Teorema limit seragam: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Memperbaiki beberapa kesalahan penulisan Tag: Suntingan visualeditor-wikitext |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
Baris 6:
Lebih tepatnya, diberikan <math>X</math> adalah suatu [[ruang topologis]] dan <math>Y</math> adalah [[ruang metrik]]. Misalkan <math>f_n \colon X \to Y</math> adalah barisan fungsi yang konvergen seragam ke fungsi <math>f \colon X \to Y</math>. Menurut teorema limit seragam, jika fungsi <math>f_n</math> adalah fungsi kontinu (untuk setiap [[bilangan asli]] <math>n</math>), maka limit fungsinya (yaitu fungsi <math>f</math>) adalah fungsi kontinu juga.
Teorema ini tidak berlaku jika [[hipotesis]] konvergensi seragam diganti dengan [[konvergensi titik demi titik]]. Sebagai contoh, misalkan <math>f_n \colon \left[ 0, \, 1 \right] \to \mathbb{R}</math> adalah barisan fungsi <math>f_n (x) = x^n</math>. Dari definisi fungsi <math>f_n</math>, terlihat jelas bahwa fungsi <math>f_n</math> adalah fungsi kontinu, untuk setiap [[bilangan asli]] <math>n</math>. Akan tetapi, barisan tersebut konvergen titik demi titik ke suatu fungsi <math>f</math> yang diskontinu, dengan
<math display="block"> f(x) = \left\{ \begin{array}{ccl} 0 & & \text{untuk } x \in \left[ 0, \, 1 \right) \\ 1 & & \text{untuk } x = 1 \end{array} \right.</math> Contoh lainnya dapat dilihat pada gambar di bagian kanan atas halaman ini.
Baris 44:
== Teorema Limit Seragam dalam Analisis Kompleks ==
Terdapat beberapa variasi dari teorema limit seragam yang digunakan dalam [[analisis kompleks]], walau dengan modifikasi asumsi.
{{math theorem
Baris 70:
| isbn = 0-13-181629-2}}
* E. M. Stein, R. Shakarachi (2003). ''Complex Analysis (Princeton Lectures in Analysis, No. 2)'', [[Princeton University Press]].
* E. C. Titchmarsh (1939). ''The Theory of Functions'', 2002 Reprint, Oxford Science Publications.
| |||