Wikipedia

Konstanta Apéry: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
HsfBot (bicara | kontrib)
Bot
1.172.010 suntingan
k v2.04b - Fixed using Wikipedia:ProyekWiki Cek Wikipedia (Tanda baca setelah kode "<nowiki></ref></nowiki>")
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.196 suntingan
→Digit yang diketahui: format tanggal
Tag: Suntingan visualeditor-wikitext
 
(9 revisi perantara oleh pengguna yang sama tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{short description|Jumlah dari invers dari pangkat tiga positif}}
{{infobox non-integer number
{| class="infobox bordered" width = 55 cellpadding=5
|rationality=Irasional
| colspan="2" align="center" | {{Bilangan irasional}}
|symbol=''ζ''(3)
|-
|decimal={{gaps|1.20205|69031|59594|2854...}}
|[[Sistem bilangan biner|Biner]]
|algebraic=
| {{gaps|1.0011|0011|1011|1010|…}}
|continued_fraction=<math>1 + \frac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{18 + \cfrac{1}{\ddots\qquad{}}}}}</math>
|-
|continued_fraction_linear=
| [[Desimal]]
| binary={{gaps|1.202050011|690310011|595941011|2854…1010|...}}
|hexadecimal={{gaps|1.33BA|004F|0062|1383|...}}
|-
}}
| [[Heksadesimal]]
| {{gaps|1.33BA|004F|0062|1383|…}}
|-
| [[Pecahan lanjutan]]
| <math>1 + \frac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{18 + \cfrac{1}{\ddots\qquad{}}}}}</math><br><small>Perhatikan bahwa pecahan lanjutan ini tidak terbatas, tetapi tidak diketahui apakah pecahan lanjutan ini [[Pecahan bersambung periodik|berkala]] atau bukan. </small>
|}
 
Dalam [[matematika]], di persimpangan [[teori bilangan]] dan [[fungsi khusus]], '''Konstanta Apéry''' adalah [[penjumlahan|jumlah]] dari [[pembalikan perkalian|kebalikan]] dari [[Kubus (aljabar)|kubus]] positif. Artinya, ini didefinisikan sebagai angka
 
:<math>\begin{align}\zeta(3) &= \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3} \\&= \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1^3} + \frac{1}{2^3} + \cdots + \frac{1}{n^3}\right)\end{align}</math>
 
Dalam [[matematika]], '''konstanta Apéry''' adalah [[penjumlahan|jumlah]] dari invers perkalian denagan pangkat kubik positif. Artinya, konstanta Apéry didefinisikan sebagai bilangan<math display="block">\begin{align}\zeta(3) &= \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3} \\&= \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1^3} + \frac{1}{2^3} + \cdots + \frac{1}{n^3}\right)\end{align}</math>dengan {{math|''ζ''}} adalah [[fungsi zeta Riemann]]. Bilangan ini memiliki nilai yang kira-kira sama dengan{{sfnp|Wedeniwski|2001}}
dimana {{math|''ζ''}} adalah [[fungsi Riemann zeta]]. Ini memiliki nilai perkiraan<ref name="Wedeniwski 2001">Lihat {{harvnb|Wedeniwski|2001}}.</ref>
 
:{{math|''ζ''(3) {{=}} {{gaps|1.20205|69031|59594|28539|97381|61511|44999|07649|86292|…}}}} {{OEIS|id=A002117}}.
 
[[Konstanta (matematika)|konstanta]]Apéry dinamai dari [[Roger Apéry]]. IniKonstanta munculini secarabiasanya alamiditemukan dalam sejumlah masalah fisik, termasukdi antaranya dalam suku orde kedua dan ketiga [[Rasio giromagnetik|rasio gyromagnetic]] elektron dengan menggunakan [[elektrodinamika kuantum]]. IniKonstanta ini juga munculditemukan dalam analisis [[pohon rentang minimum acak]],<ref>Lihat {{harvnb|Frieze|1985}}.</ref> danserta dalammempunyai hubungannyahubungan dengan [[fungsi gamma]] ketika menyelesaikan integral tertentu yang melibatkan fungsi eksponensial dalam hasil bagi, yang kadang-kadangkadangkala munculditemukan dalam fisika, misalnyasebagai contoh, ketika mengevaluasi kasus dimensi dua dimensidari [[model Debye]] dan [[hukum Stefan–Boltzmann]].
 
== Bilangan irasional ==
{{unsolved|matematika|Apakah konstanta Apéry adalah transendental?}}{{math|''ζ''(3)}} dinamaidisebut ''Konstantasebagai konstanta Apéry'', setelahkonstanta ahliyang matematikadinamai dari matematikawan berkebangsaan Prancis, [[Roger Apéry]],. yangRoger Apéry membuktikan padabahwa tahun 1978 bahwakonstanta itu adalah [[bilangan irasional]] pada tahun 1978.<ref name="Apery-1979">Lihat {{harvnb|Apéry|1979}}.</ref> Hasil initersebut dikenal sebagai ''[[Teoremateorema Apéry]]''. Bukti aslinya rumit dan sulit dipahami,<ref>Lihat {{harvnb|van der Poorten|1979}}.</ref> dantetapi kemudian ditemukan bukti yang lebih sederhana ditemukan kemudian.<ref name="Beukers 1979">See {{harvnbharvtxt|Beukers|1979}}.</ref><ref>Lihat; {{harvnbharvtxt|Zudilin|2002}}.</ref>
 
Bukti irasionalitas Beuker yang disederhanakan melibatkan pendekatan integralintegran dari integral rangkap tiga yang diketahuiuntuk <math>\zeta(3)</math>,<math display="block">\zeta(3) = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1-xyz}\, dx\, dy\, dz,</math>
dengan menggunakan [[polinomial Legendre]]. Secara khusus, artikel van der Poorten menulis pendekatan ini dengan menyatakan bahwa <math display="block">I_3 := -\frac{1}{2} \int_0^1 \int_0^1 \frac{P_n(x) P_n(y) \log(xy)}{1-xy}\, dx\, dy = b_n \zeta(3) - a_n, </math>
 
dengan <math display="inline">|I| \leq \zeta(3) (1-\sqrt{2})^{4n}</math>, <math display="inline">P_n(z)</math> adalah [[polinomial Legendre]], dan [[suburutan]] <math display="inline">b_n, 2 \operatorname{lcm}(1,2,\ldots,n) \cdot a_n \in \mathbb{Z}</math> adalah bilangan bulat atau [[hampir bilangan bulat]]. Akan tetapi, masalah yang menanyakan apakah konstanta Apéry adalah [[bilangan transendental|transendental]] masih belum terpecahkan.
:<math>\zeta(3) = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1-xyz}\, dx\, dy\, dz,</math>
oleh [[polinomial Legendre]]. Secara khusus, artikel van der Poorten mencatat pendekatan ini dengan mencatat hal itu
 
== Representasi deret ==
:<math>I_3 := -\frac{1}{2} \int_0^1 \int_0^1 \frac{P_n(x) P_n(y) \log(xy)}{1-xy}\, dx\, dy = b_n \zeta(3) - a_n, </math>
 
dimana <math>|I| \leq \zeta(3) (1-\sqrt{2})^{4n}</math>, <math>P_n(z)</math> adalah [[polinomial Legendre]], dan [[urutan]] <math>b_n, 2 \operatorname{lcm}(1,2,\ldots,n) \cdot a_n \in \mathbb{Z}</math> adalah bilangan bulat atau [[hampir bilangan bulat]].
 
Masih belum diketahui apakah konstanta Apéry adalah [[bilangan transendental|transendental]].
 
== Wakilan deret ==
 
=== Klasik ===
Selain mempunyai deret<math display="block">\zeta(3)=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3},</math>[[Leonhard Euler]] memberikan representasi deret{{sfnp|Euler|1773}}<math display="block">\zeta(3)=\frac{\pi^2}{7} \left( 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {2^{2k}(2k+1)(2k+2)} \right)</math>pada tahun 1772, yang kemudian ditemukan kembali berulang kali.{{sfnp|Srivastava|2000|loc=hlm. 571 (1.11)}}
Selain deret dasar:
=== Konvergensi cepat ===
:<math>\zeta(3)=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3},</math>
Sejak pada abad ke-19, sejumlah matematikawwan telah menemukan deret percepatan konvergensi untuk menghitung letak desimal {{math|''ζ''(3)}}. Sejak pada tahun 1990-an, terdapat riset yang bertujuan untuk mencari deret yang efisien secara komputasional dengan tingkat konvergensi yang cepat (lihat bagian "[[Tetapan Apéry#Digit yang diketahui|Digit yang diketahui]]").
[[Leonhard Euler]] memberikan wakilan deret:<ref>Lihat {{harvnb|Euler|1773}}.</ref>
:<math>\zeta(3)=\frac{\pi^2}{7} \left( 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {2^{2k}(2k+1)(2k+2)} \right)</math>
pada tahun 1772, yang kemudian ditemukan kembali beberapa kali.<ref>Lihat {{harvnb|Srivastava|2000|loc=p. 571 (1.11)}}.</ref>
 
Representasi deret berikut ditemukan oleh [[Andrey Markov]] pada tahun 1890,<ref>Lihat {{harvnb|Markov|1890}}.</ref> kemudian ditemukan kembali oleh Hjortnaes pada tahun 1953,<ref>Lihat {{harvnb|Hjortnaes|1953}}.</ref> dan sekali lagi, representasi deret tersebut ditemukan kembali dan diperkenalkan secara luas oleh Apéry pada tahun 1979:<ref name="Apery-1979" /><math display="block">\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{k!^2}{(2k)!k^3}.</math>Representasi deret berikut ditemukan oleh Amdeberhan pada tahun 1996, yang memberikan (secara asimtotik) 1,43 dengan pembulatan letak desimal terbaru per suku:{{sfnp|Amdeberhan|1996}}<math display="block">\zeta(3) = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{(k-1)!^3(56k^2 - 32k + 5)}{(2k-1)^2(3k)!}.</math>
Wakilan deret klasik lainnya termasuk:
:<math>\begin{align} \zeta(3) &= \frac{8}{7} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^3} \\ \zeta(3) &= \frac{4}{3} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(k+1)^3} \end{align}</math>
 
Representasi deret berikut ditemukan oleh Amdeberhan dan Zeilberger pada tahun 1997, yang memberikan (secara asimtotik) 3,01 dengan pembulatan letak desimal dengan terbaru per suku:{{sfnp|Amdeberhan|Zeilberger|1997}}<math display="block">\zeta(3) = \frac{1}{64} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{k!^{10}(205k^2 + 250k + 77)}{(2k+1)!^5}.</math>
=== Kekonvergenan cepat ===
Sejak abad ke-19, sejumlah ahli matematika telah menemukan deret percepatan konvergensi untuk menghitung tempat desimal {{math|''ζ''(3)}}. Sejak tahun 1990-an, pencarian ini telah difokuskan pada rangkaian yang efisien secara komputasi dengan tingkat konvergensi yang cepat (lihat bagian "[[#Digit yang diketahui|Digit yang diketahui]]").
 
Representasi deret berikut ditemukan oleh Sebastian Wedeniwski pada tahun 1998, yang memberikan (secara asimtotik) 5,04 dengan pembulatan letak desimal yang baru per suku:<ref>Lihat {{harvnb|Wedeniwski|1998}} dan {{harvnb|Wedeniwski|2001}}. Dalam pesannya kepada Simon Plouffe, Sebastian Wedeniwski mengatakan bahwa ia mendapatkan rumus ini dari {{harvnb|Amdeberhan|Zeilberger|1997}}. Penemuannya pada tahun 1998 disebutkan dalam [http://plouffe.fr/simon/articles/TableofRecords.pdf Simon Plouffe's Table of Records] (8 April 2001).</ref><math display="block">\zeta(3) = \frac{1}{24} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{(2k+1)!^3(2k)!^3k!^3(126392k^5 + 412708k^4 + 531578k^3 + 336367k^2 + 104000k + 12463)}{(3k+2)!(4k+3)!^3}.</math>Representasi deret ini digunakan oleh Wedeniwski untuk menghitung konstanta Apéry dengan jutaan pembulatan letak desimal.<ref>{{harvtxt|Wedeniwski|1998}}; {{harvtxt|Wedeniwski|2001}}.</ref>
Wakilan deret berikut ditemukan oleh A.A. Markov pada tahun 1890,<ref>Lihat {{harvnb|Markov|1890}}.</ref> ditemukan kembali oleh Hjortnaes pada tahun 1953,<ref>Lihat {{harvnb|Hjortnaes|1953}}.</ref> dan ditemukan kembali sekali lagi dan diiklankan secara luas oleh Apéry pada tahun 1979:<ref name="Apery-1979" />
:<math>\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{k!^2}{(2k)!k^3}</math>
 
WakilanRepresentasi deret berikut, ditemukan oleh AmdeberhanMohamud Mohammed pada tahun 19962005, yang memberikan (secara asimtotik) 3,92 dengan pembulatan letak desimal desimal terbaru per suku:<ref>Lihat {{harvnb|AmdeberhanMohammed|19962005}}.</ref><math memberikan display="block">\zeta(secara asimtotik3) = \frac{1}{2}\,43\sum_{k=0}^\infty tempat\frac{(-1)^k(2k)!^3(k+1)!^6(40885k^5 desimal+ koreksi124346k^4 baru+ per150160k^3 suku:+ 89888k^2 + 26629k + 3116)}{(k+1)^2(3k+3)!^4}.</math>
:<math>\zeta(3) = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{(k-1)!^3(56k^2 - 32k + 5)}{(2k-1)^2(3k)!}</math>
 
=== Perhitungan menggunakan digit ===
Wakilan deret berikut, ditemukan oleh Amdeberhan dan Zeilberger pada tahun 1997,<ref>Lihat {{harvnb|Amdeberhan|Zeilberger|1997}}.</ref> memberikan (secara asimtotik) 3,01 tempat desimal koreksi baru per suku:
Pada tahun 1998, Broadhurst memberikan representasi deret yang memungkinkan menghitung [[digit biner]] sembarang, dan untuk konstanta yang akan diperoleh dalam [[waktu linier]] dekat, dan [[ruang logaritma]].<ref>Lihat {{harvnb|Broadhurst|1998}}.</ref>
:<math>\zeta(3) = \frac{1}{64} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{k!^{10}(205k^2 + 250k + 77)}{(2k+1)!^5}</math>
 
=== Representasi deret lainnya ===
Wakilan deret berikut, ditemukan oleh Sebastian Wedeniwski pada tahun 1998,<ref>Lihat {{harvnb|Wedeniwski|1998}} dan {{harvnb|Wedeniwski|2001}}. Dalam pesannya kepada Simon Plouffe, Sebastian Wedeniwski menyatakan bahwa dia mendapatkan rumus ini dari {{harvnb|Amdeberhan|Zeilberger|1997}}. Penemuannay tahun (1998) disebutkan dalam [http://plouffe.fr/simon/articles/TableofRecords.pdf Simon Plouffe's Table of Records] (8 April 2001).</ref> memberikan (tanpa gejala) 5,04 tempat desimal koreksi baru per suku:
Representasi deret berikut ditemukan oleh [[Ramanujan]]:<ref>Lihat {{harvnb|Berndt|1989|loc=bab 14, rumus 25.1 dan 25.3}}.</ref><math display="block">\zeta(3)=\frac{7}{180}\pi^3 -2 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)}.</math>
:<math>\zeta(3) = \frac{1}{24} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{(2k+1)!^3(2k)!^3k!^3(126392k^5 + 412708k^4 + 531578k^3 + 336367k^2 + 104000k + 12463)}{(3k+2)!(4k+3)!^3}</math>
 
Representasi deret berikut ditemukan oleh [[Simon Plouffe]] pada tahun 1998:<ref>Lihat {{harvnb|Plouffe|1998}}.</ref><math display="block">\zeta(3)= 14 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 \sinh(\pi k)}-\frac{11}{2}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)}-\frac{7}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} +1)}.</math>
Ini digunakan oleh Wedeniwski untuk menghitung konstanta Apéry dengan beberapa juta tempat desimal yang benar.<ref>Lihat {{harvnb|Wedeniwski|1998}} dan {{harvnb|Wedeniwski|2001}}.</ref>
 
{{harvtxt|Srivastava|2000}} mengumpulkan banyak deret yang konvergen menuju ke konstanta Apéry.
Wakilan deret berikut, ditemukan oleh Mohamud Mohammed pada tahun 2005,<ref>Lihat {{harvnb|Mohammed|2005}}.</ref> memberikan (secara asimtotik) 3.92 tempat desimal koreksi baru per suku:
:<math>\zeta(3) = \frac{1}{2}\,\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k(2k)!^3(k+1)!^6(40885k^5 + 124346k^4 + 150160k^3 + 89888k^2 + 26629k + 3116)}{(k+1)^2(3k+3)!^4}</math>
 
== Representasi integral ==
=== Digit demi digit ===
Ada banyak representasi integral untuk konstanta Apéry. Ada representasi integral yang sederhana, adapula yang tidak.
Pada tahun 1998, Broadhurst<ref>Lihat {{harvnb|Broadhurst|1998}}.</ref> memberikan wakilan deret yang memungkinkan [[digit biner]] sembarang untuk dihitung, dan dengan demikian, untuk tetapan yang akan diperoleh di [[waktu linier]] dekat, dan [[ruang logaritma]].
 
=== Lainnya ===
Wakilan deret berikut ditemukan oleh [[Ramanujan]]:<ref>Lihat {{harvnb|Berndt|1989|loc=bab 14, rumus 25.1 dan 25.3}}.</ref>
:<math>\zeta(3)=\frac{7}{180}\pi^3 -2 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)}</math>
 
Wakilan deret berikut ditemukan oleh [[Simon Plouffe]] pada tahun 1998:<ref>Lihat {{harvnb|Plouffe|1998}}.</ref>
:<math>\zeta(3)= 14 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 \sinh(\pi k)}-\frac{11}{2}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)}-\frac{7}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} +1)}.</math>
 
Srivastava<ref>Lihat {{harvnb|Srivastava|2000}}.</ref> mengumpulkan banyak deret yang menyatu dengan tetapan Apéry.
 
== Wakilan integral ==
Ada banyak wakilan integral untuk tetapan Apéry. Beberapa di antaranya sederhana, yang lainnya lebih rumit.
 
=== Rumus sederhana ===
Sebagai contoh, berikut ini dari wakilan penjumlahan untuk konstanta Apéry:
:<math>\zeta(3) =\int_0^1\!\! \int_0^1\!\! \int_0^1 \frac{1}{1-xyz}\, dx\,dy\,dz </math>.
 
Dua berikutnya mengikuti langsung dari rumus integral terkenal untuk [[fungsi Riemann zeta]]:
:<math>\zeta(3) =\frac{1}{2}\int_0^\infty \frac{x^2}{e^x-1}\, dx </math>
dan
:<math>\zeta(3) =\frac{2}{3}\int_0^\infty \frac{x^2}{e^x+1}\, dx </math>.
 
Yang ini mengikuti dari pengembangan Taylor {{math|''χ''<sub>3</sub>(''e<sup>ix</sup>'')}} tentang {{math|''x'' {{=}} ±{{sfrac|π|2}}}}, dimana {{math|''χ''<sub>''ν''</sub>(''z'')}} adalah [[fungsi chi Legendre]]:
:<math>\zeta(3) =\frac{4}{7}\int_0^\frac{\pi}{2} x \log{(\sec{x}+\tan{x})}\, dx </math>
Perhatikan kesamaannya dengan
:<math>G =\frac{1}{2}\int_0^\frac{\pi}{2} \log{(\sec{x}+\tan{x})}\, dx </math>
dimana {{mvar|G}} adalah [[tetapan Catalan]].
 
=== Rumus yang lebih rumit ===
Terdapat rumus lain, yaitu{{sfnp|Jensen|1895}}<math display="block">\zeta(3)=\pi\!\!\int_{0}^{\infty} \! \frac{\cos(2\arctan{x})}{\left(x^2+1\right)\left(\cosh\frac{1}{2}\pi x\right)^2}\, dx,</math>dan{{sfnp|Beukers|1979}}<math display="block">\zeta(3) =-\frac{1}{2}\int_0^1 \!\!\int_0^1 \frac{\log(xy)}{\,1-xy\,}\, dx \, dy = -\int_0^1 \!\!\int_0^1 \frac{\log(1-xy)}{\,xy\,}\, dx \, dy.</math>
Contohnya, salah satu rumus ditemukan oleh [[Johan Jensen (matematikawan)|Johan Jensen]]:<ref>Lihat {{harvnb|Jensen|1895}}.</ref>
:<math>\zeta(3)=\pi\!\!\int_{0}^{\infty} \! \frac{\cos(2\arctan{x})}{\left(x^2+1\right)\left(\cosh\frac{1}{2}\pi x\right)^2}\, dx</math>,
lainnya oleh F. Beukers:<ref name="Beukers 1979"/>
:<math>\zeta(3) =-\frac{1}{2}\int_0^1 \!\!\int_0^1 \frac{\log(xy)}{\,1-xy\,}\, dx \, dy = -\int_0^1 \!\!\int_0^1 \frac{\log(1-xy)}{\,xy\,}\, dx \, dy</math>,
Dengan mencampurkan kedua rumus ini, seseorang dapat memperoleh:
:<math>\zeta(3) =\int_0^1 \!\! \frac{\log(x)\log(1-x)}{\,x\,}\, dx </math>,
Oleh simetri,
:<math>\zeta(3) =\int_0^1 \!\! \frac{\log(x)\log(1-x)}{\,1-x\,}\, dx </math>,
Menjumlahkan keduanya,
 
:<math>\zeta(3) =\frac{1}{2}\int_0^1 \!\! \frac{\log(x)\log(1-x)}{\,x(1-x)\,}\, dx </math>.
 
Satu lagi oleh Iaroslav Blagouchine:<ref name="iaroslav_06">Lihat {{harvnb|Blagouchine|2014}}.</ref>
:<math>\begin{align} \zeta(3) &= \frac{8\pi^2}{7}\!\!\int_0^1 \! \frac{x\left(x^4-4x^2+1\right)\log\log\frac{1}{x}}{\,(1+x^2)^4\,}\, dx \\&= \frac{8\pi^2}{7}\!\!\int_1^\infty \!\frac{x\left(x^4-4x^2+1\right)\log\log{x}}{\,(1+x^2)^4\,}\, dx\end{align}</math>.
Hubungan Evgrafovto dengan yang lain untuk turunan dari [[fungsi gamma]]
:<math>\zeta(3) = -\tfrac{1}{2}\Gamma'''(1)+\tfrac{3}{2}\Gamma'(1)\Gamma''(1)- \big(\Gamma'(1)\big)^3 = -\tfrac{1}{2} \, \psi^{(2)}(1)</math>
juga sangat berguna untuk penurunan berbagai representasi integral melalui rumus integral yang diketahui untuk gamma dan [[fungsi poligamma]].<ref>Lihat {{harvnb|Evgrafov|Bezhanov|Sidorov|Fedoriuk|1969|loc=latihan 30.10.1}}.</ref>
 
Rumus yang lebih rumit lainnya juga adalah:{{sfnp|Blagouchine|2014}}<math display="block">\begin{align} \zeta(3) &= \frac{8\pi^2}{7}\!\!\int_0^1 \! \frac{x\left(x^4-4x^2+1\right)\log\log\frac{1}{x}}{\,(1+x^2)^4\,}\, dx \\&= \frac{8\pi^2}{7}\!\!\int_1^\infty \!\frac{x\left(x^4-4x^2+1\right)\log\log{x}}{\,(1+x^2)^4\,}\, dx.\end{align}</math>Terdapat sebuah kaitan dengan turunan dari [[fungsi gamma]]<math display="block">\zeta(3) = -\tfrac{1}{2}\Gamma'''(1)+\tfrac{3}{2}\Gamma'(1)\Gamma''(1)- \big(\Gamma'(1)\big)^3 = -\tfrac{1}{2} \, \psi^{(2)}(1),</math>dan rumus tersebut juga sangat berguna untuk menghitung turunan dari berbagai representasi integral dengan menggunakan rumus integral yang diketahui untuk gamma dan [[fungsi poligamma]].{{sfnp|Evgrafov|Bezhanov|Sidorov|Fedoriuk|1969|loc=exercise 30.10.1}}
== Digit yang diketahui ==
JumlahSelama digitbeberapa konstantadekade Apéryterakhir, jumlah digit yang diketahui dari konstanta Apéry {{math|''ζ''(3)}} hassemakin meningkat secara dramatis selama beberapa dekadebanyak. terakhir.Hal Iniini disebabkan olehkarena peningkatan kinerja komputer dan peningkatan algoritme yang berkembang.
 
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
|+ Jumlah digit desimal konstanta Apéry yang diketahui dari konstanta Apéry {{math|''ζ''(3)}}
! Tanggal || Angka desimal || Perhitungan dilakukan oleh
|-
Baris 146 ⟶ 82:
| Juli 1998 ||align="right"| {{val|64000091}} || Sebastian Wedeniwski
|-
| Desember 1998 ||align="right"| {{val|128000026}} || Sebastian Wedeniwski<ref name="{{sfnp|Wedeniwski |2001"/>}}
|-
| September 2001 ||align="right"| {{val|200001000}} || Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
Baris 156 ⟶ 92:
| April 2006 ||align="right"| {{val|10000000000}} || Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
|-
| Januari 21, Januari 2009 ||align="right"| {{val|15510000000}} || Alexander J. Yee & Raymond Chan<ref name="Yee-2009">Lihat {{harvnb|Yee|2009}}.</ref>
|-
| Februari 15, Februari 2009 ||align="right"| {{val|31026000000}} || Alexander J. Yee & Raymond Chan<ref name="Yee-2009" />
|-
| September 17, September 2010 ||align="right"| {{val|100000001000}} || Alexander J. Yee<ref name="Yee-2017">Lihat {{harvnb|Yee|2017}}.</ref>
|-
| September 23, September 2013 ||align="right"| {{val|200000001000}} || Robert J. Setti<ref name="Yee-2017" />
|-
| Agustus 7, Agustus 2015 ||align="right"| {{val|250000000000}} || Ron Watkins<ref name="Yee-2017" />
|-
| Desember 21, Desember 2015 ||align="right"| {{val|400000000000}} || Dipanjan Nag<ref name="Nag-2015">Lihat {{harvnb|Nag|2015}}.</ref>
|-
| Agustus 13, Agustus 2017 ||align="right"| {{val|500000000000}} || Ron Watkins<ref name="Yee-2017" />
|-
| Mei 26, Mei 2019 ||align="right"| {{val|1000000000000}} || Ian Cutress<ref>{{Cite web|url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html|title=Records set by y-cruncher|access-date=June 8, 2019}}</ref>
|-
| Juli 26, Juli 2020 ||align="right"| {{val|1200000000100}} || Seungmin Kim<ref>{{Cite web|url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/|title=Records set by y-cruncher|archive-url=https://web.archive.org/web/20200810062250/http://www.numberworld.org/y-cruncher/|access-date=August 10, Agustus 2020|archive-date=2020-08-10}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://smkm.github.io/world-record/aperys-constant/|title=Apéry's constant world record by Seungmin Kim|access-date=July 28, Juli 2020|archive-date=2020-08-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20200803203946/https://smkm.github.io/world-record/aperys-constant/|dead-url=yes}}</ref>
|}
 
Baris 185 ⟶ 121:
== Referensi ==
{{refbegin|30em}}
*{{Citation|first=Tewodros|last=Amdeberhan|title=Faster and faster convergent series for <math>\zeta(3)</math>|journal=El. J. Combinat.|year=1996|volume=3|issue=1|url=http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v3i1r13}}.
*{{Citation
*{{Citation|first1=Tewodros|last1=Amdeberhan|first2=Doron|last2=Zeilberger|title=Hypergeometric Series Acceleration Via the WZ method|journal=El. J. Combinat.|year=1997|volume=4|issue=2|arxiv=math/9804121|bibcode=1998math......4121A|url=http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v4i2r3}}.
| first = Tewodros
*{{Citation|first=Roger|last=Apéry|title=Irrationalité de <math>\zeta 2</math> et <math>\zeta 3</math>|year=1979|journal=Astérisque|volume=61|pages=11–13|url=http://www.numdam.org/item/AST_1979__61__11_0/}}.
| last = Amdeberhan
*{{Citation|first=Bruce C.|last=Berndt|title=Ramanujan's notebooks, Part II|year=1989|publisher=[[Springer-Verlag|Springer]]}}.
| title = Faster and faster convergent series for <math>\zeta(3)</math>
*{{Citation|first=F.|last=Beukers|title=A Note on the Irrationality of <math>\zeta(2)</math> and <math>\zeta(3)</math>|journal=Bull. London Math. Soc.|volume=11|issue=3|pages=268–272|year=1979|doi=10.1112/blms/11.3.268}}.
| journal = El. J. Combinat.
*{{Citation|first=Iaroslav V.|last=Blagouchine|title=Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results|journal=The Ramanujan Journal|volume=35|number=1|pages=21–110|year=2014|doi=10.1007/s11139-013-9528-5|s2cid=120943474}}.
| year = 1996
*{{Citation|first=D.J.|last=Broadhurst|title=Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of <math>\zeta(3)</math> and <math>\zeta(5)</math>|year=1998|arxiv=math.CA/9803067}}.
| volume = 3
*{{Citation|first=Leonhard|last=Euler|author-link=Leonhard Euler|year=1773|title=Exercitationes analyticae|journal=Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae|volume=17|pages=173–204|url=http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E432.pdf|language=la|access-date=2008-05-18}}.
| issue = 1
*{{Citation|first1=M. A.|last1=Evgrafov|first2=K. A.|last2=Bezhanov|first3=Y. V.|last3=Sidorov|first4=M. V.|last4=Fedoriuk|first5=M. I.|last5=Shabunin|title=A Collection of Problems in the Theory of Analytic Functions [in Russian]|publisher=Nauka|location=Moscow|year=1969}}.
| url = http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v3i1r13
*{{citation|last=Frieze|first=A. M.|author-link=Alan M. Frieze|doi=10.1016/0166-218X(85)90058-7|issue=1|journal=[[Discrete Applied Mathematics]]|mr=770868|pages=47–56|title=On the value of a random minimum spanning tree problem|volume=10|year=1985|doi-access=free}}.
}}.
*{{Citation|first1=Xavier|last1=Gourdon|first2=Pascal|last2=Sebah|title=The Apéry's constant: <math>\zeta(3)</math>|year=2003|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Zeta3/zeta3.html}}.
*{{Citation
*{{Citation|first=M. M.|last=Hjortnaes|title=Overføring av rekken <math>\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{k^3}\right)</math> til et bestemt integral, in Proc. 12th Scandinavian Mathematical Congress|location=Lund, Sweden|date=August 1953|publisher=Scandinavian Mathematical Society|pages=211–213}}.
| first1 = Tewodros
*{{Citation|first=Johan Ludwig William Valdemar|last=Jensen|author-link=Johan Jensen (mathematician)|title=Note numéro 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses du MM. Franel et Kluyver|journal=L'Intermédiaire des Mathématiciens|volume=II|pages=346–347|year=1895}}.
| last1 = Amdeberhan
*{{Citation|first=A. A.|last=Markov|author-link=Andrey Markov|title=Mémoire sur la transformation des séries peu convergentes en séries très convergentes|journal=Mém. De l'Acad. Imp. Sci. De St. Pétersbourg|volume=t. XXXVII, No. 9|pages=18pp|year=1890}}.
| first2 = Doron
*{{Citation|first=Mohamud|last=Mohammed|title=Infinite families of accelerated series for some classical constants by the Markov-WZ method|journal=Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science|volume=7|pages=11–24|year=2005|doi=10.46298/dmtcs.342}}.
| last2 = Zeilberger
*{{citation|title=Advanced Number Theory with Applications|series=Discrete Mathematics and Its Applications|first=Richard A.|last=Mollin|publisher=CRC Press|year=2009|isbn=9781420083293|page=220|url=https://books.google.com/books?id=6I1setlljDYC&pg=PA220}}.
| title = Hypergeometric Series Acceleration Via the WZ method
*{{Citation|first=Simon|last=Plouffe|title=Identities inspired from Ramanujan Notebooks II|year=1998|url=http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/identities.html}}.
| journal = El. J. Combinat.
*{{Citation|first=Tanguy|last=Rivoal|title=La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs|journal=Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I|volume=331|issue=4|year=2000|pages=267–270|doi=10.1016/S0764-4442(00)01624-4|bibcode=2000CRASM.331..267R|arxiv=math/0008051|s2cid=119678120}}.
| year = 1997
*{{Citation|last=Srivastava|first=H. M.|title=Some Families of Rapidly Convergent Series Representations for the Zeta Functions|journal=Taiwanese Journal of Mathematics|date=December 2000|volume=4|issue=4|pages=569–599|doi=10.11650/twjm/1500407293|url=http://society.math.ntu.edu.tw/~journal/tjm/V4N4/tjm0012_3.pdf|oclc=36978119|access-date=2015-08-22|doi-access=free}}.
| volume = 4
*{{Citation|first=Alfred|last=van der Poorten|author-link=Alfred van der Poorten|title=A proof that Euler missed ... Apéry's proof of the irrationality of <math>\zeta(3)</math>|journal=[[The Mathematical Intelligencer]]|volume=1|issue=4|year=1979|pages=195–203|doi=10.1007/BF03028234|s2cid=121589323|url=http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20110706114957/http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf|archive-date=2011-07-06}}.
| issue = 2
*{{Citation|first=Sebastian|last=Wedeniwski|title=The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places|editor=Simon Plouffe|year=2001|publisher=Project Gutenberg|url=http://www.gutenberg.org/cache/epub/2583/pg2583.html}} (Message to Simon Plouffe, with all decimal places but a shorter text edited by Simon Plouffe).
| arxiv = math/9804121
*{{Citation|first=Sebastian|last=Wedeniwski|title=The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places|url=http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/Zeta3.txt|date=13 December 1998}} (Message to Simon Plouffe, with original text but only some decimal places).
| bibcode = 1998math......4121A
*{{Citation|first=Alexander J.|last=Yee|title=Large Computations|year=2009|url=http://www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html}}.
| url = http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v4i2r3
*{{Citation|first1=Alexander J.|last1=Yee|title=Zeta(3) - Apéry's Constant|year=2017|url=http://www.numberworld.org/digits/Zeta%283%29/}}
}}.
*{{Citation
| first = Roger
| last = Apéry
| title = Irrationalité de <math>\zeta 2</math> et <math>\zeta 3</math>
| year = 1979
| journal = Astérisque
| volume = 61
| pages = 11–13
| url = http://www.numdam.org/item/AST_1979__61__11_0/
}}.
*{{Citation
| first = Bruce C.
| last = Berndt
| title = Ramanujan's notebooks, Part II
| year = 1989
| publisher = [[Springer-Verlag|Springer]]
}}.
*{{Citation
| first = F.
| last = Beukers
| title = A Note on the Irrationality of <math>\zeta(2)</math> and <math>\zeta(3)</math>
| journal = Bull. London Math. Soc.
| volume = 11
| issue = 3
| pages = 268–272
| year = 1979
| doi=10.1112/blms/11.3.268
}}.
*{{Citation
| first = Iaroslav V.
| last = Blagouchine
| title = Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results
| journal = The Ramanujan Journal
| volume = 35
| number = 1
| pages = 21–110
| year = 2014
| doi=10.1007/s11139-013-9528-5
| s2cid = 120943474
}}.
*{{Citation
| first = D.J.
| last = Broadhurst
| title = Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of <math>\zeta(3)</math> and <math>\zeta(5)</math>
| year = 1998
| arxiv = math.CA/9803067
}}.
*{{Citation
| first = Leonhard
| last = Euler
| authorlink = Leonhard Euler
| year = 1773
| title = Exercitationes analyticae
| journal = Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae
| volume = 17
| pages = 173–204
| url = http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E432.pdf
| language = Latin
| accessdate = 2008-05-18
}}.
*{{Citation
| first1 = M. A.
| last1 = Evgrafov
| first2 = K. A.
| last2 = Bezhanov
| first3 = Y. V.
| last3 = Sidorov
| first4 = M. V.
| last4 = Fedoriuk
| first5 = M. I.
| last5 = Shabunin
| title = A Collection of Problems in the Theory of Analytic Functions [in Russian]
| publisher = Nauka
| location = Moscow
| year = 1969
}}.
*{{citation
| last = Frieze | first = A. M. | authorlink = Alan M. Frieze
| doi = 10.1016/0166-218X(85)90058-7
| issue = 1
| journal = [[Discrete Applied Mathematics]]
| mr = 770868
| pages = 47–56
| title = On the value of a random minimum spanning tree problem
| volume = 10
| year = 1985}}.
*{{Citation
| first1 = Xavier
| last1 = Gourdon
| first2 = Pascal
| last2 = Sebah
| title = The Apéry's constant: <math>\zeta(3)</math>
| year = 2003
| url = http://numbers.computation.free.fr/Constants/Zeta3/zeta3.html
}}.
*{{Citation
| first = M. M.
| last = Hjortnaes
| title = Overføring av rekken <math>\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{k^3}\right)</math> til et bestemt integral, in Proc. 12th Scandinavian Mathematical Congress
| location = Lund, Sweden
| date = August 1953
| publisher = Scandinavian Mathematical Society
| pages = 211–213
}}.
*{{Citation
| first = Johan Ludwig William Valdemar
| last = Jensen
| title = Note numéro 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses du MM. Franel et Kluyver
| journal = L'Intermédiaire des Mathématiciens
| volume = II
| pages = 346–347
| year = 1895
}}.
*{{Citation
| first = A.A.
| last = Markov
| title = Mémoire sur la transformation des séries peu convergentes en séries très convergentes
| journal = Mém. De l'Acad. Imp. Sci. De St. Pétersbourg
| volume = t. XXXVII, No. 9
| pages = 18pp
| year = 1890
}}.
*{{Citation
| first = Mohamud
| last = Mohammed
| title = Infinite families of accelerated series for some classical constants by the Markov-WZ method
| journal = Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science
| volume = 7
| pages = 11–24
| year = 2005
}}.
*{{citation|title=Advanced Number Theory with Applications|series=Discrete Mathematics and Its Applications
|first=Richard A. |last= Mollin
|publisher=CRC Press|year= 2009|isbn= 9781420083293
|page=220|url=https://books.google.com/books?id=6I1setlljDYC&pg=PA220}}.
*{{Citation
| first = Simon
| last = Plouffe
| title = Identities inspired from Ramanujan Notebooks II
| year = 1998
| url = http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/identities.html
}}.
*{{Citation
| first = Simon
| last = Plouffe
| url = http://www.worldwideschool.org/library/books/sci/math/MiscellaneousMathematicalConstants/chap97.html
| title = Zeta(3) or Apéry constant to 2000 places<!--undated-->
}}.
*{{Citation
| first = V.
| last = Ramaswami
| title = Notes on Riemann's <math>\zeta</math>-function
| year = 1934
| journal = J. London Math. Soc.
| volume = 9
| issue = 3
| pages = 165–169
| doi = 10.1112/jlms/s1-9.3.165
}}.
*{{Citation
| first = Tanguy
| last = Rivoal
| title = La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs
| journal = Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I
| volume = 331
| issue = 4
| year = 2000
| pages=267–270
| doi = 10.1016/S0764-4442(00)01624-4
| bibcode = 2000CRASM.331..267R
|arxiv = math/0008051 | s2cid = 119678120
}}.
*{{Citation
|first=Robert J.
|last=Setti
|year=2015
|title=Apéry's Constant - Zeta(3) - 200 Billion Digits
|url=http://settifinancial.com/01042-aperys-constant-zeta3-world-record-computation/
|url-status=dead
|archiveurl=https://web.archive.org/web/20131008192006/http://settifinancial.com/01042-aperys-constant-zeta3-world-record-computation
|archivedate=2013-10-08
}}.
*{{Citation
| last = Srivastava
| first = H. M.
| title = Some Families of Rapidly Convergent Series Representations for the Zeta Functions
| journal = Taiwanese Journal of Mathematics
|date=December 2000
| volume = 4
| issue = 4
| pages = 569–599
| doi = 10.11650/twjm/1500407293
| url = http://society.math.ntu.edu.tw/~journal/tjm/V4N4/tjm0012_3.pdf
| oclc =36978119
| accessdate = 2015-08-22
}}.
*{{Citation
|first=Alfred
|last=van der Poorten
|author-link=Alfred van der Poorten
|title=A proof that Euler missed ... Apéry's proof of the irrationality of <math>\zeta(3)</math>
|journal=[[The Mathematical Intelligencer]]
|volume=1
|issue=4
|year=1979
|pages=195–203
|doi=10.1007/BF03028234
|s2cid=121589323
|url=http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf
|url-status=dead
|archiveurl=https://web.archive.org/web/20110706114957/http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf
|archivedate=2011-07-06
}}.
*{{Citation
| first = Sebastian
| last = Wedeniwski
| title = The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places
| editor = Simon Plouffe
| year = 2001
| publisher = Project Gutenberg
| url = http://www.gutenberg.org/cache/epub/2583/pg2583.html
}} (Message to Simon Plouffe, with all decimal places but a shorter text edited by Simon Plouffe).
*{{Citation
| first = Sebastian
| last = Wedeniwski
| title = The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places
| url = http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/Zeta3.txt
| date = 13 December 1998
}} (Message to Simon Plouffe, with original text but only some decimal places).
*{{mathworld
| title = Apéry's constant
| urlname = AperysConstant
}}
*{{Citation
| first = Alexander J.
| last = Yee
| title = Large Computations
| year = 2009
| url = http://www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html
}}.
*{{Citation
| first1 = Alexander J.
| last1 = Yee
| title = Zeta(3) - Apéry's Constant
| year = 2017
| url = http://www.numberworld.org/digits/Zeta%283%29/
}}
 
*{{Citation|first1=Dipanjan|last1=Nag|title=Calculated Apéry's constant to 400,000,000,000 Digit, A world record|year=2015|url=https://dipanjan.me/calculated-aperysconstant-upto-400000000000-digit-a-world-record/}}
*{{Citation
*{{Citation|first=Wadim|last=Zudilin|title=One of the numbers <math>\zeta(5)</math>, <math>\zeta(7)</math>, <math>\zeta(9)</math>, <math>\zeta(11)</math> is irrational|journal=Russ. Math. Surv.|year=2001|volume=56|pages=774–776|doi=10.1070/RM2001v056n04ABEH000427|issue=4|bibcode=2001RuMaS..56..774Z}}.
| first1 = Dipanjan
*{{Citation|first=Wadim|last=Zudilin|title=An elementary proof of Apéry's theorem|arxiv=math/0202159|year=2002|bibcode=2002math......2159Z}}.
| last1 = Nag
| title = Calculated Apéry's constant to 400,000,000,000 Digit, A world record
| year = 2015
| url = https://dipanjan.me/calculated-aperysconstant-upto-400000000000-digit-a-world-record/
}}
*{{Citation
| first = Wadim
| last = Zudilin
| title = One of the numbers <math>\zeta(5)</math>, <math>\zeta(7)</math>, <math>\zeta(9)</math>, <math>\zeta(11)</math> is irrational
| journal = Russ. Math. Surv.
| year = 2001
| volume = 56
| pages = 774–776
| doi = 10.1070/RM2001v056n04ABEH000427
| issue = 4
| bibcode = 2001RuMaS..56..774Z
}}.
*{{Citation
| first = Wadim
| last = Zudilin
| title = An elementary proof of Apéry's theorem
| arxiv = math/0202159
| year = 2002
|bibcode = 2002math......2159Z }}.
{{refend}}
 
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Konstanta_Apéry"