Pengguna:Hadithfajri/Limit barisan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Hadithfajri (bicara | kontrib) |
Hadithfajri (bicara | kontrib) Tag: Suntingan visualeditor-wikitext |
||
| (1 revisi perantara oleh pengguna yang sama tidak ditampilkan) | |||
Baris 16:
=== Limit tak sebenarnya ===
Suatu barisan <math>(x_n)</math> dikatakan '''mendekati takhingga''', ditulis <math>x_n \to \infty</math> atau <math display="inline">\lim_{n\to\infty}x_n = \infty</math>, jika untuk setiap bilangan real ''<math>
K</math>'', terdapat suatu K</math>'' yang dipilih. Dengan cara yang serupa, <math>x_n \to -\infty</math> jika untuk setiap ''<math>
K</math>'', terdapat suatu ''<math>N</math>'' sehingga untuk setiap <math>n \geq N</math>, <math>x_n < K</math>.
=== Contoh-contoh ===
Baris 29 ⟶ 30:
* Diberikan sebarang bilangan real; suatu barisan yang konvergen menuju suatu bilangan dapat dengan mudah dibangun dengan mengambil hampiran desimal. Misal, barisan <math>0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, ...</math> konvergen menuju <math>1/3</math>. Perhatikan bahwa [[representasi desimal]] <math>0.3333...</math> adalah ''limit'' dari barisan sebelumnya, yang ditentukan oleh <math display="inline"> 0.3333...\triangleq\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \frac{3}{10^i}</math>.
* Limit suatu barisan tidak selalu dapat ditemukan dengan mudah. Dua contohnya adalah <math display="inline">\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac1{n}\right)^n</math> (limitnya adalah [[E (konstanta matematika)|bilangan ''e'']]) dan [[purata aritmetika–geometrik]] (limitnya 13,458...). [[Teorema apit]] sering kali berguna dalam pencarian limit barisan yang sebegini.
=== Sifat-sifat ===
* Limit suatu barisan, apabila ada, adalah tunggal.
*
** barisan hasil jumlah atau hasil pengurangan kedua barisan tersebut adalah konvergen pula, dan berturut-turut limitnya adalah jumlah atau selilsish limit dua barisan yang diketahui.
*:: <math> (x_n\pm y_n)\to L\pm M</math>
** barisan hasil kali kedua barisan tersebut adalah konvergen pula, dan limitnya adalah perkalian limit dua barisan yang diketahui.
*:: <math> (x_ny_n)\to LM</math>
** apabila <math>M\neq0 </math>, barisan hasil bagi kedua barisan tersebut adalah konvergen pula, dan limitnya adalah perkalian limit dua barisan yang diketahui.
*:: <math> \left(\frac{x_n}{y_n}\right)\to \frac{L}{M}</math>
* Jika <math>a_n \leq b_n</math> untuk semua <math>n</math> lebih besar dari suatu <math>N</math>, maka <math display="inline">\lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n </math>.
* Jika <math>a_n \leq c_n \leq b_n</math> untuk semua <math>n > N</math>, dan <math display="inline">\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = L</math>, maka <math display="inline">\lim_{n\to\infty} c_n = L</math>. ([[teorema apit]])
* Jika suatu barisan mempunyai limit, maka barisan itu [[Barisan#Barisan terbatas|terbatas]].
* Jika suatu barisan terbatas dan [[Barisan#Kemonotonan barisan|monoton]], maka barisan itu mempunyai limit (teorema kekonvergenan barisan monoton).
* Suatu barisan adalah konvergen jika dan hanya jika setiap [[Barisan bagian|barisan bagiannya]] konvergen.
== Limit barisan pada ruang metrik ==
| |||