Vektor Euklides

Vektor spasial atau vektor Euclides; biasa disebut vektor dalam matematika dan fisika adalah objek geometri yang memiliki besar dan arah. Vektor dilambangkan dengan tanda panah (→). Besar vektor proporsional dengan panjang panah dan arahnya bertepatan dengan arah panah. Vektor dapat melambangkan perpindahan dari titik A ke B. Vektor sering ditandai sebagai ${\overrightarrow {AB}}.$ Sistem koordinat digunakan untuk memberikan pernyataan arah pada vektor. Jenis besaran fisika yang termasuk ke dalam vektor ialah kecepatan, percepatan, gaya, perpindahan dan momentum dari suatu objek.

Sebuah vektor dari A ke B.

Panjang

Untuk mencari panjang sebuah vektor dalam ruang euklidian tiga dimensi, dapat digunakan cara berikut:

$\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}}}$

yang merupakan konsekuensi dari Teorema Pythagoras karena vektor dasar e₁, e₂, e₃ merupakan vektor-vektor satuan ortogonal. Ini sama dengan akar pangkat dua produk titik dari vektor itu sendiri:

$\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}.$

Vektor satuan

Normalisasi suatu vektor a menjadi vektor satuan â

Artikel utama: Vektor satuan

"Vektor satuan" (Inggris: unit vector) adalah suatu vektor dengan panjang "satu". Biasanya vektor satuan hanya digunakan untuk menunjukkan arah. Suatu vektor dengan panjang sembarang dapat dibagi oleh panjang untuk mendapatkan vektor satuan. Ini dikenal sebagai "normalisasi" (normalizing) suatu vektor. Suatu vektor satuan sering diindikasikan dengan sebuah "topi" di atas huruf "a" kecil sebagaimana pada â.

Untuk menormalisasi suatu vektor a = [a₁, a₂, a₃], bagilah vektor itu dengan panjangnya ||a||. Jadi:

$\mathbf {\hat {a}} ={\frac {\mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|}}={\frac {a_{1}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {a_{2}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {a_{3}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{3}$

Vektor nol (null vector)

Artikel utama: Vektor nol

"Vektor nol" (null vector atau zero vector) adalah suatu vektor yang panjangnya "nol". Penulisan dalam koordinat vektor ini adalah (0,0,0), dan biasanya diberi lambang ${\vec {0}}$, atau 0. Vektor ini berbeda dengan vektor lain, di mana vektor ini tidak dapat dinormalisasi (yaitu, tidak ada vektor satuan yang merupakan kelipatan vektor nol). Jumlah vektor nol dengan vektor apapun a adalah a (yaitu, 0+a=a).

Kesamaan dua vektor

Dua buah vektor dikatakan sama apabila keduanya memiliki panjang dan arah yang sama.

Kesejajaran dua vektor

Dua Buah Vektor disebut sejajar (paralel) apabila garis yang merepresentasikan kedua buah vektor sejajar.

Operasi vektor

Perkalian skalar

Sebuah vektor dapat dikalikan dengan skalar yang akan menghasilkan vektor juga, vektor hasil adalah:

$r\mathbf {a} =(ra_{1})\mathbf {i} +(ra_{2})\mathbf {j} +(ra_{3})\mathbf {k}$

Penambahan vektor dan pengurangan vektor

Sebagai contoh vektor a=a₁i + a₂j + a₃k dan b=b₁i + b₂j + b₃k.

Hasil dari a ditambah b adalah:

$\mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1})\mathbf {i} +(a_{2}+b_{2})\mathbf {j} +(a_{3}+b_{3})\mathbf {k}$

pengurangan vektor juga berlaku dengan cara mengganti tanda + menjadi tanda -

Vektor satuan

Artikel utama: vektor satuan

Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang 1 satuan panjang. Vektor satuan dari sebuah vektor dapat dicari dengan cara:

$\mathbf {\hat {a}} ={\frac {\mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|}}={\frac {a_{1}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {\hat {i}} +{\frac {a_{2}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {\hat {j}} +{\frac {a_{3}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {\hat {k}}$

Lihat pula

• Matematika
• Aljabar linier
• Kalkulus vektor
• Vektor satuan
• Analisis vektor

Bacaan Lebih Lanjut

• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3A Untuk Kelas XII Semester 1 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-504-1.  (Indonesia)

Daftar Pustaka

Vince, John (2007). Vector Analysis for Computer Graphics. London: Springer. hlm. 2. ISBN 978-1-84628-803-6. 

Pranala luar

• (Indonesia) Besaran vektor dan skalar
• (Inggris) Online vector identities Diarsipkan 2012-08-01 di Wayback Machine. (PDF)