Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz

Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, atau dikenal juga sebagai pertidaksamaan Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz, adalah salah satu pertidaksamaan yang sangat penting dan seringkali dipakai dalam matematika.

Pertidaksamaan untuk penjumlahan diterbitkan oleh Augustin-Louis Cauchy (1821), sedangkan pertidaksamaan untuk integral pertama kali dibuktikan oleh Viktor Bunyakovsky (1859) dan Hermann Amandus Schwarz (1888). Bukti modern untuk versi integral diberikan oleh Schwarz.

Pernyataan pertidaksamaan

Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz mengatakan bahwa untuk semua vektor $\mathbf {u}$ dan $\mathbf {v}$ dari ruang hasil kali dalam berlaku benar bahwa

$\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,$

(Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz [yang ditulis hanya menggunakan hasil kali dalam])

dengan $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ adalah hasil kali dalam. Setiap hasil kali dalam menimbulkan norma, yang disebut sebagai norma terimbas dengan norma dari vektor $\mathbf {u}$ dinyatakan dan didefinisikan dengan:

$$\|\mathbf {u} \|:={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }}$$

sehingga norma dan hasil kali dalam tersebut berkaitan dengan mendefinisikan syarat bahwa $\|\mathbf {u} \|^{2}=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle ,$ dengan $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle$ selalu bernilai real non-negatif (bahkan jika hasil kali dalamnya bernilai kompleks). Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, pertidaksamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih familiar:

$|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |\leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|.$

(Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz [yang ditulis menggunakan norma dan hasil kali dalam])

Terlebih lagi, kedua ruas tersebut akan sama jika dan hanya jika $\mathbf {u}$ dan $\mathbf {v}$ adalah vektor yang tergantung linear.

Kasus istimewa

Lema Sadrayakan untuk bilangan real positif

Pertidaksamaan Sedrakyan, atau disebut pertidaksamaan Bergström, bentuk Engel, lema T2, atau lema Titu, mengatakan bahwa untuk bilangan real positif:

$${\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{n}v_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}\quad {\text{atau}}\quad {\frac {u_{1}^{2}}{v_{1}}}+{\frac {u_{2}^{2}}{v_{2}}}+\cdots +{\frac {u_{n}^{2}}{v_{n}}}\geq {\frac {\left(u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}\right)^{2}}{v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n}}}.$$

Pertidaksamaan ini merupakan akibat langsung dari pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, yang diperoleh dengan menggunakan hasil kali bintik di $\mathbb {R} ^{n}$ dengan memasukkan

$$u_{i}'={\frac {u_{i}}{\sqrt {v_{i}}}}{\text{ dan }}v_{i}'={\sqrt {v_{i}}}.$$

Bentuk ini sangat berguna saat pertidaksamaan tersebut melibatkan pecahan yang mempunyai pembilang berupa bilangan kuadrat.

Ruang Euklides dimensi-n

Dalam ruang Euklides $\mathbb {R} ^{n}$ dengan hasil kali dalam standar, yaitu hasil kali bintik, pertidaksamaan Cauchy–Schwarz ditulis sebagai

$$\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right)$$

Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz dapat dibuktikan dengan menggunakan gagasan aljabar elementer. Misalkan polinomial kuadrat di $x$ di bawah berikut adalah:

$$0\leq (u_{1}x+v_{1})^{2}+\cdots +(u_{n}x+v_{n})^{2}=\left(\sum u_{i}^{2}\right)x^{2}+2\left(\sum u_{i}v_{i}\right)x+\sum v_{i}^{2}.$$

Pertidaksamaan tersebut setidaknya mempunyai satu buah solusi real untuk $x,$ sebab nilainya tak negatif. Karena itu, diskriminan dari polinomial lebih kecil daripada sama dengan nol, dalam artian,

$$\left(\sum _{i}u_{i}v_{i}\right)^{2}-\left(\sum _{i}{u_{i}^{2}}\right)\left(\sum _{i}{v_{i}^{2}}\right)\leq 0,$$

Ruang kompleks bidang-n

Jika $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$ dengan $\mathbf {u} =(u_{1},\dots ,u_{n})$ dan $\mathbf {v} =(v_{1},\dots ,v_{n})$, dan $u_{1},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {C}$ dan $v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {C}$; serta jika hasil kali dalam di ruang vektor $\mathbb {C} ^{n}$merupakan hasil kali dalam kompleks kanonis (yang didefinisikan dengan $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle :=u_{1}{\overline {v_{1}}}+\cdots +u_{n}{\overline {v_{n}}},$ dengan notasi bar pada rumus tersebut melambangkan konjugasi sekawan), maka terdapat sebuah pertidaksamaan yang dapat dinyatakan lebih eksplisit sebagai berikut:

$$\left|\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\bar {v}}_{i}\right|^{2}\leq \sum _{j=1}^{n}|u_{j}|^{2}\sum _{k=1}^{n}|v_{k}|^{2},$$

atau dengan kata lain,

$$|u_{1}{\bar {v}}_{1}+\cdots +u_{n}{\bar {v}}_{n}|^{2}\leq (|u_{1}|^{2}+\cdots +|u_{n}|^{2})(|v_{1}|^{2}+\cdots +|v_{n}|^{2}).$$

L²

Untuk hasil kali dalam dari fungsi bernilai kompleks terintegralkan kuadrat, didapat pertidaksamaan berikut

$\left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\overline {g(x)}}\,dx\right|^{2}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|^{2}\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}|g(x)|^{2}\,dx.$

Pertidaksamaan di atas ini dapat diperumum menjadi pertidaksamaan Hölder.

Lihat pula

• Pertidaksamaan Bessel – Pertidaksamaan yang digunakan dalam banyak pengaturan berbeda, seperti aljabar linier, analisis, teori probabilitas, aljabar vektor, dan bidang lainnya. Ini dianggap sebagai salah satu pertidaksamaan yang paling penting
• Pertidaksamaan Hölder – Pertidaksamaan yang digunakan dalam banyak pengaturan berbeda, seperti aljabar linier, analisis, teori probabilitas, aljabar vektor, dan bidang lainnya. Ini dianggap sebagai salah satu pertidaksamaan yang paling penting
• Pertidaksamaan Jensen
• Pertidaksamaan Kunita–Watanabe – Pertidaksamaan yang digunakan dalam banyak pengaturan berbeda, seperti aljabar linier, analisis, teori probabilitas, aljabar vektor, dan bidang lainnya. Ini dianggap sebagai salah satu pertidaksamaan yang paling penting
• Pertidaksamaan Minkowski – Pertidaksamaan yang digunakan dalam banyak pengaturan berbeda, seperti aljabar linier, analisis, teori probabilitas, aljabar vektor, dan bidang lainnya. Ini dianggap sebagai salah satu pertidaksamaan yang paling penting
• Pertidaksamaan Paley–Zygmund – Pertidaksamaan yang digunakan dalam banyak pengaturan berbeda, seperti aljabar linier, analisis, teori probabilitas, aljabar vektor, dan bidang lainnya. Ini dianggap sebagai salah satu pertidaksamaan yang paling penting

Referensi

• Aldaz, J. M.; Barza, S.; Fujii, M.; Moslehian, M. S. (2015), "Advances in Operator Cauchy—Schwarz inequalities and their reverses", Annals of Functional Analysis, 6 (3): 275–295, doi:10.15352/afa/06-3-20 
• Bunyakovsky, Viktor (1859), "Sur quelques inegalités concernant les intégrales aux différences finies" (PDF), Mem. Acad. Sci. St. Petersbourg, 7 (1): 6 
• Cauchy, A.-L. (1821), "Sur les formules qui résultent de l'emploie du signe et sur > ou <, et sur les moyennes entre plusieurs quantités", Cours d'Analyse, 1er Partie: Analyse Algébrique 1821; OEuvres Ser.2 III 373-377 
• Dragomir, S. S. (2003), "A survey on Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz type discrete inequalities", Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 4 (3): 142 pp, diarsipkan dari versi asli tanggal 2008-07-20 
• Grinshpan, A. Z. (2005), "General inequalities, consequences, and applications", Advances in Applied Mathematics, 34 (1): 71–100, doi:10.1016/j.aam.2004.05.001  
• Templat:Halmos A Hilbert Space Problem Book 1982
• Kadison, R. V. (1952), "A generalized Schwarz inequality and algebraic invariants for operator algebras", Annals of Mathematics, 56 (3): 494–503, doi:10.2307/1969657, JSTOR 1969657 .
• Lohwater, Arthur (1982), Introduction to Inequalities, Online e-book in PDF format 
• Paulsen, V. (2003), Completely Bounded Maps and Operator Algebras, Cambridge University Press .
• Schwarz, H. A. (1888), "Über ein Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung" (PDF), Acta Societatis Scientiarum Fennicae, XV: 318 
• Solomentsev, E. D. (2001) [1994], "Cauchy inequality", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Steele, J. M. (2004), The Cauchy–Schwarz Master Class, Cambridge University Press, ISBN 0-521-54677-X