Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/7

Untuk teorema dalam analisis kompleks, lihat Lema Schwarz § Teorema Schwarz–Pick.

i = 7, b = 8, A = i + b2 − 1 = 10

Dalam geometri, teorema Pick merupakan sebuah teorema yang menyediakan rumus luas poligon sederhana dengan koordinat simpul berupa bilangan bulat dengan menjumlahkan titik-titik bilangan bulat dalam poligon dan batasnya. Hasil teorema ini dijelaskan pertama kali oleh Georg Alexander Pick pada tahun 1899. Teorema ini dipopulerkan oleh Hugo Steinhaus dalam bukunya berbahasa Inggris yang berjudul Mathematical Snapshots, edisi tahun 1950. Teorema ini memiliki banyak bukti, dan teorema ini dapat dirampat ke rumus untuk jenis-jenis poligon tak sederhana.

Rumus

Tinjau bahwa sebuah poligon memiliki koordinat bilangan bulat untuk semua simpul pada poligon. Misalkan $i$ adalah jumlah titik bilangan bulat yang ada di dalam poligon, dan misalkan $b$ adalah jumlah titik bilangan bulat pada batas poligon (termasuk verteks dan juga titik di sisi-sisi poligon). Maka, luas poligon $A$ adalah:

$A=i+{\frac {b}{2}}-1$.

Contoh pada gambar di atas menunjukkan bahwa titik dalam dan titik luar pada poligon adalah $i=7$ dan $b=8$, sehingga luas poligonnya adalah ${\textstyle A=7+{\frac {8}{2}}-1=10}$ satuan persegi.

Bukti

Melalui rumus Vieta

Bukti yang pertama adalah melalui rumus Vieta. Bukti teorema ini melibatkan subpembagian poligon menjadi menjadi segitiga dengan tiga verteks bilangan bulat dan tidak ada titik bilangan bulat lain. Lalu, rumus ini dapat membuktikan bahwa setiap subpembagian segitiga memiliki luas setidaknya ${\tfrac {1}{2}}$. Oleh karena itu, luas seluruh poligon sama dengan setengah jumlah segitiga yang dibagi. Setelah mengaitkan luas dengan jumlah segitiga, bukti teorema ini dapat diselesaikan dengan mengaitkan jumlah segitiga dengan jumlah titik kisi dalam poligon melalui rumus polihedron Euler.

Pengubinan bidang melalui salinan segitiga dengan tiga simpul bilangan bulat dan tidak ada titik bilangan bulat lain. Ini dipakai dalam membuktikan teorema Pick.

Bagian pertama mengenai bukti ini memperlihatkan bahwa segitiga dengan tiga verteks bilangan bulat dan tidak ada titik bilangan bulat lain memiliki setidaknya ${\tfrac {1}{2}}$, seperti yang dijelaskan melalui rumus Pick. Faktanya, bukti ini menggunakan semua segitiga yang mengubin di bidang, dengan segitiga yang berdampingan berputar 180° dari masing-masing sisi segitiga lain disekitarnya. Pada pengubinan segitiga melalui tiga puncak bilangan bulat dan bukan titik bilangan bulat lainnya, masing-masing titik dari kisi bilangan bulat merupakan puncak dari enam pengubinan. Because the number of triangles per grid point (six) is twice the number of grid points per triangle (three), the triangles are twice as dense in the plane as the grid points. Any scaled region of the plane contains twice as many triangles (in the limit as the scale factor goes to infinity) as the number of grid points it contains. Therefore, each triangle has area ${\tfrac {1}{2}}$, as needed for the proof. A different proof that these triangles have area ${\tfrac {1}{2}}$ is based on the use of Minkowski's theorem on lattice points in symmetric convex sets.

Subpembagian poligon kisi menjadi segitiga khusus

Bukti ini sudah membuktikan rumus Pick untuk poligon yang merupakan salah satu dari segitiga-segitiga khusus tersebut. Suatu poligon lain dapat dibagi lagi menjadi segitiga khusus dengan menambahkan ruas garis yang tidak disilang dalam poligon di antara pasangan titik kisi sehingga tidak ada ruas garis yang dapat ditambahkan. Poligon yang tidak dapat dibagi lagi menjadi bentuk yang lebih kecil hanyalah segitiga khusus. Oleh karena itu, hanya segitiga istimewa yang dapat muncul dalam subpembagian yang dihasilkan. Karena luas setiap segitiga khusus adalah ${\tfrac {1}{2}}$, luas poligon $A$ dapat dibagi menjadi segitiga khusus dengan luas $2A$.

Poligon yang dapat dibagi menjadi segitiga membentuk graf planar, dan rumus Euler $V-E+F=2$ memberikan persamaan yang berlaku untuk jumlah simpul, tepi dan wajah suatu poligon. Simpul poligon tersebut hanya berupa jumlah kisi dari poligon, yang berjumlahkan $V=i+b$. Wajahnya merupakan segitiga dari subpembagian poligon, dan daerah tunggalnya berada di luar bidang poligon. Jumlah segitiganya adalah $2A$, sehingga terdapat $F=2A+1$ wajah. Untuk menghitung jumlah tepi, amati bahwa ada $6A$ sisi segitiga dalam subpembagian polihedron. Each edge interior to the polygon is the side of two triangles. However, there are $b$ edges of triangles that lie along the boundary of the polygon, and form part of only one triangle. Therefore, the number of sides of triangles obeys an equation $6A=2E-b$ from which one can solve for the number of edges, $E={\tfrac {6A+b}{2}}$. Dengan memasukkan nilai untuk $V$, $E$, dan $F$ ke persamaan Euler $V-E+F=2$ memberikan persamaan$$(i+b)-{\frac {6A+b}{2}}+(2A+1)=2.$$Rumus Pick dapat diperoleh dengan menyederhanakan persamaan linear tersebut dan memberikan solusi untuk nilai $A$. Adapun perhitungan lainnya, yakni perhitungan di sepanjang garis yang sama melibatkan pembuktian bahwa ada jumlah tepi yang sama dengan subpembagian yang sama dirumuskan sebagai $E=3i+2b-3$, Perhitungan tersebut mengarah pada hasil yang sama.

Perhitungan tersebut juga dapat dilakukan melalui cara lain dengan menggunakan teorema Pick (yang dibuktikan dengan cara yang berbeda) sebagai dasar untuk pembuktian rumus Euler.

Bukti lainnya

Bukti-bukti teorema Pick lain tanpa menggunakan rumus Euler, diantaranya sebagai berikut:

• Bukti lainnya dapat mengurai poligon yang diberikan secara berulang menjadi segitiga, sehingga memungkinkan setiap segitiga dari subpembagiannya mempunyai luas yang lebih besar dari ${\tfrac {1}{2}}$. Luas segtiga beserta jumlah titiknya dipakai dalam rumus Pick in the same way as each other, so the truth of Pick's formula for general polygons follows from its truth for triangles. Hal ini berarti bahwa setiap segitiga yang membagi kotak batasnya lagi menjadi segitiga yang serupa dengannya dan menjadi segitiga siku-siku tambahan, serta luas kotak batas dan segitiga dapat dihitung dengan mudah. Dengan menggabungkan perhitungan luas ini memberikan rumus Pick untuk segitiga, dan dengan menggabungkan segitiga memberikan rumus Pick untuk poligon sembarang.
• Alternatively, instead of using grid squares centered on the grid points, it is possible to use grid squares having their vertices at the grid points. These grid squares cut the given polygon into pieces, which can be rearranged (by matching up pairs of squares along each edge of the polygon) into a polyomino with the same area.
• Teorema Pick juga dapat dibuktikan berdasarkan integrasi kompleks suatu fungsi periodik ganda yang terkait dengan fungsi eliptik Weierstrass.
• Dengan menerapkan rumus penjumlahan Poisson dengan fungsi karakteristik dari poligon mengacu pada bukti teorema Pick lainnya.

Pick's theorem was included in a web listing of the "top 100 mathematical theorems", dating from 1999, which later became used by Freek Wiedijk as a benchmark set to test the power of different proof assistants. Hingga 2021, a proof of Pick's theorem had been formalized in only one of the ten proof assistants recorded by Wiedijk.

Perumuman

Teorema Pick untuk poligon bukan sederhana dapat diperumum, namun hal ini menjadi lebih rumit dan memerlukan informasi yang lebih banyak daripada sekedar menghitung verteks dalam dan verteks batas. Sebagai contoh, sebuah poligon dengan $h$ luang yang dibatasi dengan poligon bilangan bulat sederhana, yang terlepas dari satu sama lain dan dari batasnya, mempunyai luas$$A=i+{\frac {b}{2}}+h-1.$$Hal ini juga dapat memperumum teorema Pick untuk daerah yang dibatasi oleh graf garis lurus planar yang lebih banyak dengan koordinat verteks bilangan bulat, using additional terms defined using the Euler characteristic of the region and its boundary, or to polygons with a single boundary polygon that can cross itself, using a formula involving the winding number of the polygon around each integer point as well as its total winding number.

The Reeve tetrahedra in three dimensions have four integer points as vertices and contain no other integer points. However, they do not all have the same volume as each other. Therefore, there can be no analogue of Pick's theorem in three dimensions that expresses the volume of a polytope as a function only of its numbers of interior and boundary points. However, these volumes can instead be expressed using Ehrhart polynomials.

Topik yang berkaitan

Ada beberapa topik dalam matematika yang mengaitkan luas daerah dengan jumlah titik kisi, di antaranya: teorema Blichfeldt, yang mengatakan bahwa setiap bentuk yang dapat ditranslasikan memiliki setidaknya luas bentuk tersebut dalam titik kisi; masalah lingkaran Gauss yang melibatkan batas galat antara luas lingkaran dengan jumlah titik kisi dalam lingkaran; serta masalah menghitung jumlah titik bilangan bulat dalam polihedron cembung yang muncul dalam cabang-cabang matematika dan ilmu komputer. Dalam cabang terapan, planimeter titik merupakan perangkat berbasis transparansi yang mengestimasi luas bentuk dengan menghitung jumlah titik kisi yang terdapat dalam bentuk tersebut. Barisan Farey adalah barisan bilangan rasional terurut dengan penyebut pecahan terbatas. Analisis barisan tersebut melibatkan teorema Pick .

Metode sederhana lainnya dalam menghitung luas poligon adalah rumus tali sepatu. Metode ini memberikan luas suatu poligon sederhana sebagai sum of terms computed from the coordinates of consecutive pairs of vertices of the polygon. Tidak seperti teorema Pick, it does not require the vertices to have integer coordinates.

Pranala luar

• Pick's Theorem oleh Ed Pegg, Jr., the Wolfram Demonstrations Project.
• Pi using Pick's Theorem oleh Mark Dabbs, GeoGebra