Ukuran pencacahan

Dalam matematika, lebih tepatnya teori ukur, ukuran pencacahan adalah cara yang intuitif untuk memberikan ukuran pada sembarang himpunan – "ukuran" dari suatu himpunan bagian ialah banyaknya elemen pada himpunan bagian tersebut, jika himpunan bagiannya merupakan himpunan berhingga, dan takhingga $\infty$ jika himpunan bagiannya merupakan himpunan takhingga.

ukuran pencacahan dapat didefinisikan pada sembarang ruang terukur (yaitu, sembarang himpunan $X$ beserta suatu aljabar sigma) namun seringkali digunakan untuk himpunan terhitung.

Dengan notasi formal, setiap himpunan $X$ dapat diubah menjadi suatu ruang terukur dengan mengambil himpunan kuasa dari $X$ sebagai aljabar sigma ${\mathcal {F}}$; dengan kata lain, seluruh himpunan bagian dari $X$ merupakan himpunan terukur. Ukuran pencacahan $\mu$ pada ruang terukur $\left(X,\,{\mathcal {F}}\right)$ ini ialah suatu fungsi $\mu \colon {\mathcal {F}}\to \left[0,\,\infty \right]$ dengan definisi $$\mu \!\left(A\right)={\begin{cases}\left|A\right|&{\text{jika }}A{\text{ himpunan berhingga}}\\\infty &{\text{jika }}A{\text{ himpunan takhingga}}\end{cases}}$$ untuk setiap $A\in {\mathcal {F}}$, dengan $\left|A\right|$ menyatakan kardinalitas dari himpunan $A$.

Ukuran pencacahan pada $\left(X,\,{\mathcal {F}}\right)$ bersifat berhingga sigma jika dan hanya jika ruang $X$ merupakan himpunan terhitung.

Pengintegralan pada $\mathbb {N}$ dengan ukuran pencacahan

Diberikan suatu ruang ukuran $\left(\mathbb {N} ,\,{\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right),\,\mu \right)$, dengan ${\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right)$ menyatakan himpunan seluruh himpunan bagian dari $\mathbb {N}$ dan $\mu$ adalah ukuran pencacahan. Ambil sembarang fungsi terukur $f\,\colon \,\mathbb {N} \to \left[0,\,\infty \right]$. Oleh karena fungsi $f$ terdefinisi pada $\mathbb {N}$, maka dengan menggunakan fungsi indikator, fungsi $f$ dapat dinyatakan titik-demi-titik sebagai $${\begin{aligned}f\!\left(x\right)&=\sum _{n\,=\,1}^{\infty }f\!\left(n\right)\cdot 1_{\left\{n\right\}}\!\left(x\right)\\&=\lim _{k\,\to \,\infty }\sum _{n\,=\,1}^{k}f\!\left(n\right)\cdot 1_{\left\{n\right\}}\!\left(x\right)\\&=\lim _{k\,\to \,\infty }F_{k}\!\left(x\right)\end{aligned}}$$ dengan $F_{k}\!\left(x\right):=\sum _{n\,=\,1}^{k}f\!\left(n\right)\cdot 1_{\left\{n\right\}}\!\left(x\right)$. Perhatikan bahwa setiap fungsi $F_{k}$ merupakan fungsi terukur, dan berlaku pertidaksamaan $${\begin{aligned}f\!\left(k+1\right)\cdot 1_{\left\{k+1\right\}}\!\left(x\right)&\geq 0\\\left(\sum _{n\,=\,1}^{k}f\!\left(n\right)\cdot 1_{\left\{n\right\}}\!\left(x\right)\right)+f\!\left(k+1\right)\cdot 1_{\left\{k+1\right\}}\!\left(x\right)&\geq \sum _{n\,=\,1}^{k}f\!\left(n\right)\cdot 1_{\left\{n\right\}}\!\left(x\right)\\F_{k+1}\!\left(x\right)&\geq F_{k}\!\left(x\right)\end{aligned}}$$ Oleh karena setiap fungsi $F_{k}$ merupakan fungsi sederhana $${\begin{aligned}\int _{\mathbb {N} }F_{k}\!\left(x\right)\,{\text{d}}\mu &=\int _{\mathbb {N} }\left(\sum _{n\,=\,1}^{k}f\!\left(n\right)\cdot 1_{\left\{n\right\}}\!\left(x\right)\right)\,{\text{d}}\mu \\&=\sum _{n\,=\,1}^{k}f\!\left(n\right)\,\mu \!\left(\left\{n\right\}\right)\\&=\sum _{n\,=\,1}^{k}f\!\left(n\right)\cdot 1\\&=\sum _{n\,=\,1}^{k}f\!\left(n\right)\end{aligned}}$$ maka menurut teorema kekonvergenan monoton, $${\begin{aligned}\int _{\mathbb {N} }f\,{\text{d}}\mu &=\lim _{k\,\to \,\infty }\int _{\mathbb {N} }F_{k}\,{\text{d}}\mu \\&=\lim _{k\,\to \,\infty }\sum _{n\,=\,1}^{k}f\!\left(n\right)\\&=\sum _{n\,=\,1}^{\infty }f\!\left(n\right)\end{aligned}}$$

Konstruksi umum

Ukuran pencacahan merupakan kasus khusus dari suatu konstruksi umum. Dengan menggunakan notasi di atas, setiap fungsi $f\,\colon \,X\to \left[0,\,\infty \right)$ dapat digunakan untuk mendefinisikan ukuran $\mu$ pada ruang terukur $\left(X,\,{\mathcal {F}}\right)$ melalui $$\mu \!\left(A\right)=\sum _{a\,\in \,A}f\!\left(a\right)\qquad {\text{ untuk setiap }}A\subseteq X$$ Jika $A$ merupakan himpunan takterhitung, maka jumlahan takterhitung dari bilangan-bilangan riil didefinisikan sebagai supremum dari semua himpunan bagian berhingga, yaitu $$\sum _{c\,\in \,I\,\subseteq \,\mathbb {R} }c:=\sup _{H\subseteq I,\,|H|<\infty }\left(\sum _{c\,\in \,H}c\right)$$ Jika $f(x)=1$ untuk setiap $x\in X$, maka $\mu$ merupakan ukuran pencacahan.

Lihat juga

• Ukuran pencacahan acak
• Fungsi himpunan