Dalam aljabar linear, basis terurut memungkinkan setiap elemen pada sebarang ruang vektor berdimensi dinyatakan dalam bentuk vektor koordinat, yakni suatu barisan -skalar yang disebut [koordinat]. Untuk dua basis berbeda dari suatu ruang vektor, vektor koordinat yang menyatakan elemen atas basis pertama, umumnya berbeda dengan vektor koordinat yang menyatakan elemen yang sama, namun atas basis yang kedua. Perubahan basis adalah tindakan mengubah penyataan-pernyataan matematika pada suatu basis, ke pernyataan-pernyataan yang sepadan pada basis yang lain.[1][2][3]

Ruang vektor pada yang dibangun dari basis berisi vektor-vektor berwarna ungu, dapat dibangun pula dari basis berisi vektor-vektor berwarna merah. Dengan menyusun setiap vektor berwarna ungu menjadi kombinasi linear vektor-vektor berwarna merah (dan sebaliknya), pernyataan yang disampaikan menggunakan basis ungu juga dapat disampaikan menggunakan basis merah (dan sebaliknya).

Perubahan basis tersebut dihasilkan dari rumus perubahan-basis yang menyatakan koordinat-koordinat relatif pada satu basis dalam bentuk koordinat-koordinat relatif basis yang lainnya. Menggunakan matriks, rumus ini dapat dituliskan sebagai

dengan "lama" dan "baru" masing-masing merujuk pada basis lama dan basis baru, dan adalah vektor kolom dari koordinat vektor yang sama menurut kedua basis, dan adalah matriks perubahan-basis (juga disebut matriks transisi) yang kolom-kolomnya menyatakan koordinat vektor-vektor basis lama di basis baru.

Artikel ini fokus membahas ruang vektor dimensi hingga. Akan tetapi, banyak prinsip yang disampaikan disini juga berlaku pada ruang vektor dimensi tak-hingga.

Contoh

sunting

Misalkan kita ingin menentukan vektor koordinat pada ruang vektor Euklides   yang dihasilkan dari rotasi sebesar   Ruang vektor sebelum dirotasi memiliki basis standar   dan   sebut ini sebagai basis "lama". Setelah ruang vektor dirotasi, setiap elemen dalam basis tersebut ikut berotasi, dan berubah menjadi   dan   sebut ini sebagai basis "baru". Lalu, matriks perubahan basis akibat rotasi dapat dituliskan sebagai Rumus perubahan basis menyatakan bahwa, jika   adalah koordinat baru hasil rotasi dari vektor koordinat   maka

 

Sehingga,

 

Hubungan tersebut dapat dibuktikan dengan menunjukkan   dan   merujuk pada objek yang sama,

 

Rumus perubahan basis

sunting

Misalkan   adalah basis dari suatu ruang vektor dimensi hingga V atas suatu lapangan F.[a] Seorang dapat mendefinisikan   elemen baru   (dengan  ) berdasarkan koordinat vektor tersebut  , atas  

 

Misalkan

 

sebagai matriks yang kolom ke-j-nya dibentuk dari koordinat  . (Di bagian ini dan seterusnya, indeks i selalu digunakan untuk merujuk baris di   dan   sedangkan indeks j selalu digunakan untuk merujuk kolom di   dan   konvensi ini berguna untuk menghindari kesalahan dalam perhitungan). Barisan terurut   disebut basis dari V jika dan hanya jika matriks   terbalikkan, atau setara dengan itu, jika determinannya tidak bernilai nol. Dalam kasus ini,   disebut matriks perubahan basis dari basis   ke basis  .

Untuk sebarang elemen   misalkan   adalah koordinat   atas  , dan   adalah koordinatnya atas  , kita memiliki hubungan Dengan menjabarkan hubungan tersebut, kita dapatkan Dalam bentuk matriks, rumus perubahan basis adalah dengan   dan   masing-masing adalah vektor kolom dari koordinat   atas s   dan atas  .

Catatan kaki

sunting
  1. ^ Walaupun basis umumnya dinyatakan sebagai himpunan elemen (sebagai contoh, sebagai himpunan merentang (spanning) yang saling bebas linear), notasi rangkap (tuple) nyaman digunakan karena membuat basis sebagai sebuah basis terurut, yang selanjutnya membuat konsep koordinat lebih mudah digunakan.

Referensi

sunting
  1. ^ (Anton 1987, hlm. 221–237)
  2. ^ (Beauregard & Fraleigh 1973, hlm. 240–243)
  3. ^ (Nering 1970, hlm. 50–52)

Daftar pustaka

sunting
  • Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (edisi ke-2nd), New York: Wiley, LCCN 76091646 

Pranala luar

sunting