Rata-rata geometrik

Dalam matematika, rata-rata geometrik, rata-rata ukur atau purata geometrik (bahasa Inggris: geometric mean) adalah rata-rata yang menunjukkan ukuran pemusatan data atau nilai khusus dari himpunan bilangan dengan menggunakan darab dari nilai-nilainya (kebalikan dengan rata-rata aritmetika yang menggunakan penjumlahan). Rata-rata geometrik didefinisikan sebagai akar ke-n dari darab n bilangan, dalam artian, untuk himpunan dari bilangan x₁, x₂, ..., x_n, rata-rata geometrik didefinisikan sebagai

Contoh rata-rata geometrik: $l_{g}$ (berwarna merah) merupakan rata-rata geometrik dari $l_{1}$ dan $l_{2}$, Ruas garis $l_{2}\;({\overline {BC}})$ pada gambar dinyatakan sebagai garis yang tegak lurus dengan ${\overline {AB}}$.

$\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}$

atau sama dengan rata-rata aritmetika dalam skala logaritmik:

$\exp {\left({{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\ln a_{i}}\right)}$

Sebagai contoh, rata-rata geometrik dari dua bilangan, katakanlah 2 dan 8, hanya sama dengan akar kuadrat dari hasil kalinya, dalam artian, ${\sqrt {2\cdot 8}}=4$. Contoh lainnya, rata-rata geometrik dari tiga bilangan 4, 1, dan 1/32 sama dengan akar kubik dari darabnya, yaitu 1/2, dalam artian, ${\textstyle {\sqrt[{3}]{4\cdot 1\cdot {\frac {1}{32}}}}={\frac {1}{2}}}$. Rata-rata geometrik berlaku untuk bilangan positif saja.

Rata-rata geometrik acapkali dipakai untuk himpunan data yang nilai-nilainya dimaksud untuk dikalikan atau merupakan sifat eksponensial, seperti himpunan dari angka pertumbuhan: nilai-nilai dari populasi manusia atau laju bunga dari investasi finansial secara perlahan. Rata-rata geometrik berlaku pula dalam menghitung tolok ukur, yang sangat berguna dalam menghitung rata-rata dari rasio speedup: karena rata-rata kecepatan 0,5x dan 2x bernilai 1 (dalam artian, tidak ada speedup secara keseluruhan).

Rata-rata geometrik dapat dipahami pada konteks geometri. Rata-rata geometrik dari dua bilangan $a$ dan $b$ merupakan panjang dari satu sisi persegi yang luasnya sama dengan luas persegi panjang dengan sisi $a$ dan $b$. Mirip dengan sebelumnya, rata-rata geometrik dari tiga bilangan $a$, $b$, dan $c$ merupakan panjang dari satu sisi kubus yang volumenya sama dengan volume balok dengan sisinya yang sama dengan tiga bilangan tadi.

Rata-rata geometri merupakan salah satu dari tiga rata-rata Pythagoras klasik, di antaranya rata-rata aritmetika dan rata-rata harmonik. Untuk semua himpunan data positif yang mengandung setidaknya satu pasangan dari nilai yang tidak sama, rata-rata harmonik selalu lebih kecil dari ketiga rata-rata tersebut, sedangan rata-rata lebih besar dari ketiganya dan rata-rata geometrik berada di antaranya (lihat Pertidaksamaan rata-rata aritmetika dan geometrik.)