Wikipedia

Grup terbangkit terbatas: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
Revisi selanjutnya →
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Klasüo (bicara | kontrib)
1.507 suntingan
←Membuat halaman berisi '{{terjemahan}} Dalam matematika, grup disebut '''terbangkit terbatas''' jika dapat dinyatakan sebagai produk hingga dari subgrup siklik. Sifat terbangkit terbatas juga terkait erat dengan masalah subgrup kongruensi (lihat {{harvnb|Lubotzky|Segal|2003}}). == Definisi == Grup ''G'' disebut ''terbangkit terbatas'' jika terdapat bilangan bagian hingga ''S'' dar...'
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan pranala ke halaman disambiguasi
 
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.196 suntingan
Sudah gak bisa lagi. Berharap ada seseorang yang paham sama topiknya, bisa memperbaiknya.
(4 revisi perantara oleh 2 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{Periksa terjemahan|en|Boundedly generated group}}
 
Dalam [[matematika]], [[grup (matematika)|grup]] disebut '''terbangkit terbatas''' jika dapat dinyatakan sebagai produkhasil hinggakali terhingga dari [[subgrup]] [[grup siklik|siklik]]. Sifat terbangkit terbatas juga terkait erat dengan [[subgrup kongruensi#subgrup kongruensi dan grup topologi|masalah subgrup kongruensi]] (lihat {{harvnb|Lubotzky|Segal|2003}}).
 
== Definisi ==
 
Grup ''G'' disebut ''terbangkit terbatas'' jika terdapat bilangan bagian hinggaterhingga ''S'' dari ''G'' dan [[bilangan bulat]] positif ''m'' positif sehingga setiap elemen ''g'' dari ''G'' bisa direpresentasikanditunjukkan sebagai produkhasil kali dari paling banyak pangkat ''m'' pangkat dari elemen ''S'':
: <math>g = s_1^{k_1} \cdots s_m^{k_m},</math> yang dimanadengan <math>s_i \in S</math> dan <math>k_i</math> adalah bilangan bulat.
 
Himpunan hingga ''S'' menghasilkan ''G'', jadi grup yang dihasilkan secaraterbangkit terbatas adalah [[grup terbangkit hingga|terbangkit terbatasterhingga]].
 
Definisi ekuivalenyang mirip dengan sebelumnya dapat diberikandinyatakan dalam bentuk subgrup [[grup siklik|siklik]]. Grup ''G'' disebut ''terbangkit terbatas'' jika ada keluarga hinggaterhingga ''C''<sub>1</sub>, …, ''C''<sub>''M''</sub> dari subgrup siklik yang belum tentu berbeda sehingga ''G'' = ''C''<sub>1</sub>…''C''<sub>''M''</sub> sebagai sebuahsuatu himpunan.
 
== Sifat ==
Baris 19 ⟶ 20:
* [[Grup torsi]] [[Grup terbangkit hingga|terbangkit terbatas]] tetap ''berhingga'' jika itu merupakan terbangkit terbatas; secara ekuivalen, grup torsi terbangkit terbatas-''tak hingga'' bukan merupakan terbangkit terbatas.
 
Sebuah ''karakter semu'' pada grup diskrit ''G'' didefinisikan sebagai fungsi bernilai [[bilangan real|real]]]- ''f'' pada ''G'' sedemikian rupa sehingga
:''f''(''gh'') &minus; ''f''(''g'') &minus; ''f''(''h'') adalah terbatas seragam dan ''f''(''g''<sup>''n''</sup>) = ''n''·''f''(''g'').
 
Baris 25 ⟶ 26:
 
== Contoh ==
* Jika ''n'' ≥ 3, maka grup SL<sub>''n''</sub>('''Z''') yang merupakan terbangkit terbatas olehdengan ''subgrup dasar''nya'','' dibentuk oleh matriks yang berbeda dari matriks identitas hanya dalam satu entri ''off-diagonal''. Pada tahun 1984, Carter dan Keller memberikan [[bukti matematika|bukti]] dasar dari hasil initersebut, dimotivasiyang olehtermotivasi sebuaholeh pertanyaan dalam [[aljabar teori-K|aljabar {{nowrap|teori-K}}]].
* Sebuah [[grupGrup bebas]] pada setidaknya dua generatorpembangkit bukan merupakan terbangkit terbatas (lihat di bawah).
* Grup SL<sub>2</sub>('''Z''') bukan merupakan terbangkit terbatas, karena berisi subgrup bebas dengan dua generator indeks 12.
* Sebuah [[Gromov-hyperbolicGrup grouphiperbolik Gromov]] merupakan terbangkit terbatas jika dan hanya jika ''siklik virtual'' (atau ''elementer''), yaitu berisi subgrup siklik dari indeks hingga.
 
== Grup bebas yang bukan merupakan terbangkit secara terbatas ==
BeberapaDalam literatur matematika, beberapa penulis telah menyatakan dalam literatur matematika bahwadengan jelas bahwa grup bebas ditingkatkanbangkit hinggaterhingga bukan merupakan ditingkatkanterbangkit secara terbatasterhingga. Bagian ini berisi berbagai cara yang jelas dan kurang jelas untuk membuktikan hal ini. Beberapa metode, karenayang menyentuhmelibatkan [[kohomologi terbatas]] yang penting karena lebih geometris daripadadibandingkan aljabar, sehingga dapat diterapkan pada kelas grup yang lebih luas, misalnya grup hiperbolik Gromov.
 
Karena untuk setiap ''n'' ≥ 2, [[grup bebas]] pada ''2 generator'' F<sub>2</sub> berisi sebagai grup bebas pada generatorpembangkit ''n'' yaitu F<sub>''n''</sub> yang dikenal sebagai subgrup indeks hingga (yang sebenarnya adalah ''n'' − 1), sekali satu grup bebas non-siklik pada banyak generator diketahui yang bukan terbangkit secara terbatas, ini akan berlaku untuk semuanya. Demikian pula, karena SL<sub>2</sub>('''Z''') berisi F<sub>2</sub> sebagai subgrup indeks 12 yang cukup untuk mempertimbangkan SL<sub>2</sub>('''Z'''). Dengan kata lain, untuk menunjukkan bahwa tidak ada F<sub>''n''</sub> dengan ''n'' ≥ 2 memiliki generasi terbatas, cukup untuk membuktikan ini untuk salah satu dari mereka atau bahkan hanya untuk SL<sub>2</sub>('''Z''') .
 
===ContohKontracontoh Burnside Couter===
Karena generasi terbatas dipertahankan di bawah pengambilan gambar homomorfik, jika satu grup yang terbangkit hingga dengan setidaknya dua generator diketahui bukan terbangkit secara terbatas, ini akan berlaku untuk grup bebas pada jumlah generator yang sama, dan karenanya untuk semua grup bebas. Untuk menunjukkan bahwa tidak ada gugus bebas (non-siklik) yang memiliki terbangkit terbatas, maka cukup untuk menghasilkan satu contoh dari grup terbangkit hingga yang bukan terbangkit secara terbatas, dan [[grup torsi]] tak hingga yang terbangkit secara terbatas akan berfungsi. Keberadaan grup tersebut merupakan solusi negatif [[Teorema Gold-Shafarevich|Golod dan Shafarevich]] dari [[Masalah Burnside|masalah Burnside umum]] pada tahun 1964; kemudian, contoh eksplisit lain dari grup torsi terbangkit hingga secara tak hingga dikembangkan oleh Aleshin, Olshanskii, dan Grigorchuk yang menggunakan [[teori automata|automata]]. Akibatnya, grup bebas peringkat setidaknya dua bukan termasuk terbangkit secara terbatas.
 
Baris 43 ⟶ 44:
: log&thinsp;''M''(''n'') ≤ ''n''/''e''
 
dimanadengan ''e'' adalah [[bilangan Euler]] ([[Edmund Landau]] membuktikan perkiraan asimtotik yang lebih tepat log&thinsp;''M''(''n'') ~ (''n'' log&thinsp;''n'')<sup>1/2</sup>). Faktanya jika siklus dalam [[dekomposisi siklus (teori grup)|dekomposisi siklus]] dari [[permutasi]] memiliki panjang ''N''<sub>1</sub>, ..., ''N''<sub>''k''</sub> dengan ''N''<sub>1</sub> + ··· + ''N''<sub>''k''</sub> = ''n'', maka urutan permutasi membagi hasil kali ''N''<sub>1</sub>&thinsp;···&thinsp;''N''<sub>''k''</sub>, yang pada gilirannya dibatasi oleh (''n''/''k'')<sup>''k''</sup>, menggunakan [[ketaksamaan purata aritmetika dan geometrik]]. Sebaliknya, (''n''/''x'')<sup>''x''</sup> dimaksimalkan ketika ''x''&thinsp;=&thinsp;''e''. Jika F<sub>2</sub> dapat ditulis sebagai produk dari subgrup siklik ''m'', maka ''n''! harus kurang dari atau sama dengan ''M''(''n'')<sup>''m''</sup> untuk semua ''n'' yang bertentangan dengan [[hampiran Stirling|rumus asimtotik Stirling]].
 
===Geometri hiperbolik===
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Grup_terbangkit_terbatas"