Konjektur Mersenne

Dalam matematika, konjektur Mersenne adalah sebuah konjektur yang melibatkan karakterisasi dari jenis bilangan prima yang disebut bilangan prima Mersenne, bilangan prima yang ditulis dalam ekspresi perpangkatan dari dua dikurangi satu.

Konjektur asli

sunting

Konjektur aslinya, yang disebut konjektur Mersenne, menyatakan bahwa bilangan   merupakan bilangan prima untuk   bernilai 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257, serta merupakan bilangan komposit untuk semua bilangan bulat positif lain  . Konjektur ini dinamai dari Marin Mersenne, dan terdapat di dalam Cogitata Physico-Mathematica[1]. Bilangan-bilangan yang sangat banyak jumlahnya mengakibatkan Mersenne tidak dapat menguji semuanya di abad ke-17. Akan tetapi setelah tiga abad kemudian dan tersedianya pengujian yang baru, yaitu uji Lucas–Lehmer, konjektur Mersenne memiliki lima kesalahan. Letak kesalahan tersebut di antaranya adalah dua bilangan komposit ( ) dan tiga bilangan prima ( ) saat disubstitusi ke bilangan prima Mersenne. Bilangan yang benar adalah   bernilai 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 dan 127.

Konjektur baru

sunting

Konjektur Mersenne baru atau konjektur Bateman–Selfridge–Wagstaff menyatakan bahwa untuk sebarang bilangan asli ganjil  , jika dua dari syarat berikut berlaku, maka syara ketiga juga berlaku:[2]

  1.   atau   untuk suatu bilangan asli  . ( A122834)
  2.   adalah sebuah bilangan prima Mersenne. ( A000043)
  3.   adalah sebuah bilangan prima Wagstaff. ( A000978)

Jika   adalah bilangan komposit ganjil, maka   dan   adalah komposit. Oleh karena itu, pengujian bilangan prima hanya diperlukan untuk membenarkan kebenaran dari konjektur tersebut.

Konjektur Lenstra–Pomerance–Wagstaff

sunting

Lenstra, Pomerance, dan Wagstaff menduga bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan prima Mersenne, dan lebih tepatnya bahwa jumlah bilangan prima Mersenne yang lebih kecil daripada   secara asimtotik kira-kira sama dengan [3]   dengan γ adalah konstanta Euler–Mascheroni.

Dengan kata lain, jumlah bilangan prima Mersenne dengan pangkat   yang lebih kecil daripada   secara asimtotik sama dengan[3]  

Lebih umumnya lagi, jumlah bilangan prima   sehingga   adalah bilangan prima (dengan   dan   adalah bilangan bulat koprima,  , serta   dan   bukanlah bilangan sempurna pangkat   untuk sebarang bilangan asli  , dan   bilangan sempurna pangkat empat) secara asimtotik sama dengan

 

dengan   adalah bilangan bulat tak negatif terbesar sehingga   dan   adalah bilangan sempurna pangkat  . Kasus   merupakan kasus bilangan prima Mersenne.

Referensi

sunting
  1. ^ Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers. Carnegie Institute of Washington. hlm. 31. OL 6616242M.  Dicetak ulang oleh Chelsea Publishing, New York, 1971, ISBN 0-8284-0086-5. }}
  2. ^ Bateman, P. T.; Selfridge, J. L.; Wagstaff Jr., Samuel S. (1989). "The new Mersenne conjecture". American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 96 (2): 125–128. doi:10.2307/2323195. JSTOR 2323195. MR 0992073. 
  3. ^ a b Heuristics: Deriving the Wagstaff Mersenne Conjecture. The Prime Pages. Retrieved on 2014-05-11.