Wikipedia

Kaidah pangkat: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
123569yuuift (bicara | kontrib)
2.955 suntingan
←Membuat halaman berisi '{{Kalkulus |Diferensial}} {{Dalam perbaikan}} Dalam kalkulus, '''aturan pangkat''' digunakan untuk membedakan fungsi bentuk <math>f(x) = x^r</math>, sewaktu-waktu...'
Tag: tanpa kategori [ * ] Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan
 
Memperbaharui halaman "Kaidah pangkat"
Tag: Suntingan visualeditor-wikitext
 
(6 revisi perantara oleh 5 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{Short description|Metode untuk mendiferensialkan polinomial bersuku tunggal}}
{{Kalkulus |Diferensial}}
{{Kalkulus|expanded=diferensial}}
{{Dalam perbaikan}}
{{periksa terjemahan|en|Power rule}}
 
Dalam [[kalkulus]], '''kaidah pangkat''' (atau '''aturan pangkat''') digunakan untuk membedakanmencari fungsiturunan bentukfungsi <math>f(x) = x^rk</math>, sewaktu-waktu jika nilaidengan <math>rk</math> adalah suatu [[bilangan realriil]]. Karena,Oleh karena [[turunan|diferensiasi]] adalah operasi [[Linearitaskelinearan|linearryang bersifat linear]] pada ruang fungsi terdiferensiasiterdiferensialkan, [[polinomial]] juga dapat didiferensiasiditurunkan menggunakan aturankaidah ini. AturanKaidah pangkat adalah kaidah yang mendasari [[deret Taylor]], karenasebab iakaidah ini menghubungkan [[deret pangkat]] dengan [[deretturunan]] suatu fungsi.
 
== Isi pernyataan ==
== Pernyataan aturan kekuasaan==
Misalkan <math>f</math> adalah sebuah fungsi dengan bentuk umum <math>f(x) = x^k</math> untuk setiap <math>x</math>, dengan <math>k \in \mathbb{R}</math>.{{efn|Jika <math>k</math> adalah suatu bilangan rasional [[Pecahan tak tersederhanakan|dalam bentuk paling sederhana]] dengan penyebut bilangan ganjil, maka domain dari <math>f</math> adalah <math>\mathbb{R}</math>. Selain itu, domain fungsinya ialah <math>(0, \,\infty)</math>.}} Maka,
Bilai <math>f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> adalah fungsi seperti itu <math>f(x) = x^r</math>, dan <math>f</math> dibedakan menjadi <math>x</math>, yaitu
:<math display="block">f'(x) = rxkx^{rk - 1}</math>
AturanKaidah kekuasaanpangkat ''untuk integrasi'', yang menyatakan bahwa
:<math display="block">\int \! x^rk \, dx = \fracdfrac{x^{rk + 1}}{rk + 1} + C</math>
foruntuk anysembarang realbilangan numberriil <math>rk \neq -1</math>, dapatdan diturunkan<math>C</math> dengan menerapkanadalah [[TeoremaKonstanta Dasarintegrasi|konstanta Kalkulussembarang]]. Pernyataan kaidah pangkat untuk integrasi di atas dapat diperoleh dengan padamembalik aturankaidah pangkat untuk Diferensialturunan.
 
==Bukti eksponenBukti nyata==
=== Bukti untuk pangkat bilangan riil ===
Untuk memulai, kita harus memilih definisi kerja dari nilai <math>f(x) = x^r</math>, darimana <math>r</math> adalah bilangan real apa pun. Meskipun layak untuk mendefinisikan nilai sebagai batas urutan kekuatan rasional yang mendekati kekuatan irasional setiap kali kita menemukan kekuatan seperti itu, atau sebagai batas atas terkecil dari sekumpulan kekuatan rasional kurang dari kekuatan yang diberikan, jenis definisi ini tidak dapat menerima diferensiasi. Oleh karena itu lebih disukai untuk menggunakan definisi fungsional, yang biasanya dianggap sebagai <math>x^r = \exp(r\ln x) = e^{r\ln x}</math> untuk semua nilai <math>x > 0</math>, dari mana <math>\exp</math> adalah [[Fungsi eksponensial|fungsi eksponensial natural]] dan <math>e</math> adalah [[e (konstanta matematika)|Nomor Euler]].<ref>{{cite book|last1=Landau|first1=Edmund|title=Kalkulus Diferensial dan Integral|date=1951|publisher=Chelsea Publishing Company|location=New York|isbn=978-0821828304|page=45}}</ref><ref>{{cite book|last1=Spivak|first1=Michael|title=Kalkulus|date=1994|publisher=Publish or Perish, Inc.|location=Texas|isbn=0-914098-89-6|pages=336–342|edition=3}}</ref> Pertama, kami dapat menunjukkan bahwa turunan dari <math>f(x) = e^x</math> is <math>f'(x) = e^x</math>.
Sebelum memulai pembuktian, terlebih dahulu dipilih definisi dari nilai <math>f(x) = x^k</math>, dengan <math>k</math> adalah [[bilangan riil]]. Meskipun bisa saja untuk mendefinisikan perpangkatan bilangan irasional sebagai [[limit barisan]] dari perpangkatan [[bilangan rasional]], atau sebagai [[Infimum dan supremum|batas atas terkecil]] dari himpunan perpangkatan bilangan rasional kurang dari pangkat yang diberikan, definisi ini tidak dapat diterapkan pada turunan. Oleh karena itu, akan digunakan definisi fungsional, yaitu dengan menulis ulang fungsi <math>x^k</math> sebagai [[Fungsi eksponensial|fungsi eksponensial alami]]
<math display="block">x^k = e^{\ln \left( x^k \right)} = e^{k \, \cdot \, \ln (x)}</math>
untuk setiap nilai <math>x > 0</math>, dengan <math>e</math> adalah [[e (konstanta matematika)|bilangan Euler]].<ref>{{cite book
| last1 = Landau
| first1 = Edmund
| title = Differential and Integral Calculus
| trans-title = Kalkulus Diferensial dan Integral
| lang = en
| date = 1951
| publisher = Chelsea Publishing Company
| location = New York
| isbn = 978-0821828304
| page = 45}}</ref><ref>{{cite book
| last1 = Spivak
| first1 = Michael
| title = Calculus
| trans-title = Kalkulus
| lang = en
| url = https://archive.org/details/calculus00spiv_191
| date = 1994
| publisher = Publish or Perish, Inc.
| location = Texas
| isbn = 0-914098-89-6
| pages = [https://archive.org/details/calculus00spiv_191/page/n349 336–342]
| edition = 3}}</ref>
 
Pertama, akan ditunjukkan bahwa turunan dari fungsi <math>e^x</math> adalah <math>e^x</math>. Misalkan <math>f(x) = e^x</math>, maka <math>\ln (f(x)) = x</math>, dengan <math>\ln (x)</math> adalah fungsi [[logaritma alami]], fungsi invers dari [[fungsi eksponensial]].<ref>{{cite book
Bila <math>f(x) = e^x</math>, maka <math>\ln (f(x)) = x</math>, dari mana <math>\ln</math> adalah fungsi [[logaritma natural]], fungsi kebalikan dari fungsi eksponensial, seperti yang ditunjukkan oleh Euler.<ref>{{cite book|last1=Maor|first1=Eli|title=e: Kisah Angka|url=https://archive.org/details/estoryofnumber0000maor_x8v0|url-access=registration|date=1994|publisher=Princeton University Press|location=New Jersey|isbn=0-691-05854-7|page=[https://archive.org/details/estoryofnumber0000maor_x8v0/page/156 156]}}</ref> Karena dua fungsi terakhir sama untuk semua nilai <math>x > 0</math>, turunannya juga sama, setiap kali salah satu turunannya ada, jadi kita punya, menurut [[aturan rantai]],
| last1 = Maor
:<math>\frac{1}{f(x)}\cdot f'(x) = 1</math>
| first1 = Eli
atau <math>f'(x)=f(x)=e^x</math>, seperti yang diminta.
| title = e: The Story of a Number
Oleh karena itu, terapkan aturan rantai ke nilai <math>f(x) = e^{r\ln x}</math>, kami melihat:
| lang = en
:<math>f'(x)=\frac{r}{x}e^{r\ln x}=\frac{r}{x}x^r</math>
| url = https://archive.org/details/estoryofnumber0000maor_x8v0
yang menyederhanakan ke <math>rx^{r-1}</math>.
| url-access = registration
| date = 1994
| publisher = Princeton University Press
| location = New Jersey
| isbn = 0-691-05854-7
| page = [https://archive.org/details/estoryofnumber0000maor_x8v0/page/156 156]}}</ref> Oleh karena kedua fungsi di atas bernilai sama untuk setiap <math>x > 0</math>, maka turunannya juga bernilai sama, jika salah satu turunannya ada. Dengan menurunkan kedua ruas menggunakan [[kaidah rantai]], diperoleh
<math display="block">\frac{1}{f(x)} \cdot f'(x) = 1</math>
yang menunjukkan bahwa <math>f'(x) = f(x) = e^x</math>. Dengan menerapkan [[kaidah rantai]] ke fungsi <math>f(x) = e^{k \, \cdot \, \ln (x)}</math>, maka
<math display="block">\begin{align}
f'(x) &= \frac{k}{x} \cdot e^{k \, \cdot \, \ln (x)} \\
&= \frac{k}{x} \cdot x^k \\
&= k x^{k - 1}
\end{align}</math>
 
Saat <math>x < 0</math>, maka <math>-x > 0</math>. Akibatnya,
Setelah <math>x < 0</math>, kami dapat menggunakan definisi yang sama dengan <math>x^r = ((-1)(-x))^r = (-1)^r(-x)^r</math>, dimana kita sekarang punya <math>-x > 0</math>. Hal ini selalu mengarah pada hasil yang sama. Perhatikan itu karena <math>(-1)^r</math> tidak memiliki definisi konvensional kapan <math>r</math> bukan bilangan rasional, fungsi daya irasional tidak didefinisikan dengan baik untuk basis negatif. Selain itu, karena pangkat rasional -1 dengan penyebut genap (dalam suku terkecil) bukanlah bilangan real, ekspresi ini hanya dinilai nyata untuk pangkat rasional dengan penyebut ganjil (dalam suku terkecil).
<math display="block">\begin{align}
x^k &= \left( (-1)(-x) \right)^k \\
&= (-1)^k \cdot \underbrace{\left( -x \right)^k}_{> \, 0}
\end{align}</math>
yang akan mengarah pada hasil yang sama. Perhatikan bahwa faktor <math>(-1)^k</math> di atas tidak memiliki definisi konvensional saat <math>k \not\in \mathbb{Q}</math>, sebab fungsi perpangkatan bilangan irasional tidak memiliki nilai yang tunggal untuk basis negatif. Selain itu, dikarenakan perpangkatan <math>-1</math> dengan bilangan rasional berpenyebut genap ([[Pecahan tak tersederhanakan|dalam bentuk paling sederhana]]) tidak bernilai riil, maka ekspresi ini hanya bernilai riil untuk pangkat rasional dengan penyebut ganjil (dalam bentuk paling sederhana).
 
Terakhir, setiapuntuk kalisetiap fungsi dapatyang dibedakanmemiliki turunan di <math>x = 0</math>, batasmaka yangmenurut menentukandefinisi untukturunan dengan menggunakan [[Limit (matematika)|limit]], turunannyanilainya adalah:
:<math display="block">\lim_{h \, \to \, 0} \fracdfrac{(0 + h)^rk - 0^rk}{h}</math>
yangPerhatikan menghasilkanbahwa ekspresi di atas akan bernilai 0 hanya jika <math>rk > 1</math> dan <math>k</math> adalah bilangan rasional dengan penyebut ganjil (dalam suku terendah), dan bernilai 1 saat <math>rk >= 1</math>, and 1 when r = 1. Untuk semua nilai r<math>k</math> yang lainnyalain, ekspresi <math>h^rk</math> tidak didefinisikanmemiliki dengannilai baikyang tunggal untuk <math>h < 0</math>, (seperti yang dibahas di atas), atau nilainya bukan bilangan realriil, sehingga batasnilai limitnya tidak ada (sebagai turunan bernilai nyatariil). Untuk dua kasus yang benar-benarnilai turunannya ada, nilainya sesuai dengan nilai aturankaidah pangkat yang adaditerapkan dipada nilaititik <math>x = 0</math>, sehingga tidak perlu dibuat pengecualian.
 
kasus saat <!--Pengecualianmath>x = 0</math> (yaitu [[Nol pangkat nol|ekspresi <math>0^0</math>]] (the case x = 0) frombiasa ourdiabaikan, schemelantaran of exponentiation is due to the fact that the functionfungsi <math>f(x, \, y) = x^y</math> hastidak nomemiliki limit at (0,0), sincepada <math>x^(0</math>, approaches 1 as x approaches 0\, while <math>0^y)</math> approaches 0 as y approaches 0. Thus, it would be problematic to ascribe any particular value to it, as the value would contradict one of the two cases, dependent on the application. It is traditionally left undefined.-->sebab
* <math>\lim_{x \, \to \, 0} x^0 = 1</math>, sedangkan
* <math>\lim_{y \, \to \, 0} 0^y = 0</math>
Oleh karena nilai limitnya berbeda, maka seringkali ekspresi <math>0^0</math> nilainya tidak ada.
 
=== Bukti untuk eksponenpangkat integerbilangan bukanbulat tak nol ===
==== Pembuktian denganmelalui [[induksi matematika|induksi]] (bilangan bulat positifasli) ====
BilaMisalkan ''<math>n''</math> adalah menjadisuatu bilangan bulat positifasli. ItuAkan diperlukandibuktikan untuk membuktikan itubahwa <math>\frac{\text{d}}{dx\text{d}x} \, x^n = nx^{n - 1}.</math> dengan menggunakan [[induksi matematika|induksi]].
 
Saat <math>n = 1</math>, maka
Darimana <math>n=1</math>, <math>\frac{d}{dx}x^1=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)-x}{h}=1=1x^{1-1}.</math>
<math display="block">\begin{align}
Oleh karena itu, kasus dasar berlaku.
\frac{\text{d}}{\text{d}x} \, f(x) &= \lim_{h \, \to \, 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\
\frac{\text{d}}{\text{d}x} \, x^1 &= \lim_{h \, \to \, 0} \frac{(x + h) - x}{h} \\
&= \lim_{h \, \to \, 0} \frac{h}{h} \\
&= 1 \\
&= 1 x^{1 - 1}
\end{align}</math>
sehingga kasus dasar telah terbukti.
 
Misalkan persamaan <math>\frac{\text{d}}{\text{d}x} \, x^n = nx^{n - 1}</math> berlaku untuk suatu bilangan asli <math>n = k</math>. Dengan kata lain, berlaku
Misalkan pernyataan tersebut berlaku untuk beberapa bilangan bulat positif ''k'', yakni <math>\frac{d}{dx}x^k=kx^{k-1}.</math>
<math display="block">\frac{\text{d}}{\text{d}x} \, x^k = kx^{k - 1}</math>
 
Saat <math>n = k + 1</math>, maka dengan menggunakan [[kaidah darab]], diperoleh
Darimana <math>n=k+1</math>, <math>\frac{d}{dx}x^{k+1}=\frac{d}{dx}(x^k \cdot x)=x^k \cdot\frac{d}{dx}x+x \cdot\frac{d}{dx}x^k=x^k+x\cdot kx^{k-1}=x^k+kx^k=(k+1)x^k=(k+1)x^{(k+1)-1}</math>
<math display="block">\begin{align}
\frac{\text{d}}{\text{d}x} \, x^{k + 1} &= \frac{\text{d}}{\text{d}x} \left( x^k \cdot x \right) \\
&= x^k \cdot \frac{\text{d}}{\text{d}x} \left( x \right) + \frac{\text{d}}{\text{d}x} \left( x^k \right) \cdot x \\
&= x^k + k x^{k - 1} \cdot x \\
&= \left( k + 1 \right) x^k \\
&= \left( k + 1 \right) x^{(k + 1) - 1}
\end{align}</math>
 
Dengan prinsip induksi matematika, pernyataanmaka persamaan tersebut benarberlaku untuk semuasetiap bilangan bulat positifasli ''<math>n''</math>.
 
==== Pembuktian olehmenggunakan [[teorema binomial]] (bilangan bulat positifasli) ====
BilaMisalkan <math>y = x^n</math>, darimanadengan <math>n \in \mathbb{N} </math>. Menurut teorema binomial,
<math display="block">\left( a + b \right)^n = {n \choose 0} a^n \, b^0 + {n \choose 1} a^{n - 1} \, b^1 + {n \choose 2} a^{n - 2} \, b^2 + \ldots + {n \choose n - 1} a^1 \, b^{n - 1} + {n \choose n} a^0 \, b^n</math>
dengan <math>{n \choose k}</math> adalah bilangan asli yang disebut sebagai [[koefisien binomial]], dengan definisi
<math display="block">{n \choose k} = \frac{n!}{k! \, (n - k)!} = \frac{n \left( n - 1 \right) \left(n - 2 \right) \ldots \left( n - k + 1 \right)}{k \left( k - 1 \right) \left( k - 2 \right) \ldots (3)(2)(1)}</math>
 
Dengan menggunakan informasi di atas, diperoleh
Setelah itu <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}h</math>
<math display="block">\begin{align}
<math>=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h} \left[x^n+\binom n1 x^{n-1}h+\binom n2 x^{n-2}h^2+...+\binom nn h^n-x^n \right]</math>
:<math>y' &= \lim_{h \, \to \, 0} \left[\binomfrac{(x n1+ xh)^{n -1}+\binom n2 x^{n-2}{h+...+} \binom nn h^{n-1}\right]</math>
&= \lim_{h \, \to \, 0} \frac{1}{h} \left( \left( x^n + {n \choose 1} x^{n - 1} \, h + {n \choose k} x^{n - 2} \, h^2+ \ldots + {n \choose n} h^n \right) - x^n \right) \\
:<math>=nx^{n-1}</math>
&= \lim_{h \, \to \, 0} \frac{1}{h} \left( {n \choose 1} x^{n - 1} \, h + {n \choose k} x^{n - 2} \, h^2+ \ldots + {n \choose n} h^n \right) \\
&= \lim_{h \, \to \, 0} \left( {n \choose 1} x^{n - 1} + {n \choose k} x^{n - 2} \, h + \ldots + {n \choose n} h^{n - 1} \right) \\
&= {n \choose 1} x^{n - 1} \\
&= n x^{n - 1}
\end{align}</math>
 
===Generalisasi= eksponenPerumuman untuk pangkat bilangan bulat negatif ====
Pertama, akan dibuktikan bahwa kaidah pangkat berlaku untuk <math>k = 0</math>. Perhatikan bahwa
Untuk bilangan bulat negatif ''n'', jika <math>n=-m</math> sehingga ''m'' adalah bilangan bulat positif.
<math display="block">\begin{align}
Menggunakan [[aturan timbal balik]], <math>\frac{d}{dx}x^n=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^m}\right)=\frac{-\frac{d}{dx}x^m}{(x^m)^2}=-\frac{mx^{m-1}}{x^{2m}}=-mx^{-m-1}=nx^{n-1}.</math>
\frac{\text{d}}{\text{d}x} \, f(x) &= \lim_{h \, \to \, 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\
\frac{\text{d}}{\text{d}x} \, x^0 &= \lim_{h \, \to \, 0} \frac{(x + h)^0 - x^0}{h} \\
&= \lim_{h \, \to \, 0} \frac{1 - 1}{h} \\
&= \lim_{h \, \to \, 0} 0 \\
&= 0 \\
&= 0 x^{0 - 1}
\end{align}</math>
sehingga terbukti bahwa kaidah pangkat berlaku saat nilai <math>k = 0</math>.
 
Kesimpulannya,Diambil untuksembarang bilangan bulat bukannegatif nol<math>k</math>. Jika didefinisikan <math>n = -k</math>, maka <math>\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}.</math> adalah bilangan asli. Dengan Menggunakan [[aturan timbal-balik]], diperoleh
<math display="block">\begin{align}
\frac{\text{d}}{\text{d}x} \, x^k &= \frac{\text{d}}{\text{d}x} \, x^{-n} \\
&= \frac{\text{d}}{\text{d}x} \, \dfrac{1}{x^n} \\
&= - \dfrac{n x^{n - 1}}{\left( x^n \right)^2} \\
&= - \dfrac{n x^{n - 1}}{x^{2n}} \\
&= -n x^{n - 1 - 2n} \\
&= -n x^{-n - 1} \\
&= k x^{k - 1}
\end{align}</math>
sehingga dapat disimpulkan bahwa untuk setiap <math>n \in \mathbb{Z}</math>, maka berlaku <math>\frac{\text{d}}{\text{d}x} x^n = nx^{n - 1}</math>
 
==Generalisasi= eksponenPerumuman untuk pangkat bilangan rasional ===
Setelah membuktikan bahwa aturankaidah pangkat berlaku untuk eksponenpangkat integerbilangan bulat, aturan tersebut dapat diperluasdiperumum keuntuk pangkat eksponenbilangan rasional.
=== Pembuktian melalui [[kaidah rantai]] ===
===Generalisasi kasus per kasus===
Pembuktian ini terdiri dari dua tahapan yang melibatkan [[kaidah rantai]]
#. Bila <math> y=x^{\frac{1}n}=x^m</math>, dari mana <math>n\in \mathbb{N}</math>
# Diambil sembarang <math>n \in \mathbb{N}</math>, serta didefinisikan <math>k = \dfrac{1}{n}</math> dan misalkan <math>y = x^k</math>. Dari sini, diperoleh <math display="block">\begin{align}
y &= x^k \\
y &= x^{\tfrac{1}{n}} && k = \dfrac{1}{n} \\
y^n &= x \\
ny^{n - 1} \cdot \frac{\text{d}y}{\text{d}x} &= 1 && \text{Kaidah rantai} \\
\frac{\text{d}y}{\text{d}x} &= \dfrac{1}{ny^{n - 1}} \\
&= \dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{1}{\left( x^{\tfrac{1}{n}} \right)^{n - 1}} && \text{Lihat kembali baris 2} \\
&= \dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{1}{x^{1 - \tfrac{1}{n}}} \\
&= \dfrac{1}{n} \cdot x^{\tfrac{1}{n} - 1} \\
&= k x^{k - 1} && k = \dfrac{1}{n}
\end{align}</math> sehingga, aturan rantai dapat diterapkan pada perpangkatan dengan bentuk umum <math>\dfrac{1}{n}</math>, dengan <math>n \in \mathbb{N}</math>. Hal ini dapat diperumum untuk perpangkatan rasional dalam bentuk <math>\dfrac{p}{q}</math> dengan cara yang kurang lebih serupa, seperti pada langkah selanjutnya.
# Diambil sembarang <math>p \in \mathbb{Z}</math> dan <math>q \in \mathbb{N}</math>, serta didefinisikan <math>k = \dfrac{p}{q}</math> (yang mengakibatkan <math>k \in \mathbb{Q}</math>) dan misalkan <math>y = x^k</math>. Dari sini, diperoleh <math display="block">\begin{align}
y &= x^k \\
y &= x^{\tfrac{p}{q}} && k = \dfrac{p}{q} \\
&= \left( x^{\tfrac{1}{q}} \right)^p \\
\frac{\text{d}y}{\text{d}x} &= p \left( x^{\tfrac{1}{q}} \right)^{p - 1} \cdot \dfrac{1}{q} x^{\tfrac{1}{q} - 1} &&\text{Kaidah rantai} \\
&= \dfrac{p}{q} \cdot x^{\tfrac{p}{q} - \tfrac{1}{q} + \tfrac{1}{q} - 1} \\
&= \dfrac{p}{q} \cdot x^{\tfrac{p}{q} - 1} \\
&= k x^{k - 1} && k = \dfrac{p}{q}
\end{align}</math> Akibatnya, jika <math>k</math> adalah suatu [[bilangan rasional]], maka berlaku <math>\frac{\text{d}}{\text{d}x} x^k = kx^{k - 1}</math>
 
=== Pembuktian menggunakan [[Fungsi_implisit#Pendiferensialan_implisit|turunan implisit]] ===
Setelah itu <math> y^n=x</math>
Metode pendiferensialan implisit juga dapat digunakan untuk memperumum kaidah pangkat untuk bilangan rasional. Diambil sembarang <math>p \in \mathbb{Z}</math> dan <math>q \in \mathbb{N}</math>, serta didefinisikan <math>k = \dfrac{p}{q}</math> (yang mengakibatkan <math>k \in \mathbb{Q}</math>) dan misalkan <math>y = x^k</math>. Dari sini, diperoleh <math display="block">\begin{align}
y &= x^k \\
y &= x^{\tfrac{p}{q}} && k = \dfrac{p}{q} \\
y^q &= x^p \\
q y^{q - 1} \cdot \frac{\text{d}y}{\text{d}x} &= px^{p - 1} &&\text{Kedua ruas diturunkan terhadap } x \\
\frac{\text{d}y}{\text{d}x} &= \dfrac{p}{q} \cdot \dfrac{x^{p - 1}}{y^{q - 1}} \\
&= \dfrac{p}{q} \cdot \dfrac{y \cdot x^{p - 1}}{y^q} \\
&= \dfrac{p}{q} \cdot \dfrac{x^{\tfrac{p}{q}} \cdot x^{p - 1}}{x^p} &&\text{Lihat baris 2 dan 3} \\
&= \dfrac{p}{q} \cdot x^{\tfrac{p}{q} + p - 1 - p} \\
&= \dfrac{p}{q} \cdot x^{\tfrac{p}{q} - 1} \\
&= k x^{k - 1} && k = \dfrac{p}{q}
\end{align}</math> sehingga terbukti bahwa <math>\frac{\text{d}}{\text{d}x} x^k = kx^{k - 1}</math> apabila <math>k \in \mathbb{Q}</math>.
 
== Sejarah ==
Dengan [[aturan rantai]], kami mengerti <math>ny^{n-1} \cdot \frac{dy}{dx}=1</math>
Kaidah pangkat untuk integral pertama kali ditunjukkan secara geometris oleh matematikawan Italia [[Bonaventura Cavalieri]] pada awal abad ke-17 untuk setiap bilangan asli <math>n</math>, dan untuk setiap pangkat [[bilangan rasional]] oleh matematikawan [[Pierre de Fermat]], [[Evangelista Torricelli]], [[Gilles de Roberval]], [[John Wallis]], dan [[Blaise Pascal]], masing-masing bekerja secara independen. Pada saat itu, kaidah pangkat adalah cara untuk menentukan luas antara grafik fungsi pangkat rasional dengan sumbu horizontal. Namun, setelah ditelusuri, kaidah ini dianggap sebagai teorema kalkulus yang pertama kali ditemukan.<ref name="Boyer">{{cite book
| last1 = Boyer
| first1 = Carl
| title = The History of the Calculus and its Conceptual Development
| lang = en
| date = 1959
| publisher = Dover
| location = New York
| isbn = 0-486-60509-4
| page = [https://archive.org/details/historyofcalculu00boye/page/127 127]
| url = https://archive.org/details/historyofcalculu00boye/page/127}}</ref> Kaidah pangkat untuk pendiferensialan pertama kali diturunkan oleh [[Isaac Newton]] dan [[Gottfried Wilhelm Leibniz]], masing-masing secara independen, untuk fungsi pangkat rasional pada pertengahan abad ke-17, dimana keduanya menggunakan aturan tersebut untuk menurunkan kaidah pangkat untuk integral sebagai operasi invers. Hal ini mencerminkan cara konvensional dalam menyajikan teorema terkait pada buku teks kalkulus dasar modern, dimana kaidah pendiferensialan biasanya diajarkan terlebih dahulu ssebelum kaidah integral.<ref>{{cite book
| last1 = Boyer
| first1 = Carl
| title = The History of the Calculus and its Conceptual Development
| lang = en
| date = 1959
| publisher = Dover
| location = New York
| isbn = 0-486-60509-4
| pages = [https://archive.org/details/historyofcalculu00boye/page/191 191, 205]
| url = https://archive.org/details/historyofcalculu00boye/page/191}}</ref>
 
Walaupun keduanya menyatakan bahwa aturan ini, ditunjukkan hanya untuk pangkat bernilai rasional, berlaku untuk setiap pangkat bernilai riil, keduanya tidak mencari bukti dari pernyataan tersebut, sebab pada waktu itu, penerapan dari teori tidak khawatir dengan fungsi pangkat eksotis, dan pertanyaan mengenai konvergensi dari deret tak hingga masih ambigu.
Jadi, <math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{ny^{n-1}} =\frac{1}{n \left(x^{\frac{1}n} \right)^{n-1}}=\frac{1}n x^{\frac{1}n -1}=mx^{m-1}</math>
 
Kasus dimana <math>k = -1</math> berhasil diselesaikan oleh Flemish Jesuit dan matematikawan [[Grégoire de Saint-Vincent]] beserta muridnya [[Alphonse Antonio de Sarasa]] pada pertengahan abad ke-17, yang menunjukkan bahwa integral tak tentu
#. Jika <math>y=x^{\frac{n}m}=x^p</math>, where <math>m, n\in \mathbb{N}</math> , so that <math>p \in \mathbb{Q}^+</math>
:<math>\int_1^x \frac{1}{t} \, dt</math>
yang merepresentasikan luasan diantara grafik hiperbola <math>xy = 1</math> dan sumbu-<math>x</math>, adalah fungsi [[logaritma]], yang basisnya adalah [[Bilangan transenden]] [[e (konstanta matematika)|e]]. Notasi modern dari nilai integral tak tentu ini adalah <math>\ln (x)</math>, logaritma alami.
 
== Lihat juga ==
Oleh [[aturan rantai]], <math> \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx} \left(x^ \frac{1}{m} \right)^n=n \left(x^{\frac{1}{m}} \right)^{n-1}\cdot \frac{1}{m}x^{\frac{1}m-1}= \frac{n}mx^{\frac{n}m-1}=px^{p-1}</math>
* [[Kaidah pendiferensialan]]
* [[Kaidah umum Leibniz]]
* [[Kaidah fungsi invers]]
* [[Kelinearan pendiferensialan]]
* [[Kaidah darab]]
* [[Kaidah hasil-bagi]]
* [[Identitas kalkulus vektor]]
 
== Referensi ==
#. Bila <math>y=x^q</math>, dimana <math>q=-p</math> and <math>p \in \mathbb{Q}^+</math>
 
=== Catatan ===
Dengan menggunakan [[aturan rantai]] dan [[aturan timbal balik]], kami mendapatkan <math>\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx} \left(
{{Notelist}}
\frac{1}{x}\right)^p=p \left(\frac{1}x \right)^{p-1}\cdot \left(-\frac{1}{x^2} \right)=-px^{-p-1}=qx^{q-1}</math>
 
=== Sitasi ===
Dari hasil di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa nilai {{mvar|r}} adalah [[bilangan rasional]], <math>\frac{d}{dx} x^r=rx^{r-1}.</math>
{{Reflist}}
 
== Bacaan lanjutan ==
===Dibuktikan dengan [[diferensiasi implisit]]===
* {{En icon}} Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). ''Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions'' (3rd edition). Houghton Mifflin Company. {{isbn|0-618-22307-X}}.
Generalisasi yang lebih lugas dari aturan pangkat menjadi eksponen rasional menggunakan diferensiasi implisit.
 
{{Topik kalkulus|expanded=all}}
Bila <math> y=x^r=x^{p/q}</math>, darimana <math>p, q \in \mathbb{Z}</math> yang seperti itu <math>r \in \mathbb{Q}</math>.
 
[[Kategori:Artikel yang mengandung pembuktian]]
Maka,
[[Kategori:Kaidah pendiferensialan]]
:<math>y^q=x^p</math>
[[Kategori:Identitas matematika]]
:<math>qy^{q-1}\frac{dy}{dx} = px^{p-1}</math>
[[Kategori:Teorema dalam analisis]]
 
[[Kategori:Teorema dalam kalkulus]]
Memecahakan nilai dari <math>dy/dx</math>,
:<math>\frac{dy}{dx} = \frac{px^{p-1}}{qy^{q-1}}.</math>
 
setelah <math>y=x^{p/q}</math>,
:<math>\frac d{dx}x^{p/q} = \frac{px^{p-1}}{qx^{p-p/q}}.</math>
 
Menerapkan hukum eksponen,
:<math>\frac d{dx}x^{p/q} = \frac{p}{q}x^{p-1}x^{-p+p/q} = \frac{p}{q}x^{p/q-1}.</math>
 
<!--Thus, letting <math>r=p/q</math>, we can conclude that <math>\frac d{dx}x^r = rx^{r-1}</math> when <math>r</math> is a rational number.-->
 
== Referensi ==
{{Reflist}}
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Kaidah_pangkat"