Perkalian Cauchy

Dalam matematika, tepatnya di ranah analisis matematika, perkalian Cauchy adalah konvolusi diskret atas dua dua deret tak hingga. Nama perkalian tersebut diambil dari Augustin-Louis Cauchy, seorang matematikawan Prancis.

Definisi

Perkalian Cauchy dapat digunakan pada deret tak hingga atau deret pangkat. Ketika digunakan pada barisan terhitung atau deret terhitung, perkalian tersebut dapat dikatakan sebagai bentuk perkalian antara dua deret dengan koefisien terhitung bukan nol.

Untuk konvergensi, penjelasannya ada di bagian bawah

Perkalian Cauchy atas dua deret tak hingga

Misalnya, ${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ dan ${\textstyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{j}}$ adalah dua deret tak hingga dengan suku kompleks. Apabila menerapkan perkalian Cauchy pada dua deret tersebut, hasilnya adalah sebagai berikut:

$\left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$     dengan     $c_{k}=\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}$.

Perkalian Cauchy atas dua deret pangkat

Misalnya, terdapat dua deret pangkat

$\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}$     dan     $\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}$

Di dua deret di atas, $\{a_{i}\}$ dan $\{b_{j}\}$ adalah koefisien kompleks. Apabila menerapkan perkalian Cauchy, hasilnya adalah sebagai berikut:

$\left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}x^{k}$     dengan     $c_{k}=\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}$.