Persamaan beda rasional

Sebuah persamaan beda rasional adalah persamaan beda nonlinear dalam bentuk^[1]^[2]^[3]^[4]

x_{n+1}={\frac {\alpha +\sum _{i=0}^{k}\beta _{i}x_{n-i}}{A+\sum _{i=0}^{k}B_{i}x_{n-i}}}~,

dimana kondisi awal $x_{0},x_{-1},\dots ,x_{-k}$ sedemikian rupa sehingga penyebut tidak pernah hilang untuk $n$ apa-pun.

Persamaan beda rasional urutan pertama

Sebuah persamaan beda rasional urutan pertama adalah persamaan beda nonlinear dari bentuk

w_{t+1}={\frac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}.

Bila $a,b,c,d$ dan kondisi awal $w_{0}$ adalah bilangan real, maka persamaan beda ini disebut sebagai persamaan beda Riccati.^[3]

Persamaan tersebut diselesaikan dengan menulis $w_{t}$ sebagai transformasi nonlinear dari variabel lain $x_{t}$ yang berkembang secara linear. Kemudian metode standar dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan beda linear pada $x_{t}$ .

Persamaan bentuk ini muncul dari masalah tangga resistor tak-hingga.^[5]^[6]

Memecahkan persamaan urutan pertama

Pendekatan pertama

Pendekatan pertama^[7] untuk mengembangkan variabel yang diubah $x_{t}$ , ketika $ad-bc\neq 0$ ditulis sebagai

y_{t+1}=\alpha -{\frac {\beta }{y_{t}}}

dimana $\alpha =(a+d)/c$ dan $\beta =(ad-bc)/c^{2}$ dan dimana $w_{t}=y_{t}-d/c$ .

Penulisan lebih lanjut $y_{t}=x_{t+1}/x_{t}$ ditampilkan sebagai hasil

x_{t+2}-\alpha x_{t+1}+\beta x_{t}=0.

Pendekatan kedua

Pendekatan ini^[8] diberikan persamaan perbedaan urutan pertama untuk $x_{t}$ alih-alih persamaan urutan kedua, untuk kasus dimana $(d-a)^{2}+4bc$ bukanlah negatif. Tulis sebagai $x_{t}=1/(\eta +w_{t})$ diimplikasikan $w_{t}=(1-\eta x_{t})/x_{t}$ , dimana $\eta$ yang diberikan oleh $\eta =(d-a+r)/2c$ dan dimana $r={\sqrt {(d-a)^{2}+4bc}}$ . Maka dapat ditunjukkan bahwa $x_{t}$ dievolusikan sebagai

x_{t+1}=\left({\frac {d-\eta c}{\eta c+a}}\right)x_{t}+{\frac {c}{\eta c+a}}.

Pendekatan ketiga

Persamaan

w_{t+1}={\frac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}

juga dapat diselesaikan dengan melakukan sebagai kasus khusus dari persamaan matriks lebih umum

X_{t+1}=-(E+BX_{t})(C+AX_{t})^{-1},

dimana semua A, B, C, E, dan X adalah matriks n×n (dalam hal ini n=1); solusinya adalah^[9]

X_{t}=N_{t}D_{t}^{-1}

dimana

{\begin{pmatrix}N_{t}\\D_{t}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-B&-E\\A&C\end{pmatrix}}^{t}{\begin{pmatrix}X_{0}\\I\end{pmatrix}}.

Aplikasi

Hal ini ditunjukkan^[10] bahwa matriks persamaan Riccati dinamis dari bentuk

H_{t-1}=K+A'H_{t}A-A'H_{t}C(C'H_{t}C)^{-1}C'H_{t}A,

yang dapat muncul pada beberapa masalah kontrol optimal waktu-diskrit, bisa diselesaikan dengan menggunakan pendekatan kedua diatas jika matriks C hanya memiliki satu baris lebih banyak daripada kolom.

Referensi

^ Skellam, J.G. (1951). “Random dispersal in theoretical populations”, Biometrika 38 196−218, eqns (41,42)
^ Camouzis, Elias; Ladas, G. (November 16, 2007). Dynamics of Third-Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures. CRC Press. ISBN 9781584887669 – via Google Books.
^ ^a ^b Kulenovic, Mustafa R. S.; Ladas, G. (July 30, 2001). Dynamics of Second Order Rational Difference Equations: With Open Problems and Conjectures. CRC Press. ISBN 9781420035384 – via Google Books.
^ Newth, Gerald, "World order from chaotic beginnings", Mathematical Gazette 88, March 2004, 39-45 gives a trigonometric approach.
^ "Equivalent resistance in ladder circuit". Stack Exchange. Diakses tanggal 21 Februari 2022.
^ "Thinking Recursively: How to Crack the Infinite Resistor Ladder Puzzle!". Youtube. Diakses tanggal 21 Februari 2022.
^ Brand, Louis, "A sequence defined by a difference equation," American Mathematical Monthly 62, September 1955, 489–492. online
^ Mitchell, Douglas W., "An analytic Riccati solution for two-target discrete-time control," Journal of Economic Dynamics and Control 24, 2000, 615–622.
^ Martin, C. F., and Ammar, G., "The geometry of the matrix Riccati equation and associated eigenvalue method," in Bittani, Laub, and Willems (eds.), The Riccati Equation, Springer-Verlag, 1991.
^ Balvers, Ronald J., and Mitchell, Douglas W., "Reducing the dimensionality of linear quadratic control problems," Journal of Economic Dynamics and Control 31, 2007, 141–159.

Bacaan lebih lanjut

Simons, Stuart, "A non-linear difference equation," Mathematical Gazette 93, November 2009, 500-504.

[1] Skellam, J.G. (1951). “Random dispersal in theoretical populations”, Biometrika 38 196−218, eqns (41,42)

[2] Camouzis, Elias; Ladas, G. (November 16, 2007). Dynamics of Third-Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures. CRC Press. ISBN 9781584887669 – via Google Books.

[Ladas-Kulenovic-3] Kulenovic, Mustafa R. S.; Ladas, G. (July 30, 2001). Dynamics of Second Order Rational Difference Equations: With Open Problems and Conjectures. CRC Press. ISBN 9781420035384 – via Google Books.

[4] Newth, Gerald, "World order from chaotic beginnings", Mathematical Gazette 88, March 2004, 39-45 gives a trigonometric approach.

[5] "Equivalent resistance in ladder circuit". Stack Exchange. Diakses tanggal 21 Februari 2022.

[6] "Thinking Recursively: How to Crack the Infinite Resistor Ladder Puzzle!". Youtube. Diakses tanggal 21 Februari 2022.

[7] Brand, Louis, "A sequence defined by a difference equation," American Mathematical Monthly 62, September 1955, 489–492. online

[8] Mitchell, Douglas W., "An analytic Riccati solution for two-target discrete-time control," Journal of Economic Dynamics and Control 24, 2000, 615–622.

[9] Martin, C. F., and Ammar, G., "The geometry of the matrix Riccati equation and associated eigenvalue method," in Bittani, Laub, and Willems (eds.), The Riccati Equation, Springer-Verlag, 1991.

[10] Balvers, Ronald J., and Mitchell, Douglas W., "Reducing the dimensionality of linear quadratic control problems," Journal of Economic Dynamics and Control 31, 2007, 141–159.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]