Subgrup
Artikel ini membutuhkan rujukan tambahan agar kualitasnya dapat dipastikan. (Juni 2009) |
Di teori grup, cabang matematika, diberi grup G di bawah operasi biner ∗, himpunan bagian H dari G disebut subgrup dari G jika H juga membentuk grup di bawah operasi ∗. Lebih tepatnya, H adalah subgrup dari G jika restriksi dari ∗ ke H × H adalah operasi grup di H. Ini biasanya dilambangkan H ≤ G, dibaca sebagai "H adalah subgrup dari G".
Coset dan teorema Lagrange sunting
Diberikan subgrup H dan beberapa a di G, kita mendefinisikan kiri coset aH = {ah : h in H}. Karena a bisa dibalik, peta φ : H → aH diberikan pada φ(h) = ah adalah bijeksi. Lebih jauh, setiap elemen G terkandung tepat di satu koset kiri H ; koset kiri adalah kelas kesetaraan yang sesuai dengan relasi ekivalen a1 ~ a2 jika dan hanya jika a1−1a2 ada di H. Jumlah koset kiri H disebut indeks dari H dalam G dan dilambangkan dengan [G : H].
Teorema Lagrange menyatakan bahwa untuk grup berhingga G dan subgrup H,
![{\displaystyle [G:H]={|G| \over |H|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e64b76d0605e6c7891273e65da28b5e431d4ea4)
dimana |G| dan |H| menunjukkan urutan dari G dan H, masing-masing. Secara khusus, urutan setiap subkelompok G (dan urutan setiap elemen G) harus berupa pembagi dari |G|.[1][2]
Contoh: Subgrup Z8 sunting
Maka G jadikan grup siklik ke Z8 maka hasil elemen
dan yang operasi grupnya adalah penambahan modulo delapan. Tabel Cayley adalah
| + | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 0 | 3 | 5 | 7 | 1 |
| 4 | 4 | 6 | 0 | 2 | 5 | 7 | 1 | 3 |
| 6 | 6 | 0 | 2 | 4 | 7 | 1 | 3 | 5 |
| 1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 2 | 4 | 6 | 0 |
| 3 | 3 | 5 | 7 | 1 | 4 | 6 | 0 | 2 |
| 5 | 5 | 7 | 1 | 3 | 6 | 0 | 2 | 4 |
| 7 | 7 | 1 | 3 | 5 | 0 | 2 | 4 | 6 |
Grup ini memiliki dua subgrup nontrivial: J={0,4} and H={0,2,4,6}, dimana J juga merupakan subgrup dari H. Tabel Cayley untuk H adalah kuadran kiri atas tabel Cayley untuk G . Grup G adalah siklik, dan juga subgrupnya.
Contoh: Subgrup S4 (grup simetris pada 4 elemen) sunting
Setiap grup memiliki subgrup kecil sebanyak elemen netral pada diagonal utama:
The trivial group and two-element groups Z2. These small subgroups are not counted in the following list.
 |
 All 30 subgroups  Simplified Hasse diagrams of the lattice of subgroups of S4 |
12 elements sunting
Subgroups:
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
8 elements sunting
;_subgroup_of_S4.svg) Subgroups: .svg) ;_subgroup_of_S4.svg) |
;_subgroup_of_S4.svg) Subgroups: .svg) ;_subgroup_of_S4.svg) |
;_subgroup_of_S4.svg) Subgroups: .svg) ;_subgroup_of_S4.svg) |
6 elements sunting
.svg) Subgroup: |
.svg) Subgroup: |
.svg) Subgroup: |
.svg) Subgroup: |
4 elements sunting
| |
|
|
|
| |
|
|
3 elements sunting
| |
|
|
|
Lihat pula sunting
Catatan sunting
- ^ Melihat sebuah didactic proof in this video.
- ^ S., Dummit, David (2004). Abstract algebra. Foote, Richard M., 1950- (edisi ke-3.). Hoboken, NJ: Wiley. hlm. 90. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264.
Referensi sunting
- Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (edisi ke-2nd), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1.
- Hungerford, Thomas (1974), Algebra (edisi ke-1st), Springer-Verlag, ISBN 9780387905181.
- Artin, Michael (2011), Algebra (edisi ke-2nd), Prentice Hall, ISBN 9780132413770.
- S., Dummit, David (2004). Abstract algebra. Foote, Richard M., 1950- (edisi ke-3.). Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264.