, Goenawan (2014), Geometri Pengukuran dan Statistika, hlm. 19, ISBN 978-602-1223-13-0 
  5. ^ Rochajati, Siti; Astutik, Kasni (2020), "Pengetahuan, Sikap, dan Keyakinan Guru Sekolah Dasar Terhadap Pembelajaran Geometri", Jurnal Penelitian Didaktik Matematika, 4 (2), ISSN 2656-5544 
  6. ^ a b c d De Villiers, Michael (2009), Some Adventures in Euclidean Geometry, hlm. 16, 55, ISBN 978-0-557-10295-2 
  7. ^ Szecsei, Denise (2004), The Complete Idiot's Guide to Geometry, Penguin, hlm. 290–291, ISBN 9781592571833 
  8. ^ a b Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer (2008), The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition, Information Age Publishing, hlm. 49–52, 63–67 
  9. ^ a b De Villiers, Michael (February 1994), "The role and function of a hierarchical classification of quadrilaterals", For the Learning of Mathematics, 14 (1): 11–18, JSTOR 40248098 
  10. ^ a b c d Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2020), "Section 3.4: Kites", A Cornucopia of Quadrilaterals, The Dolciani Mathematical Expositions, 55, Providence, Rhode Island: MAA Press and American Mathematical Society, hlm. 73–78, ISBN 978-1-4704-5312-1, MR 4286138 ; see also antiparallelograms, p. 212
  11. ^ Gant, P. (1944), "A note on quadrilaterals", The Mathematical Gazette, 28 (278): 29–30, doi:10.2307/3607362, JSTOR 3607362 
  12. ^ Josefsson, Martin (2012), "Maximal area of a bicentric quadrilateral" (PDF), Forum Geometricorum, 12: 237–241, MR 2990945 
  13. ^ Ball, D. G. (1973), "A generalisation of  ", The Mathematical Gazette, 57 (402): 298–303, doi:10.2307/3616052, JSTOR 3616052 
  14. ^ Griffiths, David; Culpin, David (1975), "Pi-optimal polygons", The Mathematical Gazette, 59 (409): 165–175, doi:10.2307/3617699, JSTOR 3617699 
  15. ^ Audet, Charles; Hansen, Pierre; Svrtan, Dragutin (2021), "Using symbolic calculations to determine largest small polygons", Journal of Global Optimization, 81 (1): 261–268, doi:10.1007/s10898-020-00908-w, MR 4299185 
  16. ^ Darling, David (2004), The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes, John Wiley & Sons, hlm. 260, ISBN 9780471667001 

Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "alexander-koeberlein" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "beamer" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "bern-eppstein" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "charter-rogers" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "chazelle-karntikoon-zheng" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "crux" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "dunham-lindgren-witte" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "eves" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "fathauer" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "gardner" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "grunbaum" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "henrici" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "jepsen-sedberry-hoyer" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "josefsson-when" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "kasimitis-stein" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "kirby-umble" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "liberman" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "nuncius" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "robertson" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "sakano-akama" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "schattschneider" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "schwartz-monograph" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "schwartz-unbounded" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "smkg" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "thurston" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.

Kesalahan pengutipan: Tag <ref> dengan nama "wheeler" yang didefinisikan di <references> tidak digunakan pada teks sebelumnya.
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/w/index.php?title=Pengguna:Dedhert.Jr/Uji_halaman_01/23&oldid=23448622"