Teorema Newton mengenai segiempat

Dalam geometri Euklides, teorema Newton berbunyi bahwa setiap segiempat garis singgung terkecuali untuk belah ketupat, pusat titik lingkaran dalam terletak pada garis Newton.

P terletak pada garis Newton EF

Pernyataan

Misalkan $ABCD$ adalah segiempat garis singgung dengan paling banyak satu pasang sisi yang sejajar. Selanjutnya, misalkan $E$ dan $F$ adalah titik tengah garis diagonalnya $AC$ dan $BD$, dan misalkan $P$ adalah titik pusat lingkaran dalam. Maka, titik $P$ berada di garis Newton, yaitu garis $EF$ yang menghubungkan titik tengah garis diagonal.

Pembuktian

Teorema Newton dapat dibuktikan dengan mudah melalui teorema Anne, dengan memandang bahwa jumlah dari panjang dari sisi yang berhadapan di dalam segiempat garis singgung adalah sama (sesuai dengan teorema Pitot). Menurut teorema Anne, jumlah dari luas segitiga yang berhadapan $PAD$ dan $PBC$ sama dengan jumlah dari luas segitiga yang berhadapan $PAB$ dan $PCD$, dan memperlihatkan hal tersebut sudah cukup untuk memastikan bahwa $P$ terletak pada garis $EF$. Misalkan $r$ adalah jari-jari lingkaran dalam, maka $r$ juga merupakan garis tinggi dari semua keempat segitiga tersebut.

$${\begin{aligned}A(\triangle PAB)+A(\triangle PCD)&={\frac {1}{2}}ra+{\frac {1}{2}}rc={\frac {1}{2}}r(a+c)\\&={\frac {1}{2}}r(b+d)={\frac {1}{2}}rb+{\frac {1}{2}}rd\\&=A(\triangle PBC)+A(\triangle PAD).\end{aligned}}$$

Pranala luar

• Newton’s and Léon Anne’s Theorems di cut-the-knot.org