Perubahan basis

Dalam aljabar linear, basis terurut memungkinkan setiap elemen pada sebarang ruang vektor berdimensi $n$ dinyatakan dalam bentuk vektor koordinat, yakni suatu barisan $n$ -skalar yang disebut [koordinat]. Untuk dua basis berbeda dari suatu ruang vektor, vektor koordinat yang menyatakan elemen $v$ atas basis pertama, umumnya berbeda dengan vektor koordinat yang menyatakan elemen yang sama, namun atas basis yang kedua. Perubahan basis adalah tindakan mengubah penyataan-pernyataan matematika pada suatu basis, ke pernyataan-pernyataan yang sepadan pada basis yang lain.^[1]^[2]^[3]

Perubahan basis tersebut dihasilkan dari rumus perubahan-basis yang menyatakan koordinat-koordinat relatif pada satu basis dalam bentuk koordinat-koordinat relatif basis yang lainnya. Menggunakan matriks, rumus ini dapat dituliskan sebagai

\mathbf {x} _{\mathrm {lama} }=\mathbf {A} \,\mathbf {x} _{\mathrm {baru} },

dengan "lama" dan "baru" masing-masing merujuk pada basis lama dan basis baru, $\mathbf {x} _{\mathrm {lama} }$ dan $\mathbf {x} _{\mathrm {baru} }$ adalah vektor kolom dari koordinat vektor yang sama menurut kedua basis, dan $\mathbf {A}$ adalah matriks perubahan-basis (juga disebut matriks transisi) yang kolom-kolomnya menyatakan koordinat vektor-vektor basis lama di basis baru.

Artikel ini fokus membahas ruang vektor dimensi hingga. Akan tetapi, banyak prinsip yang disampaikan disini juga berlaku pada ruang vektor dimensi tak-hingga.

Contoh

Misalkan kita ingin menentukan vektor koordinat pada ruang vektor Euklides $\mathbb {R} ^{2},$ yang dihasilkan dari rotasi sebesar $t.$ Ruang vektor sebelum dirotasi memiliki basis standar $\mathbf {v} _{1}=(1,0)$ dan $\mathbf {v} _{2}=(0,1);$ sebut ini sebagai basis "lama". Setelah ruang vektor dirotasi, setiap elemen dalam basis tersebut ikut berotasi, dan berubah menjadi $\mathbf {w} _{1}=(\cos t,\,\sin t)$ dan $\mathbf {w} _{2}=(-\sin t,\,\cos t);$ sebut ini sebagai basis "baru". Lalu, matriks perubahan basis akibat rotasi dapat dituliskan sebagai ${\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}.$ Rumus perubahan basis menyatakan bahwa, jika ${\textstyle (y_{1},\,y_{2})}$ adalah koordinat baru hasil rotasi dari vektor koordinat $(x_{1},\,x_{2}),$ maka

{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}.

Sehingga,

x_{1}=y_{1}\cos t-y_{2}\sin t\qquad {\text{dan}}\qquad x_{2}=y_{1}\sin t+y_{2}\cos t.

Hubungan tersebut dapat dibuktikan dengan menunjukkan $(x_{1},\,x_{2})$ dan ${\textstyle (y_{1},\,y_{2})}$ merujuk pada objek yang sama,

{\begin{aligned}x_{1}\mathbf {v} _{1}+x_{2}\mathbf {v} _{2}&=(y_{1}\cos t-y_{2}\sin t)\mathbf {v} _{1}+(y_{1}\sin t+y_{2}\cos t)\mathbf {v} _{2}\\&=y_{1}(\cos(t)\mathbf {v} _{1}+\sin(t)\mathbf {v} _{2})+y_{2}(-\sin(t)\mathbf {v} _{1}+\cos(t)\mathbf {v} _{2})\\&=y_{1}\mathbf {w} _{1}+y_{2}\mathbf {w} _{2}.\end{aligned}}

Rumus perubahan basis

Misalkan $B_{\mathrm {lama} }=(\mathbf {v} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {v} _{n})$ adalah basis dari suatu ruang vektor dimensi hingga $V$ atas suatu lapangan $F$ .^[a] Seorang dapat mendefinisikan $n$ elemen baru $\mathbf {w} _{j}$ (dengan $j=1,\,\dots ,\,n$ ) berdasarkan koordinat vektor tersebut $a_{i,j}$ , atas $B_{\mathrm {lama} }\colon$

\mathbf {w} _{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}.

Misalkan

\mathbf {A} =\left(a_{i,j}\right)_{i,j}

sebagai matriks yang kolom ke- $j$ -nya dibentuk dari koordinat $\mathbf {w} _{j}$ . (Di bagian ini dan seterusnya, indeks $i$ selalu digunakan untuk merujuk baris di $\mathbf {A}$ dan $\mathbf {v} _{i},$ sedangkan indeks $j$ selalu digunakan untuk merujuk kolom di $\mathbf {A}$ dan $\mathbf {w} _{j};$ konvensi ini berguna untuk menghindari kesalahan dalam perhitungan). Barisan terurut $B_{\mathrm {baru} }=(\mathbf {w} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {w} _{n})$ disebut basis dari $V$ jika dan hanya jika matriks $\mathbf {A}$ terbalikkan, atau setara dengan itu, jika determinannya tidak bernilai nol. Dalam kasus ini, $\mathbf {A}$ disebut matriks perubahan basis dari basis $B_{\mathrm {lama} }$ ke basis $B_{\mathrm {baru} }$ .

Untuk sebarang elemen $\mathbf {z} \in V,$ misalkan $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ adalah koordinat $\mathbf {z}$ atas $B_{\mathrm {lama} }$ , dan $(y_{1},\ldots ,y_{n})$ adalah koordinatnya atas $B_{\mathrm {baru} }$ , kita memiliki hubungan $\mathbf {z} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {v} _{i}=\sum _{j=1}^{n}y_{j}\mathbf {w} _{j}.$ Dengan menjabarkan hubungan tersebut, ${\begin{aligned}\mathbf {z} &=\sum _{j=1}^{n}y_{j}\mathbf {w} _{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(y_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\right)\mathbf {v} _{i}.\end{aligned}}$ kita dapatkan $x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\qquad {\text{untuk }}i=1,\,\ldots ,\,n.$ Dalam bentuk matriks, rumus perubahan basis adalah $\mathbf {x} =\mathbf {A} \,\mathbf {y} ,$ dengan $\mathbf {x}$ dan $\mathbf {y}$ masing-masing adalah vektor kolom dari koordinat $\mathbf {z}$ atas s $B_{\mathrm {lama} }$ dan atas $B_{\mathrm {baru} }$ .

Catatan kaki

^ Walaupun basis umumnya dinyatakan sebagai himpunan elemen (sebagai contoh, sebagai himpunan merentang (spanning) yang saling bebas linear), notasi rangkap (tuple) nyaman digunakan karena membuat basis sebagai sebuah basis terurut, yang selanjutnya membuat konsep koordinat lebih mudah digunakan.