Perubahan relatif

Dalam setiap rumpun ilmu pasti, istilah perubahan relatif, beda relatif, atau selisih relatif digunakan untuk membandingkan dua besaran dengan memperhitungkan "ukuran" dari hal-hal yang akan dibandingkan, yaitu dengan membagi dengan suatu nilai awal, nilai referensi, atau nilai acuan. Hasil perbandingannya dinyatakan sebagai suatu rasio dan merupakan bilangan tanpa satuan. Jika rasionya dikalikan dengan 100, maka perubahan relatifnya dinyatakan sebagai persentase, sehingga istilah persentase perubahan, persentase selisih, atau selisih persentase relatif juga umum digunakan. Istilah "perubahan" dan "selisih" dapat digunakan secara bergantian.

Perubahan relatif seringkali digunakan sebagai indikator kuantitatif dalam kualitas asuransi dan pengendalian mutu untuk pengukuran berulang yang hasilnya diharapkan sama. Kasus khusus dari persentase perubahan (perubahan relatif, yang dinyatakan sebagai persentase) yang disebut persentase galat muncul dalam situasi pengukuran dimana nilai acuannya adalah nilai yang diterima atau nilai sebenarnya (mungkin ditentukan secara teoretis) dan nilai yang dibandingkan dengan nilai tersebut ditentukan secara eksperimental (melalui pengukuran).

Rumus perubahan relatif tidak memiliki perilaku yang baik dalam banyak kondisi.

Definisi

Jika ${\text{v}}_{\text{ref}}$ menyatakan nilai acuan dan ${\text{v}}$ adalah nilai yang akan dibandingkan, maka perubahan sebenarnya, perubahan aktual, selisih aktual, selisih sebenarnya, atau perubahan absolut ialah $$\Delta {\text{v}}={\text{v}}-{\text{v}}_{\text{ref}}$$ Istilah selisih absolut terkadang juga digunakan, walaupun nilai yang diambil bukanlah nilai mutlak; tanda $\Delta$ seringkali bersifat seragam, misalnya pada serangkaian data yang bersifat monoton naik. Jika hubungan antara nilai ${\text{v}}$ relatif terhadap nilai acuan (yaitu, lebih dari atau kurang dari) tidak menjadi masalah dalam aplikasi tertentu, maka nilai mutlak dapat digunakan sebagai pengganti dari perubahan sesungguhnya dalam rumus di atas untuk menghasilkan nilai perubahan relatif yang selalu bersifat non-negatif.

Selisih aktual seringkali bukanlah cara yang bagus untuk membandingkan bilangan, lantaran hasil akhirnya bergantung pada satuan pengukuran. Misalnya, 1 meter sama dengan 100 cm, namun beda mutlak antara 2 meter dan 1 meter ialah 1, sedangkaan beda mutlak antara 200 cm dan 100 cm ialah 100, yang memberikan kesan selisih yang lebih besar. Jika satuannya tidak berubah, perubahan relatif membantu untuk menilai pentingnya perubahan tersebut. Sebagai contoh, kenaikan harga Rp1.000 pada suatu barang akan dianggap besar apabila berubah dari Rp2.000 menjadi Rp3.000, namun akan dianggap kecil apabila berubaah dari Rp100.000 menjadi Rp101.000.

Rumus di atas dapat disesuaikan agar "ukuran" dari kuantitas yang terlibat juga diperhitungkan, dengan mendefinisikan, untuk nilai positif ${\text{v}}_{ref}$: $${\text{perubahan relatif}}={\dfrac {\text{perubahan sebenarnya}}{\text{nilai acuan}}}={\dfrac {\Delta {\text{v}}}{{\text{v}}_{\text{ref}}}}={\dfrac {\text{v}}{{\text{v}}_{\text{ref}}}}-1$$

Perubahan relatif tidak bergantung pada satuan pengukuran yang digunakan. Misalnya, perubahan relatif dari 2 meter ke 1 meter ialah -50%, sama seperti perubahan dari 200 cm ke 100 cm. Nilai dari perubahan relatif tidak terdefinisi jika nilai acuannya (yaitu ${\text{v}}_{\text{ref}}$) sama dengan 0, dan bernilai negatif untuk kenaikan positif jika nilai acuannya bernilai negatif, sehingga perubahan negatif biasanya juga tidak terdefinisi untuk nilai acuan yang negatif. Sebagai contoh, misalkan terjadi perubahan dari -10 ke -6. Dengan menggunakan rumus di atas, maka perubahan relatifnya ialah $${\dfrac {(-6)-(-10)}{-10}}={\dfrac {4}{-10}}=-0,\!4$$ yang mengindikasikan terjadinya penurunan nilai, padahal yang terjadi justru sebaliknya.

Ukuran dari perubahan relatif ialah suatu bilangan tanpa satuan yang dinyatakan sebagai pecahan. Persentase perubahan yang berpadanan dapat diperoleh dengan mengalikan nilainya dengan 100 (dan dibubuhi tanda % untuk mengindikasikan bahwa nilainya adalah persentase).

Persentase perubahan

Persentase perubahan adalah cara untuk menyatakan perubahan pada suatu variabel. Lebih tepatnya, persentase perubahan menyatakan perubahan relatif antara nilai lama dan nilai baru. Misalnya, jika suatu rumah hari ini bernilai 100 juta rupiah hari ini dan menjadi 110 juta rupiah pada tahun berikutnya, persentase perubahan dari nilai rumah tersebut dapat dicari sebagai berikut $${\text{Persentase perubahan harga}}={\dfrac {110\;{\text{juta}}-100\;{\text{juta}}}{100\;{\text{juta}}}}={\dfrac {1}{10}}=10\%$$ sehingga dapat dikatakan bahwa harga rumahnya naik sebesar 10%.

Secara umum, jika $V_{a}$ menyatakan nilai lama dan $V_{b}$ menyatakan nilai baru, maka $${\text{Persentase perubahan}}={\dfrac {V_{b}-V_{a}}{V_{a}}}\times 100\%$$

Beberapa kalkulator secara langsung mendukung hal ini melalui fungsi %CH atau Δ%.

Saat variabel yang dikaji juga merupakan persentase, maka lebih baik untuk membicarakan perubahan dari variabel tersebut menggunakan poin persentase untuk menghindari kebingungan antara selisih relatif dan selisih absolut.

Persentase galat

Persentase galat merupakan kasus khusus dari bentuk persentase dari perubahan relatif yang dihitung melalui beda mutlak antara nilai eksperimental (pengukuran) dengan nilai teoretis (yang diterima), dan kemudian dibagi dengan nilai teoretis (yang diterima). Secara matematis, maka $$\%\;{\text{Galat}}={\dfrac {\left|{\text{Eksperimental}}-{\text{Teoretis}}\right|}{\left|{\text{Teoretis}}\right|}}\times 100$$ Walaupun sudah menjadi hal yang umum untuk menggunakan nilai mutlak pada perubahan relatif saat membicarakan persentase galat, namun dalam beberapa situasi, akan lebih bermanfaat jika nilai mutlaknya dihilangkan untuk memberikan lebih banyak informasi mengenai hasilnya. Dengan demikian, jika nilai eksperimentalnya kurang dari nilai teoretis, maka persentase galatnya bernilai negatif. Hasil negatif ini memberikan informasi tambahan mengenai hasil eksperimennya. Sebagai contoh, saat menghitung kecepatan cahaya secara eksperimental dan hasil persentase galatnya bernilai negatif, artinya kecepatan yang sedang diukur lebih lambat dari kecepatan cahaya. Hal ini merupakan perbedaan yang besar dari memperoleh persentase galat positif, yang berarti kecepatan yang sedang diukur lebih cepat dari kecepatan cahaya (yang melanggar teori relativitas) dan hal tersebut layak untuk diberitakan.

Persamaan persentase galat, saat ditulis ulang dengan menghilangkan nilai mutlaknya, menjadi $$\%\;{\text{Galat}}={\dfrac {{\text{Eksperimental}}-{\text{Teoretis}}}{\left|{\text{Teoretis}}\right|}}\times 100$$ Perhatikan bahwa kedua nilai pada bagian pembilang tidak bersifat komutatif, sehinggaa penting untuk menjaga urutas seperti pada persamaan di atas: kurangi nilai teoritis dari nilai eksperimental dan bukan sebaliknya.

Contoh

Nilai aset mobil

Misalkan mobil $M$ memiliki harga $\$50.000$ dan mobil $L$ memiliki harga $\$40.000$. Jika harga mobilnya dibandingkan relatif terhadap mobil $L$, maka selisih absolutnya ialah $$\$50.000-\$40.000=\$10.000$$ Dengan kata lain, harga mobil $M$ lebih mahal $\$10.000$ dari harga mobil $L$. Selisih relatifnya ialah $${\dfrac {\$10.000}{\$40.000}}={\dfrac {1}{4}}=25\%$$ sehingga dapat dikatakan bahwa harga mobil $M$ lebih mahal 25% dari harga mobil $L$. Tidak jarang perbandingannya dinyatakan sebagai rasio, yang pada kasus ini didapatkan $${\dfrac {\$50.000}{\$40.000}}={\dfrac {5}{4}}=125\%$$ sehingga dapat dikatakan bahwa harga mobil $M$ adalah 125% dari harga mobil $L$.

Pada contoh ini, harga mobil $L$ dijadikan sebagai nilai acuan, namun analisis serupa juga dapat dilakukan apabila nilai acuannya adalah harga mobil $M$. Selisih absolutnya sekarang menjadi $$\$40.000-\$50.000=-\$10.000$$ sebab harga mobil $L$ lebih murah $\$10.000$ dibandingkan harga mobil $M$. Nilai selisih relatifnya juga bernilai negatif, $${\dfrac {-\$10.000}{\$50.000}}=-{\dfrac {1}{5}}=-20\%$$ sebab harga mobil $L$ lebih murah 20% dari harga mobil $M$. Rasio yang muncul dari perbandingan $${\dfrac {\$40.000}{\$50.000}}={\dfrac {4}{5}}=80\%$$ menyatakan bahwa harga mobil $L$ adalah 80% dari harga mobil $M$.

Persentase dari persentase

Jika suatu bank akan menaikkan tingkat suku bunga pada rekening tabungan dari 3% menjadi 4%, pernyataan bahwa "tingkat suku bunga naik sebesar 1%" termasuk keliru dan menyesatkan. Perubahan absolut pada situasi ini ialah $$1\%=4\%-3\%$$ namun perubahan relatif tingkat suku bunganya adalah $${\dfrac {4\%-3\%}{3\%}}={\dfrac {1}{3}}=33,\!{\overline {3}}\%$$

Secara umum, istilah "poin persentase" mengindikasikan perubahan absolut atau selisih absolut persentasenya, sedangkan tanda persen atau kata "persentase" merujuk kepada perubahan relatif atau selisih relatif.

Lihat juga

• Galat penghampiran
• Galat
• Koefisien variasi
• Skala logaritmik

Referensi

• (Inggris) Bennett, Jeffrey; Briggs, William (2005), Using and Understanding Mathematics: A Quantitative Reasoning Approach (edisi ke-3), Boston: Pearson, ISBN 0-321-22773-5 
• (Inggris) "Understanding Measurement and Graphing" (PDF). North Carolina State University. 2008-08-20. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2010-06-15. Diakses tanggal 2010-05-05. 
• (Inggris) "Percent Difference – Percent Error" (PDF). Illinois State University, Dept of Physics. 2004-07-20. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2019-07-13. Diakses tanggal 2010-05-05. 
• (Inggris) Törnqvist, Leo; Vartia, Pentti; Vartia, Yrjö (1985), "How Should Relative Changes Be Measured?" (PDF), The American Statistician, 39 (1): 43–46, doi:10.2307/2683905, JSTOR 2683905 
• (Inggris) Tenhunen, Lauri (1990). The CES and par production techniques, income distribution and the neoclassical theory of production (Tesis PhD). University of Tampere. https://trepo.tuni.fi/handle/10024/66781. 
• (Inggris) Vartia, Yrjö O. (1976). Relative changes and index numbers (PDF). ETLA A 4. Helsinki: Research Institute of the Finnish Economy. ISBN 951-9205-24-1. Diakses tanggal 20 November 2022.