Selang (matematika)

Selang (bilangan real) dalam matematika adalah suatu himpunan bilangan real dengan sifat bahwa setiap bilangan yang terletak di antara dua bilangan dalam himpunan itu juga termasuk ke dalam himpunan. Misalnya, himpunan semua bilangan $x$ memenuhi $0 \leq x \leq 1$ adalah suatu selang yang memuat $0$ dan $1$ , maupun semua bilangan di antara keduanya. Contoh lain selang adalah suatu himpunan dari semua bilangan real $\mathbb {R}$ , himpunan semua bilangan real negatif, dan himpunan kosong.

Selang real berperang penting dalam teori integrasi, karena merupakan himpunan-himpunan paling sederhana yang "ukuran" atau "pengukuran" atau "panjang"-nya mudah didefinisikan. Konsep pengukuran dapat diperluas untuk himpunan-himpunan bilangan real yang lebih rumit, mengarah kepada ukuran Borel dan akhirnya kepada ukuran Lebesgue.

Selang adalah pusat bagi aritmetika selang, suatu teknik komputasi numerik umum yang secara otomatis menyediakan penutupan pasti bagi rumus-rumus sembarang, bahkan dengan adanya ketidakpastian, perkiraan matematika, dan pembulatan aritmetika.

Notasi untuk selang

Selang angka-angka antara $a$ dan $b$ , termasuk $a$ dan $b$ , sering dilambangkan dengan $[a, b]$ . Dua bilangan itu disebut "titik-titik ujung" (endpoints) suatu selang. Di negara-negara di mana bilangan desimal ditulis menggunakan tanda koma, tanda titik koma dapat digunakan sebagai pemisah, untuk menghindari kerancuan.

Termasuk atau tidak termasuk titik ujung

Untuk mengindikasikan bahwa satu dari titik-titik ujung tidak disertakan dalam himpunan, tanda kurung siku dapat diganti dengan tanda kurung, atau sebaliknya. Kedua notasi ini dijelaskan dalam International standard ISO 31-11. Jadi, dalam notasi ungkapan himpunan,

{\begin{aligned}(a,b)={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a<x<b\},\\{}[a,b)={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a\leq x<b\},\\{}(a,b]={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a<x\leq b\},\\{}[a,b]={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a\leq x\leq b\}.\end{aligned}}

Perhatikan bahwa $(a, a)$ , $[a, a)$ , dan $(a, a]$ melambangkan himpunan kosong, sedangkan $[a, a]$ melanmbangkan himpunan ${a}$ . Ketika $a > b$ , maka keempat notasi ini biasanya diasumsikan melambangkan himpunan kosong.

Penggolongan selang

Selang bilangan real dapat digolongkan ke dalam 11 jenis yang berbeda, di mana $a$ dan $b$ adalah bilangan real, dengan $a<b$ :

kosong:

[b,a]=(a,a)=[a,a)=(a,a]=\{\}=\emptyset

degenerasi:

[a,a]=\{a\}

wajar dan berbatas:

terbuka:

(a,b)=\{x\,|\,a<x<b\}

tertutup:

[a,b]=\{x\,|\,a\leq x\leq b\}

tertutup kiri dan terbuka kanan:

[a,b)=\{x\,|\,a\,\leq x<b\}

terbuka kiri, tertutup kanan:

(a,b]=\{x\,|\,a<x\leq b\}

berbatas kiri dan tak berbatas kanan:

terbuka kiri:

(a,\infty )=\{x\,|\,x>a\}

tertutup kiri:

[a,\infty )=\{x\,|\,x\geq a\}

tak berbatas kiri dan berbatas kanan:

terbuka kanan:

(-\infty ,b)=\{x\,|\,x<b\}

tertutup kanan:

(-\infty ,b]=\{x\,|\,x\leq b\}

tak berbatas di kedua ujungnya:

(-\infty ,+\infty )=\mathbb {R}

Lihat pula

Referensi

T. Sunaga, "Theory of interval algebra and its application to numerical analysis" Diarsipkan 2012-03-09 di Wayback Machine., In: Research Association of Applied Geometry (RAAG) Memoirs, Ggujutsu Bunken Fukuy-kai. Tokyo, Japan, 1958, Vol. 2, pp. 29–46 (547-564); reprinted in Japan Journal on Industrial and Applied Mathematics, 2009, Vol. 26, No. 2-3, pp. 126–143.

Pranala luar

A Lucid Interval by Brian Hayes: An American Scientist article provides an introduction.
Interval Notation Basics Diarsipkan 2010-02-08 di Wayback Machine.
Interval computations website Diarsipkan 2006-03-02 di Wayback Machine.
Interval computations research centers Diarsipkan 2007-02-03 di Wayback Machine.
Interval Notation by George Beck, Wolfram Demonstrations Project.
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Interval". MathWorld.