Peta linear

Dalam matematika, peta linear (disebut juga pemetaan linear, transformasi linear atau, dalam konteks tertentu, fungsi linear) adalah pemetaan $V \to W$ antara dua modul (misalnya, dua ruang vektor) yang mempertahankan (artinya dijelaskan di bawah) operasi penambahan dan perkalian skalar.

Kasus khusus yang penting adalah ketika $V = W$ , di mana peta linearnya disebut endomorfisme (linear) dari $V$ . Terkadang istilah operator linear dipakai untuk kasus ini.^[1] Dalam kebiasaan yang lain, operator linear membolehkan $V$ dan $W$ yang berbeda, tetapi mereka harus merupakan urang vektor real.^[2] Terkadang istilah fungsi linear memiliki arti yang sama dengan peta linear, sedangkan dalam geometri analitis artinya berbeda.

Sebuah peta linear selalu memetakan subruang linear ke subruang linear (mungkin dengan dimensi yang lebih rendah);^[3] contohnya pemetaan sebuah bidang yang melalui titik nol ke sebuah bidang, garis lurus atau titik. Peta linear biasanya dilambangkan sebagai matriks, dan contoh sederhananya adalah transformasi linear rotasi dan pencerminan.

Dalam bahasa aljabar abstrak, sebuah peta linear merupakan sebuah homoformisme modul. Dalam bahasa teori kategori, sebuah peta linear merupakan sebuah morfisme dalam kategori modul pada sebuah gelanggang.

Definisi dan akibatnya

Misalkan ${\textstyle V}$ dan ${\textstyle W}$ adalah ruang vektor pada medan ${\textstyle K.}$ Sebuah fungsi ${\textstyle f:V\to W}$ disebut sebuah peta linear apabila untuk setiap dua vektor ${\textstyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$ dan untuk setiap skalar ${\textstyle c\in K}$ terpenuhi dua syarat:

$f(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=f(\mathbf {u} )+f(\mathbf {v} )$	aditifitas / operasi penambahan
$f(c\mathbf {u} )=cf(\mathbf {u} )$	homogenitas derajat 1 / operasi perkalian skalar

Oleh sebab itu, sebuah peta linear disebut mempertahankan operasi. Dengan kata lain, tidak bepengaruh apakah pemetaan linear dilakukan sebelum (sisi kanan dari contoh di atas) atau setelah (sisi kiri dari contoh di atas) operasi penambahan dan perkalian skalar.

Oleh karena sifat asosiatif dari operasi penambahan, dengan operasinya disimbolkan dengan +, untuk setiap vektor ${\textstyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\in V}$ dan skalar ${\textstyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in K,}$ berlaku persamaan berikut:^[4]^[5]

f(c_{1}\mathbf {u} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {u} _{n})=c_{1}f(\mathbf {u} _{1})+\cdots +c_{n}f(\mathbf {u} _{n}).

Dengan melambangkan unsur nol dari ruang vektor ${\textstyle V}$ dan ${\textstyle W}$ masing-masing dengan ${\textstyle \mathbf {0} _{V}}$ dan ${\textstyle \mathbf {0} _{W}}$ , bisa ditemukan bahwa ${\textstyle f(\mathbf {0} _{V})=\mathbf {0} _{W}.}$ Misalkan ${\textstyle c=0}$ dan ${\textstyle \mathbf {v} \in V}$ dalam persamaan homogentias berderajat 1:

f(\mathbf {0} _{V})=f(0\mathbf {v} )=0f(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}.

Terkadang, ${\textstyle V}$ dan ${\textstyle W}$ bisa jadi merupakan ruang vektor pada medan yang berbeda. Bila begitu, perlu dijelaskan medan yang mana yang digunakan dalam definisi "linear". Jika ${\textstyle V}$ dan ${\textstyle W}$ adalah ruang pada medan ${\textstyle K}$ yang sama, maka kita akan membahas peta ${\textstyle K}$ -linear. Misalnya, sekawan dari bilangan kompleks merupakan sebuah peta ${\textstyle \mathbf {R} }$ -linear ${\textstyle \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$ , tapi bukan merupakanp peta ${\textstyle \mathbf {C} }$ -linear, dengan ${\textstyle \mathbf {R} }$ dan ${\textstyle \mathbf {C} }$ masing-masing melambangkan himpunan bilangan real dan bilangan kompleks.

Sebuah peta linear ${\textstyle V\to K}$ dengan ${\textstyle K}$ dipandang sebagai ruang vektor satu dimensi pada dirinya sendiri disebut fungsional linear.^[6]

Pernyataan-pernyataan tersebut digeneralisasi menjadi modul kiri ${\textstyle {}_{R}M}$ manapun pada gelanggang ${\textstyle R}$ tanpa perubahan, dan menjadi modul kanan manapun ketika mengembalikan perkalian skalar.

Contoh

Contoh prototipikal yang melahirkan nama peta linear adalah fungsi f : R → R : x ↦ cx, di mana grafiknya berbentuk garis yang melalui titik nol.^[7]
Secara umum, semua homotetik yang berpusat di titik nol ruang vektor, ${\textstyle \mathbf {v} \mapsto c\mathbf {v} }$ dengan c melambangkan skalar, merupakan sebuah operator linear. Ini tidak berlaku untuk modul secara umum, karena petanya mungkin hanya semilinear.
Peta nol x ↦ 0 di antara dua modul kiri (atau dua modul kanan) atas gelanggang yang sama selalu linear.
Peta identitas dari modul manapun merupakan sebuah operator linear.
Untuk bilangan real, peta x ↦ x² tidak linear.
Untuk bilangan real, peta x ↦ x + 1 tidak linear (tapi merupakan transformasi afin; y = x + 1 adalah persamaan linear, menurut istilah yang digunakan geometri analisis.)
Jika A merupakan m × n matriks real, maka A mendefinisikan sebuah peta linear dari Rⁿ ke R^m dengan cara mengirim vektor kolom x ∈ Rⁿ ke vektor kolom Ax ∈ R^m. Sebaliknya pula, peta linear antara ruang vektor berdimensi hingga manapun bisa direpresentasikan dengan cara ini; lihat bagian berikutnya.
Diferensiasi mendefinisikan sebuah peta linear dari ruang semua fungsi yang dapat diturunkan ke ruang semua fungsi. Diferensiasi juga mendefinisikan sebuah operator linear di ruang semua fungsi mulus (sebuah operator linear merupakan sebuah endomorfisme linear, artinya peta linear yang domain dan kodomainnya sama). Contohnya ${\frac {d}{dx}}\left({{c}_{1}}{{f}_{1}}\left(x\right)+{{c}_{2}}{{f}_{2}}\left(x\right)+\cdots +{{c}_{n}}{{f}_{n}}\left(x\right)\right)={{c}_{1}}{\frac {d{{f}_{1}}\left(x\right)}{dx}}+{{c}_{2}}{\frac {d{{f}_{2}}\left(x\right)}{dx}}+\cdots +{{c}_{n}}{\frac {d{{f}_{n}}\left(x\right)}{dx}}$ .
Integral tertentu di suatu interval I merupakan peta linear dari ruang semua fungsi yang bernilai real yang dapat dintegralkan di I ke R. Contohnya, $\int _{a}^{b}{[{{c}_{1}}{{f}_{1}}(x)+{{c}_{2}}{{f}_{2}}(x)+\ldots +{{c}_{n}}{{f}_{n}}(x)]dx}={{c}_{1}}\int _{a}^{b}{{{f}_{1}}(x)dx}+{{c}_{2}}\int _{a}^{b}{{{f}_{2}}(x)dx}+\ldots +{{c}_{n}}\int _{a}^{b}{{{f}_{n}}(x)dx}$ .
Integral tak tentu (atau antiturunan) dengan titik awal integrasi yang tetap mendefinisikan sebuah peta linear dari ruang semua fungsi yang bernilai real yang dapat diintegralkan di R ke ruang semua fungsi yang bernilai real yang dapat diturunkan di R. Tanpa titik awal yang ditetapkan, teori grup akan menunjukkan bahwa antiturunan tersebut akan memetakan ke ruang kuosien fungsi yang dapat diturunkan dengan relasi ekuivalensi "berselisih sebuah konstanta", yang menghasilkan sebuah kelas identitas berisi fungsi yang bernlai konstan ${\textstyle \left(\,\int \!:\ I(\Re )\ \to \ D(\Re )/\Re \,\right)}$ .
Jika V dan W merupakan ruang vektor berdimensi hingga pada medan F, maka fungsi yang mengirim peta linear f : V → W ke matriks dim_F(W) × dim_F(V) dengan cara yang digambarkan berikutnya juga merupakan peta linear.
Nilai harapan dari sebuah peubah acak (yang sebenarnya merupakan sebuah fungsi, dan anggota sebuah ruang vektor) bersifat linear, karena untuk variabel acak X dan Y kita punya E[X + Y] = E[X] + E[Y] dan E[aX] = aE[X], tapi varians dari sebuah variabel acak tidaklah linear.

Fungsi ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ dengan ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ merupakan sebuah peta linear. Fungsi ini mengkalikan komponen ${\textstyle x}$ dari vektor dengan faktor ${\textstyle 2}$ .
Fungsi ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ bersifat aditif: Tidak penting apakah vektornya dijumlahkan dulu lalu dipetakan atau dipetakan dulu lalu dijumlahkan: ${\textstyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$
Fungsi ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ bersifat homogen: Tidak penting apakah vektornya dikalikan dulu lalu dipetakan atau dipetakan dulu lalu dikalikan: ${\textstyle f(\lambda a)=\lambda f(a)}$

Penggunaan

Penggunaan khusus dari peta linear adalah untuk transformasi geometri, seperti yang dilakukan dalam grafik komputer, dimana translasi, rotasi dan skala dari objek 2D atau 3D dilakukan menggunakan matriks transformasi. Pemetaan linear juga digunakan sebagai mekanisme untuk menggambarkan perubahan: contohnya dalam kalkulus menggambarkan turunan; atau dalam relativitas, digunakan sebagai alat mencatat transformasi lokal dari kerangka acuan.

Penggunaan lain dari transformasi adalah dalam pengoptimuman kompilator kode nested-loop, dan dalam teknik pemaralelan kompilator.

Lihat pula

Catatan kaki

^ Transformasi linear dari $V$ ke $V$ sering disebut operator linear di $V$ Rudin 1976, hlm. 207
^ Misalkan $V$ dan $W$ adalah dua ruang vektor real. Sebuat pemetaan dari $V$ ke $W$ disebut sebuah 'pemetaan linear' atau 'transformasi linear' atau 'operator linear' [...] dari $V$ ke $W$ , apabila
${\textstyle a(u+v)=au+av}$ untuk setiap ${\textstyle u,v\in V}$ ,
${\textstyle a(\lambda u)=\lambda au}$ untuk setiap $u\in V$ dan semua $λ$ real. Bronshtein, Semendyayev 2004, hlm. 316
^
Rudin 1991, hlm. 14
Berikut beberapa sifat dari pemetaan linear ${\textstyle \Lambda :X\to Y}$ yang buktinya sangat mudah jadi kita tidak menuliskannya; diasumsikan bahwa ${\textstyle A\subset X}$ dan ${\textstyle B\subset Y}$ :
1. ${\textstyle \Lambda 0=0.}$
2. Jika $A$ merupakan sebuah subruang (atau sebuah himpunan konveks, atau sebuah himpunan seimbang) hal yang sama berlaku juga di ${\textstyle \Lambda (A)}$
3. Jika $B$ merupakan sebuah subruang (atau sebuah himpunan konveks, atau sebuah himpunan seimbang) hal yang sama berlaku juga di ${\textstyle \Lambda ^{-1}(B)}$
4. Secara khusus, himpunan:
  $\Lambda ^{-1}(\{0\})=\{x\in X:\Lambda x=0\}={N}(\Lambda )$
  merupakan sebuah subruang dari $X$ , disebut ruang nol dari ${\textstyle \Lambda }$ .
^ Rudin 1991, hlm. 14. Misalkan $X$ dan $Y$ adalah ruang vektor pada medan skalar yang sama. Sebuah pemetaan ${\textstyle \Lambda :X\to Y}$ disebut linear apabila ${\textstyle \Lambda (\alpha x+\beta y)=\alpha \Lambda x+\beta \Lambda y}$ untuk setiap ${\textstyle x,y\in X}$ dan untuk setiap skalar ${\textstyle \alpha }$ dan ${\textstyle \beta }$ . Perhatikan bahwa biasanya ditulis ${\textstyle \Lambda x}$ , bukan ${\textstyle \Lambda (x)}$ , ketika ${\textstyle \Lambda }$ bersifat linear.
^ Rudin 1976, hlm. 206. Sebuah pemetaan $A$ dari ruang vektor $X$ ke ruang vektor $Y$ disebut sebuah transformasi linear apabila: ${\textstyle A\left({\bf {{x}_{1}+{\bf {{x}_{2}}}}}\right)=A{\bf {{x}_{1}+A{\bf {{x}_{2},\ A(c{\bf {{x})=cA{\bf {x}}}}}}}}}$ untuk setiap ${\textstyle {\bf {{x},{\bf {{x}_{1},{\bf {{x}_{2}\in X}}}}}}}$ dan semua skalar $c$ . Perhatikan bahwa biasanya ditulis ${\textstyle A{\bf {x}}}$ bukannya ${\textstyle A({\bf {{x})}}}$ jika $A$ linear.
^ Rudin 1991, hlm. 14. Pemetaan linear dari $X$ ke medan skalarnya disebut fungsional linear.
^ https://math.stackexchange.com/a/62791/401895

[1] Transformasi linear dari $V$ ke $V$ sering disebut operator linear di $V$ Rudin 1976, hlm. 207

[2] Misalkan $V$ dan $W$ adalah dua ruang vektor real. Sebuat pemetaan dari $V$ ke $W$ disebut sebuah 'pemetaan linear' atau 'transformasi linear' atau 'operator linear' [...] dari $V$ ke $W$ , apabila
${\textstyle a(u+v)=au+av}$ untuk setiap ${\textstyle u,v\in V}$ ,
${\textstyle a(\lambda u)=\lambda au}$ untuk setiap $u\in V$ dan semua $λ$ real. Bronshtein, Semendyayev 2004, hlm. 316

[3] Rudin 1991, hlm. 14
Berikut beberapa sifat dari pemetaan linear ${\textstyle \Lambda :X\to Y}$ yang buktinya sangat mudah jadi kita tidak menuliskannya; diasumsikan bahwa ${\textstyle A\subset X}$ dan ${\textstyle B\subset Y}$ :
${\textstyle \Lambda 0=0.}$
Jika $A$ merupakan sebuah subruang (atau sebuah himpunan konveks, atau sebuah himpunan seimbang) hal yang sama berlaku juga di ${\textstyle \Lambda (A)}$
Jika $B$ merupakan sebuah subruang (atau sebuah himpunan konveks, atau sebuah himpunan seimbang) hal yang sama berlaku juga di ${\textstyle \Lambda ^{-1}(B)}$
Secara khusus, himpunan:
$\Lambda ^{-1}(\{0\})=\{x\in X:\Lambda x=0\}={N}(\Lambda )$
merupakan sebuah subruang dari $X$ , disebut ruang nol dari ${\textstyle \Lambda }$ .

[4] ${\textstyle \Lambda 0=0.}$

[5] Jika $A$ merupakan sebuah subruang (atau sebuah himpunan konveks, atau sebuah himpunan seimbang) hal yang sama berlaku juga di ${\textstyle \Lambda (A)}$

[6] Jika $B$ merupakan sebuah subruang (atau sebuah himpunan konveks, atau sebuah himpunan seimbang) hal yang sama berlaku juga di ${\textstyle \Lambda ^{-1}(B)}$

[7] Secara khusus, himpunan:
$\Lambda ^{-1}(\{0\})=\{x\in X:\Lambda x=0\}={N}(\Lambda )$
merupakan sebuah subruang dari $X$ , disebut ruang nol dari ${\textstyle \Lambda }$ .

[4] Rudin 1991, hlm. 14. Misalkan $X$ dan $Y$ adalah ruang vektor pada medan skalar yang sama. Sebuah pemetaan ${\textstyle \Lambda :X\to Y}$ disebut linear apabila ${\textstyle \Lambda (\alpha x+\beta y)=\alpha \Lambda x+\beta \Lambda y}$ untuk setiap ${\textstyle x,y\in X}$ dan untuk setiap skalar ${\textstyle \alpha }$ dan ${\textstyle \beta }$ . Perhatikan bahwa biasanya ditulis ${\textstyle \Lambda x}$ , bukan ${\textstyle \Lambda (x)}$ , ketika ${\textstyle \Lambda }$ bersifat linear.

[5] Rudin 1976, hlm. 206. Sebuah pemetaan $A$ dari ruang vektor $X$ ke ruang vektor $Y$ disebut sebuah transformasi linear apabila: ${\textstyle A\left({\bf {{x}_{1}+{\bf {{x}_{2}}}}}\right)=A{\bf {{x}_{1}+A{\bf {{x}_{2},\ A(c{\bf {{x})=cA{\bf {x}}}}}}}}}$ untuk setiap ${\textstyle {\bf {{x},{\bf {{x}_{1},{\bf {{x}_{2}\in X}}}}}}}$ dan semua skalar $c$ . Perhatikan bahwa biasanya ditulis ${\textstyle A{\bf {x}}}$ bukannya ${\textstyle A({\bf {{x})}}}$ jika $A$ linear.

[6] Rudin 1991, hlm. 14. Pemetaan linear dari $X$ ke medan skalarnya disebut fungsional linear.

[7] ttps://math.stackexchange.com/a/62791/401895

[12] ${\textstyle \Lambda 0=0.}$

[13] Jika $A$ merupakan sebuah subruang (atau sebuah himpunan konveks, atau sebuah himpunan seimbang) hal yang sama berlaku juga di ${\textstyle \Lambda (A)}$

[14] Jika $B$ merupakan sebuah subruang (atau sebuah himpunan konveks, atau sebuah himpunan seimbang) hal yang sama berlaku juga di ${\textstyle \Lambda ^{-1}(B)}$

[15] Secara khusus, himpunan:
$\Lambda ^{-1}(\{0\})=\{x\in X:\Lambda x=0\}={N}(\Lambda )$
merupakan sebuah subruang dari $X$ , disebut ruang nol dari ${\textstyle \Lambda }$ .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]