Konjektur Mersenne: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Tag: halaman dengan galat kutipan Suntingan visualeditor-wikitext |
Add 1 book for Wikipedia:Pemastian (20230309)) #IABot (v2.0.9.3) (GreenC bot |
||
| (12 revisi perantara oleh 2 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
Dalam matematika, '''konjektur Mersenne''' adalah sebuah konjektur yang melibatkan karakterisasi dari jenis [[bilangan prima]] yang disebut [[bilangan prima Mersenne]], bilangan
== Konjektur asli ==
Konjektur aslinya, yang disebut ''konjektur Mersenne'', menyatakan bahwa bilangan <math>2^n - 1</math> merupakan bilangan prima untuk <math>n</math> bernilai 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257, serta merupakan [[bilangan komposit]] untuk semua bilangan bulat positif lain <math> n \leq 257</math>. Konjektur ini dinamai dari [[Marin Mersenne]], dan terdapat di dalam ''Cogitata Physico-Mathematica''{{r|dickson}}. Bilangan-bilangan yang sangat banyak jumlahnya mengakibatkan Mersenne tidak dapat menguji semuanya di abad ke-17. Akan tetapi setelah tiga abad kemudian dan tersedianya pengujian yang baru, yaitu [[Uji primalitas Lucas–Lehmer|uji Lucas–Lehmer]], konjektur Mersenne memiliki lima kesalahan
== Konjektur baru ==
Baris 8:
# <math> p = 2^k \pm 1</math> atau <math> p = 4^k \pm 3</math> untuk suatu bilangan asli <math> k </math>. ({{oeis|id=A122834}})
# <math> 2^p - 1</math> adalah sebuah bilangan prima Mersenne. ({{oeis|id=A000043}})
# <math> (2^p + 1)/3 </math> adalah sebuah [[bilangan
Jika <math> p </math> adalah bilangan komposit ganjil, maka <math> 2^p - 1 </math> dan <math> (2^p + 1)/3 </math> adalah komposit. Oleh karena itu, pengujian bilangan prima hanya diperlukan untuk membenarkan kebenaran dari konjektur tersebut.
== Konjektur Lenstra–Pomerance–Wagstaff ==
[[Hendrik Lenstra|Lenstra]], [[Carl Pomerance|Pomerance]], dan [[Samuel S. Wagstaff Jr.|Wagstaff]] menduga bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan prima Mersenne, dan lebih tepatnya bahwa jumlah bilangan prima Mersenne yang lebih kecil daripada <math> x </math> secara asimtotik kira-kira sama dengan {{r|heur}}
<math display="block">e^\gamma\cdot\log_2 \log_2(x),</math>
dengan γ adalah [[konstanta Euler–Mascheroni]].
Dengan kata lain, jumlah bilangan prima Mersenne dengan pangkat <math> p </math> yang lebih kecil daripada <math> y </math> secara asimtotik sama dengan{{r|heur}}
<math display="block">e^\gamma\cdot\log_2(y).</math>
Lebih umumnya lagi, jumlah bilangan prima <math> p \leq y </math> sehingga <math>(a^p-b^p)/(a-b)</math> adalah bilangan prima (dengan <math> a </math> dan <math> b </math> adalah bilangan bulat [[koprima]], <math> a > 1, -a < b < a</math>, serta <math> a </math> dan <math> b </math> bukanlah bilangan sempurna pangkat <math> r </math> untuk sebarang bilangan asli <math> r > 1 </math>, dan <math> -4ab </math> bilangan sempurna pangkat empat) secara asimtotik sama dengan
<math display="block">(e^\gamma+m\cdot\log_e(2))\cdot\log_a(y),</math>
dengan <math> m </math> adalah bilangan bulat tak negatif terbesar sehingga <math> a </math> dan <math> -b </math> adalah bilangan sempurna pangkat <math>2^m</math>. Kasus <math> (a,b) = (2,1) </math> merupakan kasus bilangan prima Mersenne.
== Referensi ==
{{reflist|refs=
| author = Bateman, P. T.
| author-link = Paul T. Bateman
Baris 26 ⟶ 40:
| year = 1989
| pages = 125–128
| mr = 0992073
| doi = 10.2307/2323195
| issue = 2
| publisher = Mathematical Association of America
| jstor = 2323195 }}</ref>
<ref name="dickson">{{cite book
| author = Dickson, L. E.
| author-link = Leonard Eugene Dickson
Baris 39 ⟶ 52:
| year = 1919
| ol=6616242M
| page = [https://archive.org/details/historyoftheoryo03dick_0/page/n40 31] }}
}}</ref>
<ref name=heur>[http://primes.utm.edu/mersenne/heuristic.html Heuristics: Deriving the Wagstaff Mersenne Conjecture]. [[The Prime Pages]]. Retrieved on 2014-05-11.</ref>
}}
| |||