Peta linear

pemetaan yang mempertahankan operasi penambahan dan perkalian skalar

Dalam matematika, peta linear (disebut juga pemetaan linear, transformasi linear atau, dalam konteks tertentu, fungsi linear) adalah pemetaan VW antara dua modul (misalnya, dua ruang vektor) yang mempertahankan (artinya dijelaskan di bawah) operasi penambahan dan perkalian skalar.

Kasus khusus yang penting adalah ketika V = W, di mana peta linearnya disebut endomorfisme (linear) dari V. Terkadang istilah operator linear dipakai untuk kasus ini.[1] Dalam kebiasaan yang lain, operator linear membolehkan V dan W yang berbeda, tetapi mereka harus merupakan urang vektor real.[2] Terkadang istilah fungsi linear memiliki arti yang sama dengan peta linear, sedangkan dalam geometri analitis artinya berbeda.

Sebuah peta linear selalu memetakan subruang linear ke subruang linear (mungkin dengan dimensi yang lebih rendah);[3] contohnya pemetaan sebuah bidang yang melalui titik nol ke sebuah bidang, garis lurus atau titik. Peta linear biasanya dilambangkan sebagai matriks, dan contoh sederhananya adalah transformasi linear rotasi dan pencerminan.

Dalam bahasa aljabar abstrak, sebuah peta linear merupakan sebuah homoformisme modul. Dalam bahasa teori kategori, sebuah peta linear merupakan sebuah morfisme dalam kategori modul pada sebuah gelanggang.

Definisi dan akibatnya

sunting

Misalkan   dan   adalah ruang vektor pada medan   Sebuah fungsi   disebut sebuah peta linear apabila untuk setiap dua vektor   dan untuk setiap skalar   terpenuhi dua syarat:

  aditifitas / operasi penambahan
  homogenitas derajat 1 / operasi perkalian skalar

Oleh sebab itu, sebuah peta linear disebut mempertahankan operasi. Dengan kata lain, tidak bepengaruh apakah pemetaan linear dilakukan sebelum (sisi kanan dari contoh di atas) atau setelah (sisi kiri dari contoh di atas) operasi penambahan dan perkalian skalar.

Oleh karena sifat asosiatif dari operasi penambahan, dengan operasinya disimbolkan dengan +, untuk setiap vektor   dan skalar   berlaku persamaan berikut:[4][5]

 

Dengan melambangkan unsur nol dari ruang vektor   dan   masing-masing dengan   dan  , bisa ditemukan bahwa   Misalkan   dan   dalam persamaan homogentias berderajat 1:

 

Terkadang,   dan   bisa jadi merupakan ruang vektor pada medan yang berbeda. Bila begitu, perlu dijelaskan medan yang mana yang digunakan dalam definisi "linear". Jika   dan   adalah ruang pada medan   yang sama, maka kita akan membahas peta  -linear. Misalnya, sekawan dari bilangan kompleks merupakan sebuah peta  -linear  , tapi bukan merupakanp peta  -linear, dengan   dan   masing-masing melambangkan himpunan bilangan real dan bilangan kompleks.

Sebuah peta linear   dengan   dipandang sebagai ruang vektor satu dimensi pada dirinya sendiri disebut fungsional linear.[6]

Pernyataan-pernyataan tersebut digeneralisasi menjadi modul kiri   manapun pada gelanggang   tanpa perubahan, dan menjadi modul kanan manapun ketika mengembalikan perkalian skalar.

Contoh

sunting
  • Contoh prototipikal yang melahirkan nama peta linear adalah fungsi f : RR : xcx, di mana grafiknya berbentuk garis yang melalui titik nol.[7]
  • Secara umum, semua homotetik yang berpusat di titik nol ruang vektor,   dengan c melambangkan skalar, merupakan sebuah operator linear. Ini tidak berlaku untuk modul secara umum, karena petanya mungkin hanya semilinear.
  • Peta nol x ↦ 0 di antara dua modul kiri (atau dua modul kanan) atas gelanggang yang sama selalu linear.
  • Peta identitas dari modul manapun merupakan sebuah operator linear.
  • Untuk bilangan real, peta xx2 tidak linear.
  • Untuk bilangan real, peta xx + 1 tidak linear (tapi merupakan transformasi afin; y = x + 1 adalah persamaan linear, menurut istilah yang digunakan geometri analisis.)
  • Jika A merupakan m × n matriks real, maka A mendefinisikan sebuah peta linear dari Rn ke Rm dengan cara mengirim vektor kolom xRn ke vektor kolom AxRm. Sebaliknya pula, peta linear antara ruang vektor berdimensi hingga manapun bisa direpresentasikan dengan cara ini; lihat bagian berikutnya.
  • Diferensiasi mendefinisikan sebuah peta linear dari ruang semua fungsi yang dapat diturunkan ke ruang semua fungsi. Diferensiasi juga mendefinisikan sebuah operator linear di ruang semua fungsi mulus (sebuah operator linear merupakan sebuah endomorfisme linear, artinya peta linear yang domain dan kodomainnya sama). Contohnya  .
  • Integral tertentu di suatu interval I merupakan peta linear dari ruang semua fungsi yang bernilai real yang dapat dintegralkan di I ke R. Contohnya, .
  • Integral tak tentu (atau antiturunan) dengan titik awal integrasi yang tetap mendefinisikan sebuah peta linear dari ruang semua fungsi yang bernilai real yang dapat diintegralkan di R ke ruang semua fungsi yang bernilai real yang dapat diturunkan di R. Tanpa titik awal yang ditetapkan, teori grup akan menunjukkan bahwa antiturunan tersebut akan memetakan ke ruang kuosien fungsi yang dapat diturunkan dengan relasi ekuivalensi "berselisih sebuah konstanta", yang menghasilkan sebuah kelas identitas berisi fungsi yang bernlai konstan  .
  • Jika V dan W merupakan ruang vektor berdimensi hingga pada medan F, maka fungsi yang mengirim peta linear f : VW ke matriks dimF(W) × dimF(V) dengan cara yang digambarkan berikutnya juga merupakan peta linear.
  • Nilai harapan dari sebuah peubah acak (yang sebenarnya merupakan sebuah fungsi, dan anggota sebuah ruang vektor) bersifat linear, karena untuk variabel acak X dan Y kita punya E[X + Y] = E[X] + E[Y] dan E[aX] = aE[X], tapi varians dari sebuah variabel acak tidaklah linear.

Penggunaan

sunting

Penggunaan khusus dari peta linear adalah untuk transformasi geometri, seperti yang dilakukan dalam grafik komputer, dimana translasi, rotasi dan skala dari objek 2D atau 3D dilakukan menggunakan matriks transformasi. Pemetaan linear juga digunakan sebagai mekanisme untuk menggambarkan perubahan: contohnya dalam kalkulus menggambarkan turunan; atau dalam relativitas, digunakan sebagai alat mencatat transformasi lokal dari kerangka acuan.

Penggunaan lain dari transformasi adalah dalam pengoptimuman kompilator kode nested-loop, dan dalam teknik pemaralelan kompilator.

Lihat pula

sunting

Catatan kaki

sunting
  1. ^ Transformasi linear dari V ke V sering disebut operator linear di V Rudin 1976, hlm. 207
  2. ^ Misalkan V dan W adalah dua ruang vektor real. Sebuat pemetaan dari V ke W disebut sebuah 'pemetaan linear' atau 'transformasi linear' atau 'operator linear' [...] dari V ke W, apabila
      untuk setiap  ,
      untuk setiap   dan semua λ real. Bronshtein, Semendyayev 2004, hlm. 316
  3. ^ Rudin 1991, hlm. 14
    Berikut beberapa sifat dari pemetaan linear   yang buktinya sangat mudah jadi kita tidak menuliskannya; diasumsikan bahwa   dan  :
    1.  
    2. Jika A merupakan sebuah subruang (atau sebuah himpunan konveks, atau sebuah himpunan seimbang) hal yang sama berlaku juga di  
    3. Jika B merupakan sebuah subruang (atau sebuah himpunan konveks, atau sebuah himpunan seimbang) hal yang sama berlaku juga di  
    4. Secara khusus, himpunan:
       
      merupakan sebuah subruang dari X, disebut ruang nol dari  .
  4. ^ Rudin 1991, hlm. 14. Misalkan X dan Y adalah ruang vektor pada medan skalar yang sama. Sebuah pemetaan   disebut linear apabila   untuk setiap   dan untuk setiap skalar   dan  . Perhatikan bahwa biasanya ditulis  , bukan  , ketika   bersifat linear.
  5. ^ Rudin 1976, hlm. 206. Sebuah pemetaan A dari ruang vektor X ke ruang vektor Y disebut sebuah transformasi linear apabila:   untuk setiap   dan semua skalar c. Perhatikan bahwa biasanya ditulis   bukannya   jika A linear.
  6. ^ Rudin 1991, hlm. 14. Pemetaan linear dari X ke medan skalarnya disebut fungsional linear.
  7. ^ https://math.stackexchange.com/a/62791/401895