Persamaan Klein-Gordon dapat ditulis dalam beberapa notasi, termasuk notasi vektor empat
dibawah adalah kedua persamaan Klein-Gordon yang sering ditemui.
Persamaan Klein-Gordon menggunakan satuan natural dengan notasi matrix
η
μ
ν
=
diag
(
±
1
,
∓
1
,
∓
1
,
∓
1
)
{\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(\pm 1,\mp 1,\mp 1,\mp 1)}
Posisi Ruang
x
=
(
c
t
,
x
)
{\displaystyle x=(ct,\mathbf {x} )}
Transformasi Fourier
ω
=
E
/
ℏ
,
k
=
p
/
ℏ
{\displaystyle \omega =E/\hbar ,\quad \mathbf {k} =\mathbf {p} /\hbar }
Momentum Ruang
p
=
(
E
/
c
,
p
)
{\displaystyle p=(E/c,\mathbf {p} )}
Notasi normal
(
1
c
2
∂
2
∂
t
2
−
∇
2
+
m
2
c
2
ℏ
2
)
ψ
(
t
,
x
)
=
0
{\displaystyle \left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi (t,\mathbf {x} )=0}
ψ
(
t
,
x
)
=
∫
d
ω
2
π
ℏ
∫
d
3
k
(
2
π
ℏ
)
3
e
∓
i
(
ω
t
−
k
⋅
x
)
ψ
(
ω
,
k
)
{\displaystyle \psi (t,\mathbf {x} )=\int {\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi \hbar }}\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}k}{(2\pi \hbar )^{3}}}\,e^{\mp i(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} )}\psi (\omega ,\mathbf {k} )}
E
2
=
p
2
c
2
+
m
2
c
4
{\displaystyle E^{2}=\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}
Notasi vektor-empat
(
◻
+
μ
2
)
ψ
(
x
)
=
0
,
μ
=
m
c
/
ℏ
{\displaystyle (\Box +\mu ^{2})\psi (x)=0,\quad \mu =mc/\hbar }
ψ
(
x
)
=
∫
d
4
p
(
2
π
ℏ
)
4
e
−
i
p
⋅
x
/
ℏ
ψ
(
p
)
{\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi \hbar )^{4}}}e^{-ip\cdot x/\hbar }\psi (p)}
p
2
=
±
m
2
c
2
{\displaystyle p^{2}=\pm m^{2}c^{2}}
Dengan,
◻
=
±
η
μ
ν
∂
μ
∂
ν
{\displaystyle \Box =\pm \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }}
d'Alembert dan
∇
2
{\displaystyle \nabla ^{2}}
Operator Laplace . Dengan kecepatan cahaya
c
{\displaystyle c}
konstanta planck
ℏ
{\displaystyle \hbar }
kesepakatan satuan dimana
c
=
ℏ
=
1
{\displaystyle c=\hbar =1}
Dalam relativitas umum, kami memasukkan efek gravitasi dengan mengganti parsial dengan turunan kovarian, dan persamaan Klein–Gordon menjadi (dalam tanda sebagian besar plus)
0
=
−
g
μ
ν
∇
μ
∇
ν
ψ
+
m
2
c
2
ℏ
2
ψ
=
−
g
μ
ν
∇
μ
(
∂
ν
ψ
)
+
m
2
c
2
ℏ
2
ψ
=
−
g
μ
ν
∂
μ
∂
ν
ψ
+
g
μ
ν
Γ
σ
μ
ν
∂
σ
ψ
+
m
2
c
2
ℏ
2
ψ
,
{\displaystyle {\begin{aligned}0&=-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }(\partial _{\nu }\psi )+{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi \\&=-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\psi +g^{\mu \nu }\Gamma ^{\sigma }{}_{\mu \nu }\partial _{\sigma }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi ,\end{aligned}}}
Atau bisa ditulis dengan,
−
1
−
g
∂
μ
(
g
μ
ν
−
g
∂
ν
ψ
)
+
m
2
c
2
ℏ
2
ψ
=
0
,
{\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\partial _{\nu }\psi \right)+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0,}
Dimana gαβ invers metrik dari tensor metrik , g adalah determinan dari tensor metrik, ∇μ adalah turunan kovarian , dan Γσ μν adalah Simbol Christoffel
Halaman ini belum sempurna, dan masih menggunakan beberapa kata dari halaman wikipedia berbahasa inggris
Beberapa koevisien dan konstanta masih belum terbuat halaman independen nya. 
