Transformasi geometri

Transformasi geometri adalah transformasi yang mempelajari proses perubahan suatu bidang geometri yang meliputi posisi, besar, dan bentuknya sendiri,^[1] yang diakibatkan karena translasi (pergeseran), dilatasi (perkalian), transformasi bersesuaian matriks, rotasi (perputaran), refleksi (pencerminan),^[2] perubahan skala (yakni pembesaran dan pengecilan), dan komposisi dua transformasi.^[3]

Prinsip transformasi geometri adalah memetakan satu-per-satu menggunakan himpunan titik-titik sebagai input dan titik kembalinya sebagai output. Sederhananya, berbagai himpunan input dinamakan objek dan output yang bersesuaian dinamakan image.

Isometri

Isometri adalah transformasi yang mengawetkan jarak, kecuali untuk mengawetkan jarak antara dua titik. Sifat isomentrik dapat memetakan garis menjadi garis (Kolineasi) dan mengawetkan besar sudut antara dua garis dan kesejajaran dua garis.^[4] Isometri ada dua jenis yaitu sebagai berikut.

Memindahkan bangun geometri secara langsung dari satu posisi ke berbagai posisi lain.
Memindahkan bangun dengan cara memutar bangunnya.^[5]

Pemetaan bisa dikatakan terjadi langsung, apabila pemetaannya bisa mengawetkan orientasi. Hal itu bisa terjadi jika arah gerak benda sama dengan arah gerak bayangan. Sebaliknya, pemetaan dikatakan berlawanan apabila pemetaan tersebut membalikan orientasi. Hal ini bisa terjadi kalau arah gerakan benda berlawanan dengan arah gerakan bayangan.^[5]

Jenis-jenis transformasi geometri

Transformasi geometri melibatkan: translasi, yang memindahkan bangunan geometri di bidang dengan jarak yang konstan; dilatasi, yang mengubah ukuran suatu bangunan geometri; rotasi, yang memutar bangunan geometri; dan refleksi, yang mencerminkan bangunan geometri melalui sumbu putar.

Translasi

Translasi atau pergeseran adalah salah satu transformasi yang memindahkan semua titik yang ada pada bidang dengan jarak atau arah yang konstan. Translasi bisa disebut juga transformasi yang sifatnya Isometris. Suatu padanan S dikatakan mengalami geseran apabila ada ruas garis berarah ${\overrightarrow {ab}}$ , sehingga titik P pada bidang menjadi P’ dengan rumus P' = S ${\overrightarrow {ab}}$ (P) dan PP = ${\overrightarrow {ab}}$ . Setiap ruas garis berarah akan menentukan translasi. Apabila ${\overrightarrow {ab}}$ suatu garis berarah, maka lambang S ${\overrightarrow {ab}}$ dianggap sebagai geseran yang sesuai dengan ${\overrightarrow {ab}}$ .^[5]

Rumus translasi adalah (x',y') = (a,b) + (x,y). Dimana (x',y') adalah titik bayangan. (a,b) adalah vektor tranlasi, dan (x,y) adalah titik asal.^[5]

Dilatasi

Sebuah segilima yang diperbesar karena dilatasi.

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran dengan memperbesar atau memperkecil suatu bangunan geometri tanpa harus mengubahnya melalui faktor pengali. Yang dimaksud dengan faktor pengali adalah faktor skala titik tertentu yang berperan sebagai pusat dilatasi.

Rotasi

Perputaran atau rotasi adalah salah satu transformasi yang memasang satu titik ke kumpulan titik lainnya dengan cara diputar. Selain itu, rotasi juga dianggap sebagai kegiatan memindahkan objek (gambar) melalui garis lengkung pada titik dengan sudut putar tertentu sebagai pusat. Perpindahan yang dimaksud bisa dilakukan searah jarum jam atau berlawanan dengan arah jarum jam yang penting bisa mengubah kedudukan gambar. Sebelum memahami sebuah perputaran, maka terlebih dahulu harus mengerti tentang sudut berarah. Sudut berarah adalah salah satu sudut yang satu kakinya berperan sebagai sisi awal dan kaki yang lainnya dianggap sebagai sisi akhir. Pada transformasi, perputaran terlihat pada titik atau bayangan bangun yang kongruen dengan bangun asalnya. Maka dari itu, rotasi juga memiliki sifat transformasi isometris seperti halnya translasi dan refleksi. Pada transformasi isometris, jarak dianggap sebagai besaran yang tidak berubah atau inverian. Perputaran juga ditentukan oleh titik pusat rotasi, arah sudut rotasi, dan besar sudut rotasi. Apabila arah putaran searah dengan jarum jam, maka hal itu dipandang sudut yang negatif. Sebaliknya apabila arah perputaran berlawanan dengan jarum jam maka dianggap sebagai sudut positif.^[5]

Rumus rotasi secara umum dengan titik pusat (a,b).

Rotasi sejauh 0° dengan pusat (a,b) : ${\binom {x'}{y'}}={\begin{pmatrix}\cos {\displaystyle \emptyset }&-\sin {\displaystyle \emptyset }\\\sin {\displaystyle \emptyset }&\cos {\displaystyle \emptyset }\end{pmatrix}}.{\begin{pmatrix}x&-a\\y&-b\end{pmatrix}}+{\binom {a}{b}}$
Rotasi sejauh 90° dengan pusat (a,b) : ${\binom {x'}{y'}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.{\begin{pmatrix}x&-a\\y&-b\end{pmatrix}}+{\binom {a}{b}}$
Rotasi sejauh 180° dengan pusat (a,b) : ${\binom {x'}{y'}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.{\begin{pmatrix}x&-a\\y&-b\end{pmatrix}}+{\binom {a}{b}}$
Rotasi sejauh 270° dengan pusat (a,b) : ${\binom {x'}{y'}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.{\begin{pmatrix}x&-a\\y&-b\end{pmatrix}}+{\binom {a}{b}}$ ^[6]

Refleksi

Refleksi atau disebut juga pencerminan adalah salah satu bagian transformasi yang memindahkan titik pada bangun geometri dengan menggunakan sifat benda dan bayangan cermin datar. Lambang refleksi adalah R. Refleksi garis S adalah fungsi Rs yang didefinisikan pada semua titik bidang v dengan penjelasan rumus sebagai berikut.

P $\in$ S, Rs (P) = P'
P $\not \in$ S, Rs (P) = P', sehingga S adalah sumbu ruas PP'.^[5]

Rumus umum refleksi adalah sebagai berikut.

Pencerminan terhadap sumbu -x : (x,y) → (x, -y)
Pencerminan terhadap sumbu -y : (x,y) → (-x, y)
Pencerminan terhadap garis y = x : (x,y) → (y,x)
Pencerminan terhadap garis y = x : (x,y) → (-y, -x)
Pencerminan terhadap garis x = h : (x,y) → (2h -x,y)
Pencerminan terhadap garis y = k : (x,y) → (x, 2k–y)^[2]

Penerapan

Berdasarkan prinsip sebelumnya, transformasi geometri dapat diterapkan pada berbagai objek geometri yang dikenal secara umum, misalnya poligon, garis, polihedral atau pun pada ruang objek-objek itu berada. Transformasi geometri menawarkan berbagai pandangan dalam banyak topik tradisional, seperti kesebangunan, kekongruenan, dan simetri. Selain itu juga, transformasi geometri memiliki fungsi sebagai basis aplikasi kontemporer dalam arsitektur,^[7] seni,^[8] film,^[9] permesinan,^[10] dan televisi.^[11]

Referensi

^ S.Pd.I, DWI AGUSTIN IRMAWATI. MEDIA PEMBELAJARAN MATEMATIKA: Cara Gembira Belajar Matematika. Pemeral edukreatif. hlm. 32.
^ ^a ^b Geometri - Menara Ilmu Universitas Gajah Mada. "Transformasi Geometri". Diakses tanggal 2020-08-29.
^ Margidit 2008, hlm. 204.
^ Rina Febriana, M.Pd.; Yulia Haryono, S.Si. M.Pd.; Radhya Yusri, M.Pd. (2017). Modul Geometri Transformasi (PDF). Padang: Penerbit Erka.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Meyta Dwi Kurniasih; Isnaini Handayani (2017). Tangkas Geometri Transformasi (PDF). Jakarta. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2018-2-18.
^ Tim Edukasi Kemdikbud. "Rotasi dengan pusat (a,b)". Diakses tanggal 2020-08-30.
^ Pottmann, Helmut; Asperl, Andreas; Hofer, Michael; Kilian, Axel (2007). Architectural Geometry (dalam bahasa Inggris). Bentley Institute Press. ISBN 978-1-934493-04-5.
^ Lumpkin, Beatrice (1997). Geometry Activities from Many Cultures (dalam bahasa Inggris). Walch Publishing. hlm. 14. ISBN 978-0-8251-3285-8.
^ Wright, Steve (2013-07-24). Digital Compositing for Film and Video (dalam bahasa Inggris). Taylor & Francis. hlm. 261. ISBN 978-1-136-05694-9.
^ Klinger, Allen (2013-03-08). Human-Machine Interactive Systems (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. hlm. 260. ISBN 978-1-4684-5883-1.
^ Zhai, Guangtao; Zhou, Jun; Yang, Hua; An, Ping; Yang, Xiaokang (2020-02-15). Digital TV and Wireless Multimedia Communication: 16th International Forum, IFTC 2019, Shanghai, China, September 19–20, 2019, Revised Selected Papers (dalam bahasa Inggris). Springer Nature. ISBN 978-981-15-3341-9.

Daftar pustaka

Marsigit (2008), Matematika, hlm. 204-229, ISBN 978-979-756-899-6 Periksa nilai: checksum |isbn= (bantuan)
Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3A Untuk Kelas XII Semester 1 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-504-1. (Indonesia)

[:4-1] S.Pd.I, DWI AGUSTIN IRMAWATI. MEDIA PEMBELAJARAN MATEMATIKA: Cara Gembira Belajar Matematika. Pemeral edukreatif. hlm. 32.

[:3-2] Geometri - Menara Ilmu Universitas Gajah Mada. "Transformasi Geometri". Diakses tanggal 2020-08-29.

[FOOTNOTEMargidit2008204-3] Margidit 2008, hlm. 204.

[:2-4] Rina Febriana, M.Pd.; Yulia Haryono, S.Si. M.Pd.; Radhya Yusri, M.Pd. (2017). Modul Geometri Transformasi (PDF). Padang: Penerbit Erka.

[:0-5] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Meyta Dwi Kurniasih; Isnaini Handayani (2017). Tangkas Geometri Transformasi (PDF). Jakarta. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2018-2-18.

[6] Tim Edukasi Kemdikbud. "Rotasi dengan pusat (a,b)". Diakses tanggal 2020-08-30.

[7] Pottmann, Helmut; Asperl, Andreas; Hofer, Michael; Kilian, Axel (2007). Architectural Geometry (dalam bahasa Inggris). Bentley Institute Press. ISBN 978-1-934493-04-5.

[8] Lumpkin, Beatrice (1997). Geometry Activities from Many Cultures (dalam bahasa Inggris). Walch Publishing. hlm. 14. ISBN 978-0-8251-3285-8.

[9] Wright, Steve (2013-07-24). Digital Compositing for Film and Video (dalam bahasa Inggris). Taylor & Francis. hlm. 261. ISBN 978-1-136-05694-9.

[10] Klinger, Allen (2013-03-08). Human-Machine Interactive Systems (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. hlm. 260. ISBN 978-1-4684-5883-1.

[11] Zhai, Guangtao; Zhou, Jun; Yang, Hua; An, Ping; Yang, Xiaokang (2020-02-15). Digital TV and Wireless Multimedia Communication: 16th International Forum, IFTC 2019, Shanghai, China, September 19–20, 2019, Revised Selected Papers (dalam bahasa Inggris). Springer Nature. ISBN 978-981-15-3341-9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]