Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/7: Perbedaan antara revisi

Dalam [[geometri]], '''teorema Pick''' merupakan sebuah teorema yang menyediakan rumus luas [[poligon sederhana]] dengan koordinat simpul berupa bilangan bulat dengan menjumlahkan titik-titik bilangan bulat dalam poligon dan batasnya. Hasil teorema ini dijelaskan pertama kali oleh [[Georg Alexander Pick]] pada tahun 1899.{{r|pick}} Teorema ini dipopulerkan oleh [[Hugo Steinhaus]] dalam bukunya berbahasa Inggris yang berjudul ''Mathematical Snapshots'', edisi tahun 1950.{{r|gs|steinhaus}} Teorema ini memiliki banyak bukti, dan teorema ini dapat dirampat ke rumus untuk jenis-jenis poligon tak sederhana.

Tinjau bahwa sebuah poligon memiliki koordinat bilangan bulat untuk semua simpul pada poligon. Misalkan <math>i</math> adalah jumlah titik bilangan bulat yang ada di dalam poligon, dan misalkan  <math>b</math> adalah jumlah titik bilangan bulat pada batas poligon (termasuk verteks dan juga titik di sisi-sisi poligon). Maka, luas poligon <math>A</math> adalah:{{r|az|wells|discretely|ball}}

SalahBukti satuyang buktipertama adalah melalui rumus Vieta. Bukti teorema ini melibatkan subpembagian poligon menjadi menjadi segitiga dengan tiga verteks bilangan bulat dan tidak ada titik bilangan bulat lain. Lalu, rumus ini dapat membuktikan bahwa setiap subpembagian segitiga memiliki luas setidaknya <math>\tfrac{1}{2}</math>. Oleh karena itu, luas seluruh poligon sama dengan setengah jumlah segitiga yang dibagi. Setelah mengaitkan luas dengan jumlah segitiga, bukti teorema ini dapat diselesaikan dengan mengaitkan jumlah segitiga dengan jumlah titik kisi dalam poligon melalui [[rumus polihedron Euler]].{{r|az}}

Bagian pertama mengenai bukti ini memperlihatkan bahwa segitiga dengan tiga verteks bilangan bulat dan tidak ada titik bilangan bulat lain memiliki setidaknya <math>\tfrac{1}{2}</math>, seperti yang dijelaskan melalui rumus Pick. Faktanya, bukti ini menggunakan semua segitiga yang [[Teselasi|mengubin di bidang]]<u>,</u> dengan segitiga yang berdampingan berputar 180° <u>fromdari eachmasing-masing othersisi aroundsegitiga theirlain shared edgedisekitarnya.</u>{{r|edward}} ForPada tilingspengubinan bysegitiga amelalui triangletiga withpuncak threebilangan integerbulat verticesdan andbukan notitik otherbilangan integerbulat pointslainnya, each pointmasing-masing oftitik thedari integerkisi gridbilangan isbulat amerupakan vertexpuncak ofdari sixenam tilespengubinan. Because the number of triangles per grid point (six) is twice the number of grid points per triangle (three), the triangles are twice as dense in the plane as the grid points. Any scaled region of the plane contains twice as many triangles (in the limit as the scale factor goes to infinity) as the number of grid points it contains. Therefore, each triangle has area <math>\tfrac{1}{2}</math>, as needed for the proof.{{r|az}} A different proof that these triangles have area <math>\tfrac{1}{2}</math> is based on the use of [[Minkowski's theorem]] on lattice points in symmetric convex sets.{{r|minkowski}}

[[Berkas:Grid_polygon_triangulation.svg|jmpl|SubdivisionSubpembagian ofpoligon akisi gridmenjadi polygonsegitiga into special triangleskhusus]]

Bukti ini sudah membuktikan rumus Pick untuk poligon yang merupakan salah satu dari segitiga-segitiga khusus tersebut. Suatu poligon lain dapat dibagi lagi menjadi segitiga khusus. <u>Todengan domenambahkan so,ruas addgaris non-crossingyang linetidak segmentsdisilang withindalam thepoligon polygondi betweenantara pairspasangan oftitik gridkisi pointssehingga untiltidak noada moreruas linegaris segmentsyang can bedapat addedditambahkan.</u> Poligon yang tidak dapat dibagi lagi menjadi bentuk yang lebih kecil hanyalah segitiga khusus. Oleh karena itu, <u>onlyhanya specialsegitiga trianglesistimewa canyang appeardapat inmuncul thedalam resultingsubpembagian yang subdivision</u>dihasilkan. Karena luas setiap segitiga khusus adalah <math>\tfrac{1}{2}</math>, luas poligon <math>A</math> dapat dibagi menjadi segitiga khusus dengan luas <math>2A</math>.{{r|az}}

Poligon yang dapat dibagi menjadi segitiga membentuk [[graf planar]], dan rumus Euler <math>V - E + F = 2</math> memberikan persamaan yang berlaku untuk jumlah simpul, tepi dan wajah suatu poligon. Simpul poligon tersebut hanya berupa jumlah kisi dari poligon, yang berjumlahkan <math>V = i + b</math>. <u>Wajahnya merupakan segitiga dari subpembagian poligon, dan merupakan daerah tunggaltunggalnya diluarberada di luar bidang poligon</u>.^{[butuh perbaikan?]} Jumlah segitiganya adalah <math>2A</math>, sehingga terdapat <math>F=2A+1</math> wajah. Untuk menghitung jumlah tepi, amati bahwa ada <math>6A</math> sisi segitiga dalam subpembagian polihedron. Each edge interior to the polygon is the side of two triangles. However, there are <math>b</math> edges of triangles that lie along the boundary of the polygon, and form part of only one triangle. Therefore, the number of sides of triangles obeys an equation <math>6A=2E-b</math> from which one can solve for the number of edges, <math>E=\tfrac{6A+b}{2}</math>. PluggingDengan thesememasukkan valuesnilai foruntuk <math>V</math>, <math>E</math>, anddan <math>F</math> intoke Euler'spersamaan formulaEuler <math>V-E+F=2</math> givesmemberikan persamaan<math display="block">(i+b) - \frac{6A+b}{2} + (2A+1) = 2.</math>Rumus Pick dapat diperoleh dengan menyederhanakan [[persamaan linear]] tersebut dan mencarimemberikan solusi untuk nilai <math>A</math>.{{r|az}} <u>PerhitunganAdapun perhitungan lainlainnya, yakni perhitungan di sepanjang garis yang sama melibatkan pembuktian bahwa ada jumlah tepi yang sama dengan subpembagian yang sama adalahdirumuskan sebagai <math>E=3i+2b-3</math>, Perhitungan tersebut mengarah kepada hasil yang sama</u>.{{r|funkenbusch}}^{[terj. masih kasar]}

ItPerhitungan istersebut alsojuga possibledapat todilakukan gomelalui thecara otherlain direction,dengan usingmenggunakan teorema Pick's theorem (provedyang indibuktikan adengan differentcara wayyang berbeda) assebagai thedasar basisuntuk forpembuktian a proof ofrumus Euler's formula.{{r|wells|equivalence}}

* OneBukti canlainnya recursivelydapat decomposemengurai thepoligon givenyang polygondiberikan intosecara trianglesberulang menjadi segitiga, allowingsehingga somememungkinkan trianglessetiap ofsegitiga thedari subdivisionsubpembagiannya tomempunyai haveluas areayang largerlebih thanbesar dari <math>\tfrac{1}{2}</2math>. BothLuas thesegtiga areabeserta andjumlah thetitiknya countsdipakai ofdalam points used inrumus Pick's formula add together <u>in the same way as each other, so the truth of Pick's formula for general polygons follows from its truth for triangles</u>. AnyHal triangleini subdividesberarti itsbahwa setiap segitiga yang membagi [[boundingkotak boxbatas]]<nowiki/>nya intolagi themenjadi trianglesegitiga itselfyang andserupa additionaldengannya dan menjadi [[Rightsegitiga triangle|right trianglessiku-siku]] tambahan, andserta theluas areaskotak ofbatas bothdan thesegitiga boundingdapat boxdihitung anddengan themudah. rightDengan trianglesmenggabungkan areperhitungan easyluas toini compute.memberikan Combiningrumus thesePick areauntuk computationssegitiga, givesdan Pick'sdengan formulamenggabungkan forsegitiga triangles,memberikan and combining triangles givesrumus Pick's formulauntuk forpoligon arbitrary polygonssembarang.{{r|discretely|ball|varberg}}

* Teorema Pick's theoremjuga maydapat alsodibuktikan be proved based onberdasarkan [[complexintegrasi integrationkompleks]] of asuatu [[doublyfungsi periodicperiodik functionganda]] relatedyang toterkait dengan [[Weierstrass'sfungsi ellipticeliptik functionsWeierstrass]].{{r|diaz-robins}}

* ApplyingDengan themenerapkan [[Poissonrumus summationpenjumlahan formulaPoisson]] to thedengan [[characteristicfungsi functionkarakteristik]] ofdari poligon themengacu polygonpada leadsbukti toteorema anotherPick prooflainnya.{{r|bcrt}}

Generalizations toTeorema Pick's theoremuntuk topoligon non-simplebukan polygonssederhana aredapat possiblediperumum, butnamun arehal moreini complicatedmenjadi andlebih requirerumit moredan informationmemerlukan thaninformasi justyang thelebih numberbanyak ofdaripada interiorsekedar andmenghitung boundaryverteks dalam dan verteks verticesbatas.{{r|gs|rosenholtz}} ForSebagai instancecontoh, asebuah polygonpoligon withdengan <math>h</math> holesluang boundedyang bydibatasi simpledengan integerpoligon polygonsbilangan bulat sederhana, disjointyang fromterlepas eachdari othersatu andsama fromlain thedan boundarydari batasnya, hasmempunyai area{{r|sankri}}luas<math display="block">A = i + \frac{b}{2} + h - 1.</math>ItHal isini alsojuga possibledapat tomemperumum generalizeteorema Pick's theoremuntuk todaerah regionsyang boundeddibatasi by more complexoleh [[Planargraf straight-linegaris lurus graph|planar straight-line graphs]] withyang integerlebih vertexbanyak coordinatesdengan koordinat verteks bilangan bulat, <u>using additional terms defined using the [[Euler characteristic]] of the region and its boundary</u>,{{r|rosenholtz}} or to polygons with a single boundary polygon that can cross itself, using a formula involving the [[winding number]] of the polygon around each integer point as well as its total winding number.{{r|gs}}

* [http://demonstrations.wolfram.com/PicksTheorem/ Pick's Theorem] byoleh [[Ed Pegg, Jr.]], the [[Wolfram Demonstrations Project]].

* [https://www.geogebra.org/m/y2nuDV37 Pi using Pick's Theorem] byoleh Mark Dabbs, [[GeoGebra]]