Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 15

Sejarah

Bilangan real

(\mathbb {R} )

berisi bilangan rasional

(\mathbb {Q} )

, dan bilangan rasional berisi bilangan bulat

(\mathbb {Z} )

, dan bilangan bulat berisi bilangan asli

(\mathbb {N} )

.

Sekitar 1000 SM, bangsa Mesir menggunakan pecahan sederhana. Di zaman Weda, kitab sutra yang berjudul Shulba Sutras mencantum pemakaian bilangan irasional pertama kalinya, dan konsep irasionalitas diterima secara langsung oleh matematikawan berkebangsaan India. Manava (750–690 SM) adalah seorang matematikawan India yang mengetahui bahwa akar kuadrat dari bilangan tertentu, seperti 2 dan 61, tidak dapat ditentukan dengan tepat.^[1] Sekitar 500 SM, matematikawan Yunani dan Pythagoras juga mengetahui bahwa akar kuadrat dari 2 adalah irasional.

Pada abad pertengahan, bilangan-bilangan seperti nol, bilangan negatif, bilangan bulat, dan bilangan pecahan pertama kali dipakai oleh matematikawan India dan Tiongkok. Bilangan-bilangan tersebut kemudian dipakai oleh matematikawan Arab, yang pertama kali memperlakukan bilangan irasional sebagai objek aljabar, yang memungkinkan juga sebagai penemuan aljabar.^[2] Matematikawan Arab menggabungkan konsep bilangan dan magnitudo (besaran) menjadi gagasan bilangan real yang lebih umum.^[3] Matematikawan Mesir Abū Kāmil Shujā ibn Aslam adalah tokoh yang pertama kali menerima bilangan irasional sebagai solusi persamaan kuadrat, atau sebagai koefisien dalam suatu persamaan (yang seringkali dalam bentuk akar kuadrat, akar kubik, dan akar pangkat empat).^[4]

Pada abad ke-16, Simon Stevin menciptakan basis untuk notasi desimal yang modern, dan menegaskan bahwa tidak ada perbedaan antara bilangan rasional dan bilangan irasional.

Pada abad ke-17, Descartes memperkenalkan istilah "real" (atau "riil") untuk menjelaskan akar polinomial, serta digunakan untuk membedakannya dengan bilangan "imajiner".

Pada abad ke-18 dan ke-19, banyak matematikawan yang mengerjakan bilangan irasional dan bilangan transendental. Lambert (1761) memberikan bukti yang cacat bahwa $π$ tak dapat menjadi rasional, dan bukti itu disempurnakan oleh Legendre (1794)^[5] sekaligus memperlihatkan bahwa $π$ bukanlah akar kuadrat dari suatu bilangan rasional.^[6] Liouville (1840) memperlihatkan bahwa $e$ atau $e 2$ tidak dapat menjadi akar persamaan kuadrat berupa bilangan bulat. Liouville kemudian membuktikan keberadaan bilangan transendental, dan Cantor (1873) memperluas sekaligus menyederhanakan bukti tersebut.^[7] Hermite (1873) membuktikan bahwa $e$ adalah transendental. Lindemann (1882) juga membuktikan bahwa $π$ adalah transendental, dan bukti miliknya disederhanakan oleh Weierstrass (1885), Hilbert (1893), Hurwitz,^[8] dan Gordan.^[9]

Kalkulus dikembangkan dengan menggunakan bilangan riil tanpa harus mendefinisikannya secara rigorous. Definisi rigorous pertama diterbitkan oleh Cantor di tahun 1871. Pada tahun 1874, Cantor memperlihatkan bahwa himpunan dari semua bilangan riil adalah uncountably infinite, tetapi himpunan dari semua bilangan aljabar adalah countably infinite. Bukti ketaktercacahan Cantor pertama berbeda dengan buktinya yang terkenal, bukti argumen diagonal, yang diterbitkan di tahun 1891.

^ T. K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", pp. 410–11. In: Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, ed. (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1 .
^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Arabic mathematics: forgotten brilliance?", Arsip Sejarah Matematika MacTutor, Universitas St Andrews .
^ Matvievskaya, Galina (1987), "The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics", Annals of the New York Academy of Sciences, 500 (1): 253–77 [254], Bibcode:1987NYASA.500..253M, doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x
^ Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", hlm. 148, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1
^ Beckmann, Petr (1971). A History of $π$ (PI) . St. Martin's Press. hlm. 170.
^ Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2001), Pi Unleashed, Springer, hlm. 192, ISBN 978-3-540-66572-4, diakses tanggal 2015-11-15 .
^ Dunham, William (2015), The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton University Press, hlm. 127, ISBN 978-1-4008-6679-3, diakses tanggal 2015-02-17, Cantor found a remarkable shortcut to reach Liouville's conclusion with a fraction of the work
^ Hurwitz, Adolf (1893). "Beweis der Transendenz der Zahl e". Mathematische Annalen (43): 134–35.
^ Gordan, Paul (1893). "Transcendenz von e und π". Mathematische Annalen. 43 (2–3): 222–224. doi:10.1007/bf01443647.

[1] T. K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", pp. 410–11. In: Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, ed. (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1 .

[2] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Arabic mathematics: forgotten brilliance?", Arsip Sejarah Matematika MacTutor, Universitas St Andrews .

[3] Matvievskaya, Galina (1987), "The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics", Annals of the New York Academy of Sciences, 500 (1): 253–77 [254], Bibcode:1987NYASA.500..253M, doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x

[4] Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", hlm. 148, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1

[5] Beckmann, Petr (1971). A History of $π$ (PI) . St. Martin's Press. hlm. 170.

[6] Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2001), Pi Unleashed, Springer, hlm. 192, ISBN 978-3-540-66572-4, diakses tanggal 2015-11-15 .

[7] Dunham, William (2015), The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton University Press, hlm. 127, ISBN 978-1-4008-6679-3, diakses tanggal 2015-02-17, Cantor found a remarkable shortcut to reach Liouville's conclusion with a fraction of the work

[8] Hurwitz, Adolf (1893). "Beweis der Transendenz der Zahl e". Mathematische Annalen (43): 134–35.

[9] Gordan, Paul (1893). "Transcendenz von e und π". Mathematische Annalen. 43 (2–3): 222–224. doi:10.1007/bf01443647.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]